9A文有等腰三角形时常用的辅助线

1、【MeiWei_81 重点借鉴文档】 有等腰三角形时常用的辅助线 作顶角的平分线，底边中线，底边高线 例：已知，如图， AB = AC，BD AC于 D，求证： BAC = 2DBC证明：（方法一）作 BAC的平分线 AE，交 BC于 E，则1 = 2 = 又AB = AC11 BAC2AEBC 2 ACB = 90oBDAC DBC ACB = 90o2 = DBCBAC = 2DBC（方法二）过 A 作 AEBC于 E（过程略）（方法三）取 BC中点 E，连结 AE（过程略） 有底边中点时，常作底边中线 例：已知，如图， ABC中，AB = AC，D为 BC中点， DEAB于 E，DFAC

2、于 F， 求证：DE = DF证明：连结 AD.D为 BC中点， BD = CD 又AB =AC AD平分 BAC DEAB，DFAC DE = DF将腰延长一倍，构造直角三角形解题 例：已知，如图， ABC中， AB = AC，在 BA延长线和 AC上各取一点 E、F，使 AE = AF， 求证： EFBC证明：延长 BE到 N，使 AN = AB,连结 CN,则AB = AN = AC B = ACB, ACN = ANC B ACB ACN ANC = 180o 2 BCA2ACN = 180o BCA ACN = 90o 即BCN = 90o NCBC AE = AFAEF = AFE

3、 又 BAC = AEF AFE BAC = ACN ANC BAC =2AEF = 2ANC AEF = ANC EFNCEFBC常过一腰上的某一已知点做另一腰的平行线MeiWei_81 重点借鉴文档】MeiWei 81 重点借鉴文档】例：已知，如图，在 ABC中， AB = AC，D在 AB上，E在 AC延长线上，且 BD = CE，连结 DE交 BC于 F求证：DF = EF 证明：（证法一）过 D作 DNAE，交 BC于 N，则 DNB= NDE = E，AB = AC， B = ACB B = DNB BD = DN 又BD = CE DN = EC 在DNF和ECF中 1 = 2

4、NDF = E DN = EC DNF ECF DF = EF（证法二）过 E作 EMAB交 BC延长线于 M,则 EMB =B（过程略）常过一腰上的某一已知点做底的平行线例：已知，求证：如图， ABC中， AB =AC，E在 AC上， D在 BA延长线上，且 AD = AE，连结 DE DEBC证明：（证法一）过点 E作 EFBC交 AB于 F，则AFE =BNDAEF =CAB = ACB =CAFE =AEFAD = AEAED =ADE又 AFE AEFAED ADE = 180 2AEF 2 AED = 90o 即FED = 90oDEFE 又 EFBCDEBC（证法二）过点 D 作

5、 DNBC交 CA的延长线于 N，（过程略） （证法三）过点 A作 AMBC交 DE于 M，（过程略） 常将等腰三角形转化成特殊的等腰三角形 等边三角形例：已知，如图， ABC中， AB = AC， BAC = 80 o ,PE为形内一点，若 PBC = 10o PCB = 30o 求 PAB的 度数.解法一：以 AB为一边作等边三角形，连结 CE则 BAE =ABE = 60oAE = AB = BEAB = ACMeiWei_81 重点借鉴文档】MeiWei 81 重点借鉴文档】AE = AC ABC = ACB AEC =ACEEAC =BAC BAE= 80 o 60o = 20 o1

6、o ACE =(180o EAC)=21 o o ACB= (180 o BAC)= 50o2BCE =ACE ACB o o o= 80o 50o = 30 o PCB = 30o PCB = BCE ABC =ACB = 50o, ABE = 60o EBC =ABE ABC = 60o50o =10 PBC = 10o PBC = EBC 在PBC和EBC中 PBC = EBC BC = BC PCB = BCEPBC EBCBP = BEAB = BEAB = BP BAP =BPAABP =ABC PBC = 50o10o = 401 o o PAB = (180oABP)= 70o

7、2解法二：以 AC为一边作等边三角形，证法同一。 解法三：以 BC为一边作等边三角形 BCE，连结 AE,则EB = EC = BC， BEC =EBC = 60oEB = ECE在 BC的中垂线上 同理 A 在 BC的中垂线上 EA所在的直线是 BC的中垂线 EABC1oAEB = BEC = 30o =PCB2 由解法一知： ABC = 50o ABE = EBC ABC = 10o =PBC80oEABE =PBC,BE = BC,AEB =PCB ABE PBCAB = BPBAP =BPAABP =ABC PBC = 50o10o = 40MeiWei_81 重点借鉴文档】MeiWe

8、i 81 重点借鉴文档】1oPAB = (180 o ABP) =21 o o21(180o40o)= 70有等腰三角形时常用的辅助线 作顶角的平分线，底边中线，底边高线 例：已知，如图， AB = AC，BD AC于 D，求证： BAC = 2DBC有底边中点时，常作底边中线例：已知，如图， ABC中，AB = AC，D为 BC中点， DEAB于 E， DFAC于 F，求证：DE = DF将腰延长一倍，构造直角三角形解题例：已知，如图， ABC中， AB = AC，在 BA延长线和 AC上各取 一点 E、F，使 AE = AF，求证： EFBC常过一腰上的某一已知点做另一腰的平行线例：已知，如图，在 ABC中， AB = AC，D在 AB上，E在AC延长线 上，且 BD = CE，连结 DE交 BC于 F求证：DF = EF常过一腰上的某一已知点做底的平行线例：已知，如图， ABC中， AB =AC， F在 AC上， E在BA延 长线上，且 AE =