随机事件及其运算、概率的统计定义、古典概型

1、2021/3/10授课：XXX1 2021/3/10授课：XXX2 1654年年,一个名叫一个名叫梅累的梅累的法国狂热赌徒兼法国狂热赌徒兼骑骑 士就士就“两个赌徒约定赌若干局两个赌徒约定赌若干局, 且谁先赢且谁先赢 c 局便局便 算赢家算赢家, 若在一赌徒胜若在一赌徒胜 a 局局 ( ac ),另一赌徒胜另一赌徒胜b 局局(bc)时便终止赌博时便终止赌博,问应如何分赌本问应如何分赌本” 为题求为题求 教于帕斯卡教于帕斯卡, 帕斯卡与费马通信讨论这一问题帕斯卡与费马通信讨论这一问题, 于于 1654 年共同建立了概率论的第一个基本概念年共同建立了概率论的第一个基本概念 数学期望数学期望. 1.

2、概率论的诞生概率论的诞生 2021/3/10授课：XXX3 而在三年后，即而在三年后，即1657年，荷兰的另一数学家惠根斯年，荷兰的另一数学家惠根斯 1629-1695亦用自己的方法解决了这一问题，更写亦用自己的方法解决了这一问题，更写 成了成了论赌博中的计算论赌博中的计算一书，这就是概率论最早的论一书，这就是概率论最早的论 着，他们三人提出的解法中，都首先涉及了数学期望着，他们三人提出的解法中，都首先涉及了数学期望 mathematical expectation这一概念，并由此奠定这一概念，并由此奠定 了古典概率论的基础。了古典概率论的基础。 使概率论成为数学一个分支的另一奠基人是瑞士数学

3、使概率论成为数学一个分支的另一奠基人是瑞士数学 家雅各布家雅各布-伯努利伯努利1654-1705。他的主要贡献是建。他的主要贡献是建 立了概率论中的第一个极限定理，我们称为立了概率论中的第一个极限定理，我们称为“伯努利伯努利 大数定理大数定理”，即，即“在多次重复试验中，频率有越趋稳在多次重复试验中，频率有越趋稳 定的趋势定的趋势”。这一定理更在他死后，即。这一定理更在他死后，即1713年，发表年，发表 在他的遗著在他的遗著猜度术猜度术中。中。 2021/3/10授课：XXX4 到了到了1730年，法国数学家棣莫弗出版其著作年，法国数学家棣莫弗出版其著作分分 析杂论析杂论，当中包含了著名的，当

4、中包含了著名的“棣莫弗棣莫弗拉普拉斯定拉普拉斯定 理理”。这就是概率论中第二个基本极限定理的原始初。这就是概率论中第二个基本极限定理的原始初 形。而接着拉普拉斯在形。而接着拉普拉斯在1812年出版的年出版的概率的分析概率的分析 理论理论中，首先明确地对概率作了古典的定义。另外，中，首先明确地对概率作了古典的定义。另外， 他又和数个数学家建立了关于他又和数个数学家建立了关于“正态分布正态分布”及及“最小最小 二乘法二乘法”的理论。另一在概率论发展史上的代表人物的理论。另一在概率论发展史上的代表人物 是法国的泊松。他推广了伯努利形式下的大数定律，是法国的泊松。他推广了伯努利形式下的大数定律， 研究

5、得出了一种新的分布，就是泊松分布。概率论继研究得出了一种新的分布，就是泊松分布。概率论继 他们之后，其中心研究课题则集中在推广和改进伯努他们之后，其中心研究课题则集中在推广和改进伯努 利大数定律及中心极限定理。利大数定律及中心极限定理。 2021/3/10授课：XXX5 概率论发展到概率论发展到1901年，中心极限定理终于被严格年，中心极限定理终于被严格 的证明了，及后数学家正利用这一定理第一次科学地的证明了，及后数学家正利用这一定理第一次科学地 解释了为什么实际中遇到的许多随机变量近似服从以解释了为什么实际中遇到的许多随机变量近似服从以 正态分布。到了正态分布。到了20世纪的世纪的30年代，

6、人们开始研究随年代，人们开始研究随 机过程，而著名的马尔可夫过程的理论在机过程，而著名的马尔可夫过程的理论在1931年才年才 被奠定其地位。而苏联数学家柯尔莫哥洛夫在概率论被奠定其地位。而苏联数学家柯尔莫哥洛夫在概率论 发展史上亦作出了重大贡献，到了近代，出现了理论发展史上亦作出了重大贡献，到了近代，出现了理论 概率及应用概率的分支，及将概率论应用到不同范畴，概率及应用概率的分支，及将概率论应用到不同范畴， 从而开展了不同学科。因此，现代概率论已经成为一从而开展了不同学科。因此，现代概率论已经成为一 个非常庞大的数学分支。个非常庞大的数学分支。 2021/3/10授课：XXX6 前前 言言 人

7、类的社会实践使人们逐步认识到自然现象和科学实验人类的社会实践使人们逐步认识到自然现象和科学实验 的结果等，并非都是确定的，经常会碰到在相同条件下可能的结果等，并非都是确定的，经常会碰到在相同条件下可能 得到多个不同结果的情形。然而在进行了大量观察或多次重得到多个不同结果的情形。然而在进行了大量观察或多次重 复试验后，人们逐步发现这些在一次观察或试验不能肯定结复试验后，人们逐步发现这些在一次观察或试验不能肯定结 果的现象具有近乎必然的客观规律。而且发现应用数学的方果的现象具有近乎必然的客观规律。而且发现应用数学的方 法可以研究各种结果出现的可能性大小，从而发展了研究偶法可以研究各种结果出现的可能

8、性大小，从而发展了研究偶 然现象规律性的学科然现象规律性的学科概率论和数理统计。概率论和数理统计。 当代科学和电子技术的发展使概率统计的方法在各领域当代科学和电子技术的发展使概率统计的方法在各领域 得到了广泛地应用，比如投资风险的估计，生产质量的控制，得到了广泛地应用，比如投资风险的估计，生产质量的控制， 生物学、遗传学、医学等方面的统计，等等。生物学、遗传学、医学等方面的统计，等等。 2021/3/10授课：XXX7 随机事件及其运算随机事件及其运算 随机现象随机现象 在一次试验中不能确定其结果，但在相同条件下做大量在一次试验中不能确定其结果，但在相同条件下做大量 重复的试验，结果会呈现出规

9、律性的现象。重复的试验，结果会呈现出规律性的现象。 随机试验随机试验 在一定条件下，对随机现象进行的观察或试验。（简称在一定条件下，对随机现象进行的观察或试验。（简称试验试验） 随机事件随机事件 在随机试验中，可能出现也可能不出现，但在大量重复在随机试验中，可能出现也可能不出现，但在大量重复 试验中具有某种规律性的结果的事件。（简称试验中具有某种规律性的结果的事件。（简称事件事件） 为方便起见，也把在一次试验中一定出现的事件为方便起见，也把在一次试验中一定出现的事件必然事件必然事件 和在一次试验中必然不出现的事件和在一次试验中必然不出现的事件不可能事件不可能事件当成随机事件。当成随机事件。 2

10、021/3/10授课：XXX8 随机试验的每一个可能的结果。随机试验的每一个可能的结果。 样本空间样本空间 全体样本点的集合。全体样本点的集合。 样本点样本点 例例1 掷两枚均匀的硬币，观察它们出现的正反面的情况。掷两枚均匀的硬币，观察它们出现的正反面的情况。 例例1* 掷两枚均匀的硬币，观察它们出现的正面数目的情况。掷两枚均匀的硬币，观察它们出现的正面数目的情况。 （正、正），（正、反），（正、正），（正、反）， （反、正），（反、正）， （反、反）（反、反） 0,1,2 不同的观察目的表示不同的试验，因此对应的样本空间也可以不同。不同的观察目的表示不同的试验，因此对应的样本空间也可以不同。

11、 随机事件及其运算随机事件及其运算 2021/3/10授课：XXX9 随机事件随机事件 样本空间的子集样本空间的子集 特别地：特别地： 必然事件必然事件 不可能事件不可能事件 基本事件基本事件 例例2 掷骰子一颗，观察其点数。掷骰子一颗，观察其点数。 1,2,3,4,5,6 3表示事件表示事件 点数为点数为 3 2,4,6 表示事件表示事件 点数为偶数点数为偶数 （基本事件）（基本事件） 随机事件及其运算随机事件及其运算 2021/3/10授课：XXX10 随机事件的关系及运算随机事件的关系及运算 称事件称事件 A 包含于事件包含于事件 B 中，或事件中，或事件 B 包含事件包含事件 A ，

12、或或A 是是 B 的的子事件子事件。 AB 事件事件 A 出现必导致事件出现必导致事件 B 出现。出现。 ABBAAB 且且 AB 事件事件 A 和事件和事件 B 至少有一个出现。至少有一个出现。 称作称作A 和和 B 的的和事件和事件或或并事件并事件。 例例2 掷骰子一颗，观察其点数。掷骰子一颗，观察其点数。 1,2,5 ,1,3,4,5AB 若若 则则 1,2,3,4,5AB 随机事件及其运算随机事件及其运算 2021/3/10授课：XXX11 随机事件的关系及运算随机事件的关系及运算 ABAB 事件事件 A 和事件和事件 B 同时出现。同时出现。也记作也记作 称作称作A 和和 B 的的积

13、事件积事件或或交事件交事件。 例例2 掷骰子一颗，观察其点数。掷骰子一颗，观察其点数。 1,2,5 ,1,3,4,5AB 若若 则则 1,2,3,4,5 ,AB 1,5AB AB 事件事件 A 出现但事件出现但事件 B 不出现。不出现。 称作称作A 与与 B 的的差事件差事件。 2AB 随机事件及其运算随机事件及其运算 2021/3/10授课：XXX12 随机事件的关系及运算随机事件的关系及运算 AB 事件事件 A 和事件和事件 B 不能同时出现。不能同时出现。 称称A 与与 B 为为互不相容事件互不相容事件或或互斥事件互斥事件。 ABAB 且且 称称A 与与 B 为为互逆事件互逆事件或或对立

14、事件对立事件。记。记 ,BAAB 12 . ijn A AijAAA 且且 称称 为一个为一个完备事件组完备事件组。 12 ,., n A AA 此时，此时， 也记作：也记作： ABAB 随机事件及其运算随机事件及其运算 如如 也可记作：也可记作：ABAB 2021/3/10授课：XXX13 例例3 掷一颗骰子并抛一枚硬币，观察骰子的点数和硬币的掷一颗骰子并抛一枚硬币，观察骰子的点数和硬币的 正反面情况。正反面情况。 解：以解：以 H 表示正面，表示正面，T 表示反面，则表示反面，则 ,1 ,2 ,3,4 ,5,6 , ,1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 HHHHHH TTTTTT 若若 A

15、表示表示硬币出现正面硬币出现正面 ，B 表示表示硬币出现反面硬币出现反面 C 表示表示硬币出现正面且骰子点数为硬币出现正面且骰子点数为 5 则则 A 与与 B 互逆（对立），互逆（对立），B 与与 C 互斥（互不相容）。互斥（互不相容）。 随机事件的关系及运算随机事件的关系及运算 随机事件及其运算随机事件及其运算 A 与与 C 相容且相容且 C 是是 A 的子事件。的子事件。 2021/3/10授课：XXX14 随机事件的运算规律随机事件的运算规律 （1）交换律）交换律,ABBAABBA （2）结合律）结合律 , , ABCABC AB CA BC （3）分配律）分配律 , , A BCABA

16、C ABCABAC （4）摩根律（对偶律）摩根律（对偶律） ,ABABABAB ,ABCABCABCABC 练习：练习：P24-25 16 2021/3/10授课：XXX15 随机事件在一次试验中，可能出现也可能不出现，但在大随机事件在一次试验中，可能出现也可能不出现，但在大 量重复试验中具有某种规律性的结果，假设事件量重复试验中具有某种规律性的结果，假设事件 A 在在 次试次试 验中出现验中出现 次，则它出现的频率：次，则它出现的频率： n k n k fA n 能反应出事件出现的可能性的大小。能反应出事件出现的可能性的大小。 如：如：P8 表表1-1 及及 表表1-2，当，当 足够大时，足

17、够大时， n fApn 定义：定义：事件事件 A 的概率的概率为为 P Ap n fA 以上的方法是求事件的概率的一般方法，若概型比较以上的方法是求事件的概率的一般方法，若概型比较 特殊，则还可特殊，则还可根据问题的实质根据问题的实质确定事件的概率。确定事件的概率。 概率的统计定义概率的统计定义 2021/3/10授课：XXX16 考察如下几个试验：考察如下几个试验： 抛两枚均匀的硬币，观察它们出现的正反面的情况。抛两枚均匀的硬币，观察它们出现的正反面的情况。 掷骰子一颗，观察其点数。掷骰子一颗，观察其点数。 掷一颗骰子并抛一枚硬币，观察骰子的点数和硬币的掷一颗骰子并抛一枚硬币，观察骰子的点数

18、和硬币的 正反面情况。正反面情况。 它们都具备如下特点：它们都具备如下特点： （1）每次试验中，所有可能的结果只有有限多个。）每次试验中，所有可能的结果只有有限多个。 （2）每次试验中，每一种可能的结果发生的可能性相同。）每次试验中，每一种可能的结果发生的可能性相同。 满足这些条件的数学模型称作满足这些条件的数学模型称作古典概型。古典概型。 古典概型古典概型 2021/3/10授课：XXX17 古典概型的概率定义古典概型的概率定义 设一古典概型的试验结果共有设一古典概型的试验结果共有 个基本事件，而事件个基本事件，而事件 A 由由n 其中的其中的 个基本事件组成，则事件个基本事件组成，则事件

19、A 的概率为：的概率为：m m P A n 例例4 从全体三位数中任取一个数，求下列事件的概率：从全体三位数中任取一个数，求下列事件的概率： （1）三位数中三个数字没有重复；）三位数中三个数字没有重复； （2）三位数中恰有两个数字相同。）三位数中恰有两个数字相同。 解：全体三位数共有解：全体三位数共有 个，其中没有重复数字的有个，其中没有重复数字的有 2 9 10 9 9 8 个，恰有两个数字相同的有个，恰有两个数字相同的有 个。个。3 9 9 所以：（所以：（1）所求概率为：）所求概率为： 2 9 9 818 9 1025 p （2）所求概率为：）所求概率为： 2 3 9 927 9 101

20、00 p 2021/3/10授课：XXX18 例例5 包括甲、乙在内的包括甲、乙在内的10 个人随机地排成一行，求甲与乙个人随机地排成一行，求甲与乙 相邻的概率，若这相邻的概率，若这10 个人随机地排成一圈，又如何？个人随机地排成一圈，又如何？ 解：（解：（1）10 人排成一行，共有人排成一行，共有 种排法，其中甲与乙种排法，其中甲与乙 10! 2!9! 2!8! 种，故所求概率为种，故所求概率为 相邻的的排法有相邻的的排法有 种。种。 故所求概率为故所求概率为2!9! （2）若这）若这10 个人随机地排成一圈，则排法有个人随机地排成一圈，则排法有 2!9!1 10!5 p 2!9! 2!8!

21、2 10!9 p 2021/3/10授课：XXX19 例例6 某班有某班有20 个同学，采取抽签的方式分配三张音乐会门票个同学，采取抽签的方式分配三张音乐会门票, 求同学求同学MM抽到门票的概率抽到门票的概率. 解：制作解：制作 20 张外观无差异的纸签，张外观无差异的纸签， 其中三张代表门票。其中三张代表门票。 20 个同学抽签共有个同学抽签共有 20！种方式，！种方式， 同学同学MM抽到门票有抽到门票有 种抽法，种抽法， 其它同学抽取余下的签有其它同学抽取余下的签有 19！种方式。！种方式。 1 3 C 故所求的概率是：故所求的概率是： 3 19!3 20!20 p 原来不必原来不必 争先

22、恐后！争先恐后！ 2021/3/10授课：XXX20 例例7 某班有某班有30 个同学，求他们生日个同学，求他们生日“无重复无重复”的概率。的概率。 （一年按（一年按365天计算，并设人在一年内任一天出生是等可能的）天计算，并设人在一年内任一天出生是等可能的） 解：所有可能的结果有解：所有可能的结果有 事件：事件：生日生日“无重复无重复”对应的对应的 结果有结果有 30 365 , 30 365 P 故故生日生日“无重复无重复” 的概率为：的概率为： 30 365 30 0.29 365 A p 当人数为当人数为 40 时，时， 生日生日“无重复无重复” 的概率为：的概率为：0.11 当人数为当人数为 50 时，时， 生日生日“无重复无重复” 的概率为：的概率为：0.03 当人数为当人数