7A文勾股定理综合难题竞赛

1、【MeiWei_81 重点借鉴文档】1 如图， 圆柱的高为 10 cm ，底面半径为 2 cm. ，在下底面的 A 点处有一只蚂蚁， 它想吃到上底面上与 A 点相对的 B 点处，需要爬行的最短路程是多少 ?2 如图，长方体的高为 3 cm ，底面是边长为 2 cm 的正方形 . 现有一小虫从顶点 A 出发，沿长方体侧面到 达顶点 C 处，小虫走的路程最短为多少厘米 ?答案 AB=53 、一只蚂蚁从棱长为1 的正方体纸箱的B点沿纸箱爬到D 点，那么它所行的最短路线的长是4、如图，小红用一张长方形纸片 ABCD ?长 BC?为 10cm当小红折叠时， 为 AE ）想一想，此时 EC 有多长？D进行

2、折纸， 已知该纸片宽 AB 为 8cm， 顶点 D 落在 BC 边上的点 F 处（折痕 ? A D5如图，将一个边长分别为A 3BC 5D4、 8 的长方形纸片46已知：如图，在 ABC 中， C=90，B=30， 于D ，垂足为 E， BD=4cm 求 AC 的长7、如图，有一个直角三角形纸片，两直角边 边 AC 沿直线 AD 折叠，使其落在斜边 AB 长为8、与点如DE图，在矩形 ABCD 中， 重合， 为已知：点 E 是正方形 ABCD 的9、如图，角线 DB 上，则 EB CE10、如图， AD 是 ABC 的中线， 则 BC CD）EFCC 点与 A 点重合，则 EB 的长是（ABC

3、D 折叠，使AB 的垂直平分线交 BC上，AC=6 ，BC=8 ，现将直角 且与 AE 重合， 则 CD 的AB 6,将矩形 ABCD 折叠，使点 BC落在 C 处，若 AE：BE 1：2 ，则折痕 EF 的长ABC边 ADC 45 ， DCE 沿折痕 DE 向上翻折，使 DC 落在对把 ADC 沿 AD 对折，点 C 落在 C的位置，若 BC2，MeiWei_81 重点借鉴文档】MeiWei 81 重点借鉴文档】11如图 1，有一块直角三角形纸片，两直角边 叠，使它落在斜边A.2cmAC 6cm，BC8cm，现将直角边 AC 沿直线 AD 折 AB 上，且与 AE 重合，则 CD 等于（ ）

4、B.3 cm C.4 cmD.5 cmA12、有形纸片，两直角边 AC=6cm,BC=8cm, 现将直角边 AC 沿 CAB的角平分线 AD 折叠，使它落在C 斜边 AB 上，与B AE 重合，你能求出CD 的长吗？D图113、如图，在 ABC 折痕为 EF，点D E 在 AB 上，CBE 的D长A15如图，将矩形 ABCDF 在 AC 上，求C90 ， AB=BC=6已知，如图长方形为 EF ，E则 ABE 的面积为（A 、 6cm216、如图，每个小方格的边长都为，把 ABC 进行折叠，使点 A 与点EC 的长。A 中， AB=3cm ， AD=9cm ，A )B、 8cm2将此长方形折叠

5、，使点C、10cm2D 重合， BD:DC=1:2 ，B 与点 D 重合，折痕D、12cm2EEF 折叠，使点 D 与点 B 重合，已知 AB 3，AD9，求C1求图中格点四边形 ABCD 的面积。18如图 8，有一块塑料矩形模板直角顶点 P落在 AD 边上 （不与 A、D请你求出这时ABCD ，长为 10cm，宽为 4cm， D 重合 ） ，在 AD 上适当移动三角的直角三角板 PHF 的CAP 的长； 若不能， 请说明0R）2， 而在 Rt PBC 中，有移动，直角边cm？若能，请能否使你的三角板两直角边分别通过点 理由再次移动三角板位置，使三角板顶点 P 在 与 DC 的延长线交于点 Q

6、 ，与 BC 交于点 E，能否使 C 请你说明理由 21能 .设 APR 米，由于 BP216+R2，C 16+R 2+16+（10 R）2 100，所以 R210R+160，即（R图5）82 9，所以 R5 3， AP8或 2，能.仿照可求得 AP4.819.如图 ABC 中， ACB 90 ,AC 12,BC 5,AN AC,BM BC则 MN=长为（H 始终通过点求出这时B，另一直角边 PFAP 的长；若不能，BP2+ CP2BC2，即 所以 R 8， R2，即20、直角三角形的面积为 S ，斜边上的中线长为）d2 S 2dd ，则这个三角形周2 d2 S 2dB) d S d D) 2

7、 d2 S dMeiWei_81 重点借鉴文档】MeiWei 81 重点借鉴文档】S ab 解:设两直角边分别为 a, b ,斜边为 c,则c 2d , 2 222 由勾股定理 ,得 a b c .2 2 22 2所以ab 2 d2 S. 所以 a b c 2 d2 S 2d C)a b a2 2ab b2 c2 4S 4d 2 4S所以故选21在 ABC中, AB AC 1, BC边上有 20RR 个不同的点 P1,P2, P2006 BPi PiC i 1,2, 2006 ,则 m1 m2m2006 =.解:如图,作AD BC于 D,因为 AB AC 1,则BD CD . 由勾股定理 ,得

8、 ABAD BD ,AP AD PD .所以2222AB2 AP2 BD2 PD2BD PD BD PD BP PC2 2 2 所以 AP2 BP PC AB2 12 . 因此 m1 m2m2006 1 2006 200622如图所示，在 Rt ABC中, BAC 90,AC AB, DAE 45 ,且BD 3 CE 4,求 DE 的长 .解 :如右图：因为 ABC 为等腰直角三角形 ,所以 ABD C 45 . 所以把 AEC 绕点 A旋转到 AFB,则 AFB AEC. 所以 BF EC 4,AF AE, ABF C 45 .连结 DF . 所以 DBF 为直角三角形 .2 2 2 2 2

9、 2 由勾股定理 ,得 DFBF BD 4 3 5 .所以 DF 5 .因为 DAE 45 , 所以 DAF DAB EAC 45 . 所以 ADE ADF SAS .所以 DE DF 5.23、如图，在 ABC 中， AB=AC=6 ，P为 BC 上任意一点，请用学过的知识试求 PCPB+PA2 的值。MeiWei_81CMeiWei 81 重点借鉴文档】24、如图在 RtABC 中, C 90 ,AC 4,BC 3 ，在RtABC 的外部拼接一个合适的直角三角形， 使得拼成的图形是一个等腰三角形。如图所示：要求：在两个 两种与示例图 在图中标明拼 三边长（请同 草图，确定后 签字笔画出正

10、解：要 在 Rt一个合适的直备用图中分别画出 不同的拼接方法， 接的直角三角形的 学们先用铅笔画出 再用 0.5mn 的黑色 确的图形） ABC 的 外 部 接25如图，B 两村到河的距离分别为的 ，B侧， A 、 D=3km ， A 、 B 两 设水管的费用为 20RR0 元 /千 CD 选择水厂位置 O，使铺设水管的两个村子在河AC=1km 边 CD 上建一水厂向CD=3km ，现在河 村输送自来水，铺 米，请你 费用最省，并求出铺设水管的总费用F。26已知：如图，ABC 中， OEAC，OFAB，点 D、E、 AC 和 BC 的距离分别等于C = 90 ，点 O 为 ABC 的三条角平分

11、线的交点， ODBC，F 分别是垂足，且 BC = 8cm，CA = 6cm，则点 O 到三边 AB ， cm已知： F C 90 ， A 第 26 题图C27（8 分E） 如图，ABC 中， AB=AC ，P为 BC 上任意一点，请说明：22AB 2AP 2=PBPC。A28、如图，AM222 BC 2CM ，29（本题满分 6 分）如图，一个牧童在小河的南 4km 的 A处牧马，而他正位于他的小屋 B 的西 8km 北 7km 的马牵到小河边去饮水，然后回家 .他要完成这小河处，他想把他件事情所走MeiWei_81A重牧点童借鉴文档】小屋角三角形，使得拼 成的图形是一个等腰三角形，关键是腰

12、与底边的确定。要求在图中标明拼接的直角三角形的三边长，这需 要用到勾股定理知识。下图中的四种拼接方法供参考。MeiWei 81 重点借鉴文档】的最短路程是多少？31在一棵树的 10米高 B 处有两只猴子， 一只猴子爬下树走到离树 20米处的池塘的 A 处；另一只爬到树顶 D 后直接跃到 A 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高多少米 ?32在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1 米，一阵风吹来，红莲移到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为 2 米，求这里的水深是多少米 ?33长为 4 m的梯子搭在墙上与地面成45角，作业时调整为 60角（如图所示 ），则梯子的顶

13、端沿墙面升高了 m 34已知：如图， ABC 中， C90，D 为 AB 的中点， E、 F分别在 AC 、BC 上，且 DEDF求证： AE2BF2EF235已知：如图，在正方形 ABCD 中，F为 DC 的中点， FEE 为 CB 的四等分点且CE 41 CB，求证：AF36已知 ABC 中，a2b2c2 10a24b26c338，试判定 ABC 的形状，并说明你的理由 37已知 a、b、c 是ABC 的三边，且 a2 c2 b2c2 a4 b4，试判断三角形的形状38如图， 长方体的底面边长分别为 1cm 和 3cm，高为 6cm如果用一根细线从点 A 开始经过四个侧面缠 绕一圈到达点

14、B ，那么所用细线最短需要多长 ?如果从点 A 开始经过四个侧面缠绕 n 圈到达点 B ，那么所 用细线最短需要多长 ?MeiWei_81 重点借鉴文档】MeiWei 81 重点借鉴文档】240. 三角形的三边长为 (a b)A ) 等边三角形C) 直角三角形B) 钝角三角形D) 锐角三角形41.( 12 分)如图，某沿海开放城市 A 接到台风警报，在该市正南方向 100km 的 B 处有一台风中心，沿 BC 方向以 20km/h 的速度向 D 移动，已知城市 A 到 BC 的距离 AD=60km ，那么台风中心经过多长时间 从 B 点移到 D 点？如果在距台风中心 30km 的圆形区域内都将

15、有受到台风的破坏的危险， 正在 D 点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？A44、将一根 24cm 的筷子，置于底面直径为 15cm ，高 8cm 的圆柱 形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为hcm，则 h 的取值范围是( )A h 17cmBh 8cmC15cm h 16cmD7cm h16cm45如图，已知： ， ， 于 P. 求证：B39、a、b 为任意正数，且 ab，求证：边长为 2ab、 a2 b2、 a2+b2的三角形是直角三角形2c2ab,则这个三角形是 ( )思路点拨 : 图中已有两个直角三角形， 但是还没有以 BP 为边的直角三角形 . 因此， 我

16、们考虑构造一个 以 BP 为一边的直角三角形 . 所以连结 BM. 这样，实际上就得到了 4 个直角三角形 . 那么根据勾股定理， 可证明这几条线段的平方之间的关系 .解析：连结 BM ，根据勾股定理，在 中， .而在 中，则根据勾股定理有.又 (已知)， . 在 中，根据勾股定理有 ，MeiWei_81 重点借鉴文档】MeiWei 81 重点借鉴文档】.47【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高2.5 米，宽 1.6 米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门 ?【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于 图所示，点 D 在离厂门中线

17、0.8 米处，且 CD， 与地面交于 H 解：OC1 米 （大门宽度一半 ），OD 0.8 米 （卡车宽度一半） 在 Rt OCD 中，由勾股定理得：CD .米，C . . .（米） .（米） 因此高度上有 0.4 米的余量，所以卡车能通过厂门48、如图，公路 MN 和公路 PQ 在点 P 处交汇，且 QPN 30，点学， AP 160m。假设拖拉机行驶时，周围 100m 以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路 方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为 校受影响的时间为多少秒？CH如所中 MN 上沿 PN 18km/h ，那么学思路点拨：（1）要判断拖拉机

18、的噪于 100m 则受影响，大于 100m 则不受影响，故作垂线段 间，实质是要求拖拉机对学校 A 的影响所行驶的路程。因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影响学校，行 至哪一点后结束影响学校。解析：作 AB MN ，垂足为 在 Rt ABP 中，A 到公路的距离是否小于 100m, 小AB 并计算其长度。 （2）要求出学校受影响的时B。ABP 90， APB 30， AP160， AB AP 80。 （在直角三角形中， 30所对的直角边等于斜边的一半） 点 A 到直线 MN 的距离小于 100m,这所中学会受到噪声的影响。如图，假设拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶到点 C 处学校开始受到

19、影响， 那么 AC100（m） ， 由勾股定理得： BC21002-8023600, BC 60。同理，拖拉机行驶到点 D 处学校开始脱离影响，那么， AD 100（m），BD 60（m）, CD 120（m） 。拖拉机行驶的速度为 : 18km/h 5m/s t 120m 5m/s 24s。MeiWei_81 重点借鉴文档】【MeiWei 81 重点借鉴文档】答：拖拉机在公路（一）转化的思想方法MN 上沿 PN 方向行驶时，学校会受到噪声影响，学校受影响的时间为 24 秒。49、如图所示， 点，且 DE DF，ABC 是等腰直角三角形， AB=AC ， D是斜边 BC 的中点， 若 BE=1

20、2 ， CF=5 求线段 EF 的长。E、 F分别是 AB 、AC边上的思路点拨：现已知 键是线段的转化，根据直角三角形的特征，三角形的中线有特殊的性质，不妨先连接 解：连接 AD 因为 BAC=90 ， AB=AC 又因为 AD 为 ABC 的中线， 所以 AD=DC=DB AD BC且 BAD= C=45BE 、CF，要求 EF，但这三条线段不在同一三角形中，所以关因为 EDA+ ADF=90 又因为 CDF+ ADF=90 所以 EDA= CDF 所以 AED CFD （ ASA ）所以 AE=FC=5 同理： AF=BE=12 在 Rt AEF 中，根据勾股定理得：，所以 EF=13。

21、总结升华：此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识。通过此题，我们可以了解：当已知 的线段和所求的线段不在同一三角形中时，应通过适当的转化把它们放在同一直角三角形中求解。 50 如图，在等腰 ABC 中， ACB=90 ，D、E为斜边 AB 上的点，且 DCE=45 。求证： DE 2=AD 2+BE2。CC我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问题转化为直角三角形 问题来解决分析：利用全等三角形的旋转变换，进行边角的全等变换，将边转移到一个三角形中，并构造直角三角 形。51 如图，在 A BC 中， AB=13,BC=14,A C=15 ，则 BC 边

22、上的高 A D= 。AD答案 12。52 如图，长方形 ABCD 中， AB=8 ，BC=4，将长方形沿 AC 折叠，点 D 落在点 E处，则重叠部分 AFC 的面积是 。MeiWei_81 重点借鉴文档】MeiWei 81 重点借鉴文档】AB=15 ,AC=20,BC 边上的高 A D=12 ，试求 BC 边的长 .设 EF=R ，那么 AF=CF=8-R ， AE2+EF2=AF2, 所以 42+R2=(8-R)2, 解得 R=3， S=4R8/2-3R4/2=10 答案： 10中， D 是 BC 所在直线上一点，若AB=l0,BD=6,AD=8,AC=17 ， 求三边 a、b、c 满足 338=10a+24b+26c， 什么？AC=1998是否为直角三角形？为什么？ AB BC AC 。53 在 ABC 中， 答案 25 或 756. 在 ABC 中，BC=1997 ，AB 2=1997+1998，则 ABC 注意 BC、AC 、AB 的大小关系。AB2+BC2=1997+19972+1998=1997 ( 1+1997)+1998=1997 1998+1998=19982= AC2 。58. 木箱的长、宽、高分别为 40dm、3