-数与数系Convertor解析

1、第一章数与数系 数系的历史发展 自然数系和0 从自然数系到整数环 有理数系 实数系 戴徳金分割与实数系的连续性 复数系 关于数系教学的建议 一些例题 第一节数系的历史发展 数学思维对象与实体的分离 算术到代数的演进加速了数系的形成 算法的合理性是新“数”获得承认的主要原因 与实体不能直接对应的理想数” 用结构主义方法构造数系 这样太不方便了！ 一. 数学思维对象与实体的分离 后来聪明的人们发 明了一些记数符号， 这就是数字。 自然数集一正有理数集一有理理数集一实数集一复数集。 当人们还普遍怀疑负整数是一种数时，人们就已经在研究正的有理数和无理数，甚至已经开 始使用复数了。 人们可以接受正有理数

2、和正无理数，因为它们是在实体测量中产生的抽象物。 不能实际测量，正是一些数学家不愿意承认负数的理由。 二. 算术到代数的演进加速了数系的形成 毕达哥拉斯学派发现无理数 几何原本关于复杂无理数和欧多克斯利用穷解法把相似比扩展到无理数情形的记载。 字母表示数和方程求解的运算过程促进了人们对无理数的接受。 对毕达歌拉斯而言，当时的数学知识只能认识到整数，虽然分数总可以用正数表达。数学 之美在于有理数能解释一切自然现象。这种起指导作用的哲学观使毕氏对无理数的存在视而 不见，甚至导致他一个学生被处死。 三. 算法的合理性是新“数”获得承认的主要原因 大量研究表明，最早使用负数的是中国人。约公元前200年

3、的九章算术有记载。 负数受到数学家的普遍承认主要是依赖于算法的无矛盾性。两个例子：解方程和比例的内项 之积等于外向之积。 中国的“开方术”算法使中国人很自然地接受了无理数。 复数幕的欧拉公式的逻辑相容性促使人们承认虚数。 四. 与实体不能直接对应的“理想数” 希尔伯特用“理想元”概括数学中的“虚数”和“无限”这类并不直接与实体对应的数学概 念。如引入理想元，即无限远点和无限远直线之后，两条直线总在一点而且只在一点相交这 条泄理普遍为真。 鲁宾逊证明了通常的实数系R可以扩充为一种包括“无穷小”和“无穷大”在内的非标准 实数系R*,在R*定义的各种运算和R中的运算不会发生矛盾。同时R中的极限过程可

4、以用 R*中的四则运算代替。 五. 用结构主义方法构造数系 微积分中“无穷小”的不严密一希尔伯特的几何基础一布尔巴基学派的结构主义 我们把具有特定结构的数的全体，称为一种数系。 借助抽象代数的语言，各种数系可以浓缩为一系列代数结构和序结构的组合。 数系的扩充过程是在原有的数系上添加新的元，规定新的运算，形成新的结构，最终扩充为 新的数系。 数系扩充应遵循的结构主义原则 A是B的真子集。用A中的数，按照逻辑方法构造B中的数。 在新数上建立各种运算。A的元间所左义的运算关系，在B的元间也有相应的泄义，且B 的元间的这些关系和运算对B中的A的元来说与原左义一致：这保证老结构和新结构彼此 相容。 B的

5、结构和A的结构可能有本质不同。某种运算在A中不是总能实施，在B中却总能实施。 在A的具有上述三个性质所有的扩展中，在同构意义下，B是唯一最小扩展。 两点说明： 数集的每次扩充都解决了原数集不能解决的一些矛盾，使貝应用范用扩大，但同时也失去一 些性质。如从N到乙Z对减法具有封闭性，但失去了良序性，即N中任何非空子集都有 最小元素。又如C使任何代数方程都有根，但失去了 R的顺序性，即C中元素无大小可言。 复数集的扩充问题：如果满足复数集的全部性质，任何扩充都不可能。但若舍弃乘法交换律, 则可将C扩展到四元数集。 第二节自然数系和0 自然数的基数理论 自然数的序数理论 关于自然数系的几点说明 自然数

6、和0 建立自然数理论的几种方案 康托尔以集合论为基础，建立自然数基数理论； 皮亚诺以公理法为基础，建立自然数序数理论； 罗素等人试图用纯逻辑学为基础，建立自然数理论。 一、自然数基数理论 基数理论是以原始概念集合”为基础的。 把一切集合按对等关系分类，使所有对等的集合分为一类,这时同一类集合有一种共同特征。 如： 一只羊、-只兔）、 一个人、（aJ等，它们都是对等的集合，应归为一类。显 然，羊、兔、人和字母不是它们的共同特征。而只有1”才是它们共同特征的标志。 类似，三棵树、（三头牛、（三条鱼）、 a.b,c 等，是对等的集合，“3”是它们共 同特征的标志。 泄义1： 一切对等的集合的共同特征

7、的标志，成为这些集合的基数（或势）。有限集的基数 叫做自然数。若集合A与B的基数相同，记作AB 不含任何元素的集合，它的基数记作0；只含一个元素的有限集，英基数记作1：含有两个 元素的有限集，其基数记作2：；从而得到自然数0, 1, 2, 3。 顺序泄义 如果有限集A和B的基数分别为a, bo那么， 当时，说a等于b,记作a =b： 当时，就说a小于b ,记作a b。 运算定义 加法泄义：设A、B是有限集，A和B的基数分别为a, b , 则A,B的基数为a加 上b的和，记作。 二、自然数的序数理论 基数理论建立在直观经验基础之上，易于理解。但没有很好揭館自然数在顺序上的意义。 把自然数系作为严

8、格的逻辑系统，采用公理化的方法加以研究在19世纪末得以实现。 皮亚诺(GPcano)在1889年建立了自然数的公理系统。 1、自然数(皮亚诺)公理 (两个形式符号1和5条公理) 1是自然数： 每个自然数a都有一个后继a； 1不是任何自然数的后继； 若 a=b,则 a=b (归纳公理)自然数的某个集合若含1,而且如果含一个自然数a就一泄含a,那么这个集 合含全体自然数。 记全体自然数所组成的集合为N。 按照上述公理，从1开始，1有唯一的后继1,记1=2： 2有唯一的后继2,记2=3： 如此下去，得到自然数集合N=( 1.2,3,。因此“后继”是自然数集上的一个顺序关系， 由于自然数具有这种“自然

9、顺序”关系，因此我们也把自然数看成“序数”。 潜无限：可以始终不断地一直进行下去，而无法穷尽。如自然数集的无限性。 实无限：一次性地、同时地呈现在我们而前，在意识中，好像这种无限是一种能够实现的无 限。如一条线段上点的个数的无限性。 公理5是第一数学归纳法的逻辑依据 定理1 (第一数学归纳法)设P(n)是一个关于自然数的命题，如果P(n)满足下而的条件： P成立: 假定从P(k)成立可以推出P(k+1)也成立； 则命题P(n)对所有的自然数n都成立。 证明： 设M是使P(n)成立的自然数的集合。 由于P(l)成立，可知1 又因由P(k)成立可以推出P(k+1)也成立，所以如果kGM，其后继元k

10、也属于M。 于是由公理5得M=N (全体自然数所成的集合)。 因此，对于对于任意的自然数n, P(n)成立。 2、自然数的加法和乘法 左义1 (自然数的加法)在自然数N中，满足下列条件的二元运算“+”，叫做加法： 对任意的a,有a+l=a； 对任意的a.bWN,都有a+bGN,且a+b= ( a+b) 其中a+b叫做a与b的和。a, b分 别叫做被加数、加数。 立理2自然数的和存在且唯一 立理3 加法交换律 定理4 加法结合律 定义2 （自然数的乘法）在自然数集N上，满足下列条件的的二元运算“ ”叫做乘法： 对任意的自然数a,有al=a： 任意自然数a.b,有ab=ab+a。 a b称为a与b

11、的积，简记为ab。 立理5自然数的乘法对加法的分配律 立理6乘法交换律 定理7乘法结合律 定理5的证明。即证:对任意自然数a、b、c,总有（a+b）c=ac+bc 对乘法交换律的探讨 在全日制义务教冇数学课程标准（实验稿）关于乘法的注解： 关于乘法：3个5,可以写作3X5,也可以写成5X3。3X5读作3乘5,3和5都是乘数 （也可以叫因数）。 这一提法的本意是不再区分“乘数”和“被乘数”，有一泄的合理性，但不太严谨。 本书作者看来，先要定义乘法的意义，才会有乘法的运算。乘法交换律是由乘法定义，要用 到原始的后继”概念，用到数学归纳法才能进行严格证明。在小学讲这个显然不行。 小学里重视数学情境创

12、设，加以具体解释，帮助学生理解乘法交换律就够了。但用集合论解 释、画图解释、举例解释都是解释，而不是证明。 注解改为：3个5相加记作3X5,由于正整数满足乘法交换律，所以也可以写成5X3。 3自然数集的一些重要性质 泄义3 （半序集）一个集合M,如果在M上定义了一个关系W,满足条件： （自反性）对于任意的XGM，总有xWx： （反对称性）如果xWy,yWx,那么x=y： （传递性）如果xy,yWz,那么xWz,则W称为半序关系，M称为半序集或偏序集。 如果进一步还满足条件： 对一切的x,y, xy, yWx两式中至少有一个成立，则M称为全序集 假定全序集M满足下而条件： M的任何一个非空子集A

13、,都有最小元xO,即对于任何XGA,总有xOWx,那么M称为良序集。 自然数集N关于通常的小于关系“W”是良序集。 立理8 （自然数的离散性）任两个相邻的自然数a与a之间，不存在自然数b,使得ab 证明：若ba,则存在kGN ,使b=a+ko因kMl,所以a+k2a+l,即bMa、，矛盾，故结 论不可能成立。 泄理9 （阿基米徳性质）对任意自然数a、b,必有自然数n,使nab0 对自然数基数理论和序数理论的反思 自然数的基数理论回答了一个集合含多少个元”的问题，自然数的序数理论反映了事物记 数的顺序性，回答了 “第几个”的问题。 从皮业诺公理系统出发，左义并采用严格的逻辑演绎的方法证明了自然数

14、的一系列运算法 则。这种公理化方法更多地关注数学推理的可靠性，并力图把这种推理的可靠性归之于简单 而明了的可靠的公理体系。具有明确的科学和哲学的价值和意义，体现了人类的理性精神。 但不易理解。 在实际的数学教学中应把握好“适度形式化”原则。 三、关于自然数系的几点说明 1. 泄义了加法和乘法运算的自然数系统也称为算术系统，它是数学中最基础的一个系统。 2公理系统的一个基本要求是公理之间的在逻辑上的相容性，也就是说必须保证从公理出发 不会推导出两个矛盾的命题。但1931年，哥徳尔i正明：算术系统的相容性是不可能用自身 的公理加以证明的。 3整数的算术运算系统中存在大量的数论难题。具有宝贵的教学价

15、值 四、自然数与0 历史和现状 “自然数”这一术语首先被罗马学者波伊修斯使用。早期自然数只是正整数。 自然数基数理论和序数理论都没涉及0。 我国数学教科书中在20世纪90年代之前一直没有把0作为自然数。 1993年中华人民共和国国家标准中量和单位311页规定自然数包括0。 据文件，近年中小学数学教材进行了修改。 不赞成自然数包含0 自然数包含0会带来一些不便：小学阶段的“整除”部分，仍然不考虑自然数0。在约数和 倍数等概念中都不包括0。 不把0作为自然数并不会对数学内容产生实质影响，也不会对国际数学交流产生障碍。 主张自然数包含0 尽早引入0,有利于学生对自然数理解。如学生理解2-2=0很自然

16、。 0对数的扩展十分重要。自然数若不含0,将自然数系扩展到整数系，就先必须添加0。 从集合论公理系统出发可以认为0是自然数是合理的。因为0与空集的基数对应。 0是否是自然数可以看做一个规定0 第三节 从自然数系到整数环 从自然数系到整数系的扩充 整数系是交换环 整数在日常生活中的应用 1、从自然数系到整数系的扩充 在自然数集N中，对任意的自然数a、b,方程b+x=a, bx=a不总是有解，因此产生了将 自然数集进行扩充的需要。 要使方程b+x=a在新的数集中有解，x必泄与有序自然数对(a、b)有关，如果用 a-b表示新数x,就会产生符号表示新数的不唯一性。例如，两个不同的符号a-b. c-d,

17、当 a+d=b+c时，有a-b=c-do为了解决新数与表示符号一一对应的问题，我们采用自然数序偶 等价类的方法来构造整数集。类似的思想方法也适用于有理数集的建立。 设笛卡尔积NXN是一切自然数序偶的集合，即NXN= (a.b)la.bGN0 定义1两序偶(a.b)、(c.d)相等，当且仅当a=c. b=do 定义 2设(a.b),(c.d)WNXN,如果 a+d=b+c,则称(a,b)等价于(c,d),记为(a.b)(c.d)。 定理1 NXN中关系“”是个等价关系，即关系“”满足： (反身性)(a,b)(a,b)： (对称性)若(a,b)(c,d),则(c.d)(a.b)； (传递性)若(a

18、.b)(c,d), (c,d)(e,f),贝i (a.b)(e,f)。 只证明C 证明V (a.b)(c.d) , (c.d)(e.f), .a+d=b+c, c+f=d+e0 于是，a+d+f=b+c+f=b+d+e, 由消去律，得 a+f=b+e, (a.b)(e.f) C得证。 NXN中与(a.b)等价的一切序偶组成的集合叫做(ab)的等价类，记为a.b。例如， 3.1 = (4,2) ,(6,4) , (9,7) , 2,5= (1,4) , (3,6) ,(4,7) , 1.1 = (2,2) , (3,3) ,(4,4) 立义3 NXN中序偶的等价类叫做整数。一切整数的集合叫做整数

19、集，记为Z= a-b| a,b EN o 定义4 Z中加法、乘法规泄如下： a.b+c,d=a+c.b+d a,b- c,d=ac+bd5ad+bc 这里，a+c.b+d、ac+bd.ad+bc分别叫做a,b、c,d的和与积。 上述运算结果与代表元的选取无关 设a,b=a,b, c,d= c,d ,求证 (1) a,b+c.d=a.b+cd, (2) a,bc,d = a,bc,d 证明(2) Va,b=a,b, c,d= c,d a+b = b+a, c+d =d+c。 于是，ac+bc=bc+ac, ad+bd=bd+ad, 两式相加，得 ac+bc+bd+ad=bc+ac+ad+bd,

20、所以ac+bd, bc+ad=ac+bd, bc+ad, 即a, b c, d=a, bc, d. 同理可证a, bc,d= abJ c.d, 所以a,bc,d= a.bJ c.d。 Z包含子集合 a-0| aeN ,该子集与自然数集N中的元一一对应。不妨把该子集中的 元a-0等同于自然数a,这样整数集Z包含自然数集N,而且自然数系中原有的运算法则在新 的数系中保持不变。 在自然数集中不总能进行的减法在整数集中得以实现。 整数集是全序集，而不再是良序集。 自然数集与整数集的关系 2、整数系是交换环 设S是个非空集合，如果存在一个法则“。”，使对S中任意两个元素都有S中唯一确泄的 元素与之对应，

21、则称“ o ”是S的一个二元代数运算，S对运算“ o ”构成一个代数结构， 记为(S, o )。 在(S,。)中，如果运算O ”满足下列条件： (结合律)ao(boc)=(aob)oc,a、b、cGS； 存在单位元i,使i o a=a o i, aGS： 对S中任一元素a,存在逆元a-1，使a o a-l= a-1 o a =i 则称(S, o )为群，用G表示之。 如果“ o ”还满足 (交换律)a o b=b o a, a,bwS。则称G为交换群。 在(S, o )中，如果运算“。”仅满足结合律，但未必有单位元或逆元，则称S为半群。 如果(S, +)是交换群，(S, o )是半群，且满足“

22、 o ”对“+”的分配律。即 a o (b+c)= ao b+ a o c, a、b cWS。 则称代数结构（S, +, 0 ）是个“环”。 在环（S, +, o ）中，如果运算“ o ”满足交换律，并且单位元与非零元素的逆元存在， 则称（S, +, o ）是个“域”。 （N. +）,（N,）是可交换的半群。 立理2整数集Z中的加法、乘法运算满足结合律、交换律和分配律。 在Z中，整数1,1具有特殊性质： 对任意整数a,b, a,b+l,l=a,b： 对任意整数a,b （aHb）,存在整数b,a,使a,b+ b,a=l,la 立义5 整数1, 1叫做整数集Z的零元（或者叫做数零）：对任意整数a,

23、 b （a Hb）, b, a叫做a, b的逆元（或者叫做相反数）记为a, b。 （乙+）是交换群，（乙）是半群，而且（z, +,）中乘法对加法的分配律成立。因此, 是环。 整数环对于除法运算不封闭，但是任意两个整数总是可以进行带余除法，我们把这种有带余 除法的环称为欧几里得整环。 3、整数在日常生活中的应用 现在使用的身份证号码是18位，前6位表示地区，此后的8位是出生年月日，再后的3位 是持证者在该地区同年同月日出生的岀生者的编号，第17位代表性別，男为奇数，女为偶 数。共17位本体码。最后一位是检验码。 下而是根拯17位本体码求检验码的方法。 十七位数字本体码加权求和公式 S = Sum

24、（Ai * Wi）, i = 0,., 16 , Ai:表示第i位宜上的身份证号码数字值 Wi:表示第i位置上的加权因子 Wi:79 10 5842 16379 10 5842 计算S除以11的最小非负余数Y,表为Y = mod（S, 11）0 通过余数得到对应的校验码。 Y:0 1 2345 67 89 10 校验码:1 0X98765432 以北京市朝阳区为例： 1 1 0 105 1 9491231 002X （身份证号码） 79 105 842 1 6379 105 842 （加权因子） 7+9+0+5+0+20+2+9+24+27+7+18+30+5+0+0+4= 167. 167

25、除以 11,余 2,对应 X。 第四节有理数系 Rational Number （有理数），因为ratio是“比的意思，有人把它译成“比数：Irrational Number （无理数）译成“非比数”。成比例有理，不成比例无理。 分数的三种定义 1有理数的形式化定义 第一步：作整数偶集合A= （a,b） I a.b WZ.bH0。泄义A上的关系（a,b）（c,d）当 且仅当ad=bc.容易验证这是一个等价关系。 记Q为A的等价类做成的集合。把Q的元记为a/b,左义Q上的加法和乘法运算。 第二步：验证Q在上述运算之下称为一个域。 即验证Q为一个交换加群，交换乘法群和乘法对加法的分配律成立。 2、

26、有理数系的一些性质 有理数域是最小的数域，也就是有理数域不含負子域。 证：只需证任意数域都包含有理数域。 设P是任意一个数域，有数域的立义知P至少含有一个非零的数a。又l=a/aep,用1和它 自己的重复相加，可得全体正整数，因而全体正整数属于P。又O=a-a ep,故P含有0及 与任意正整数的差，即含有0及全体负整数。于是P含全体整数。又知数域P中除法是封 闭的，故P也含任意两个整数的商（分母不为0）,因而P包含Q。 有理数集是一个稠密集，即任总两个不同有理数a与b （ ab）之间，均存在一个有理数c, 使得acOP 康托公理设直线1上有一个无穷线段序列A1B1, A2B2,，AnBn，且满

27、足下列条件： (2)当n充分大时，lAnBnl可以任意小。 则在1上有且仅有一点P属于这个序列的所有线段。 对于任一线段0P,我们总可以用一个十进制小数来表示它的长度。具体步骤如下： 选泄一线段OE为长度单位，从O点开始，沿着0P方向陆续截取单位线段0E,根据阿基 米徳公理，总存在非负整数aO,使a0OEWOPV (aO+1) 0E (如图) 如果OP=aOOE,则OP的长度为aO：如果截取aO次后，还剩小于OE的线段A0P,贝9用 十分之一 OE为单位线段去截线段A0P。如果仍然有剩余，再用百分之一 OE为单位线段 去截剩下的线段。如果继续下去，必然出现两种可能： (1) 用 OE为单位线段

28、去截剩下的线段，恰好截尽，这时线段OP的长度a就是有限小 数。 其中，0Wai9 , ai GN (i=l, 2, -n) 简记为IO PI=aO.ala2 an。 (2) 无止境地截下去，始终不能把线段OP截尽，这时得到一个无限十进小数。 +， 其中,0Wai9 , ai GN (i=l, 2, -n) 简记为IOPI= a0.ala2an。 出于线段度量的需要，我们得到无限小数。 无限小数有两类：一类是无限循环小数，一类是无限不循环小数。 如果a是无限循环小数，则线段OP的长度就是一个有理数：如线段0P不可能用一个有理 数表示它的长度，则a就是无限不循环小数。 由于不能用有理数表示其长度的

29、线段是存在的（例如，单位正方形的对角线），所以无限不 循环小数也是存在的。 定义1称十进小数+，为正实数（aO为非负整数，0MaiW9, ai GN, i=l 2,，n.）简记为 a =aO.ala2an。 对于每一个正实数a,有一个数-a与之对应，-a叫做负实数。正实数、负实数、零构成实 数集，记为R。 如果实数a是无限不循环小数，则称a是无理数。 由于有理数可以表示为有限小数或无限循环小数，所以实数集是有理数集与无理数集的并 集。 2、区间套定义实数的方法 任一实数都有精确到某一位的不足近似值与过剩近似值，利用不足近似值与过剩近似值构造 以有理数为端点的区间系列，可以刻划实数，这就是用区间

30、套泄义实数的方法。 例如，要确泄满足条件 2=2的实数a,则有一系列不等式：1V a V2, 1.4V a V 1.5,1.41 a 1.42, 1.414a 0,总存在一个自然数N, 只要m, nN,就有| an-am I 0,总存在一个自然数N,只要nN,就有 I an- bn I 0,总存在一个自然数N,只要nN就有| an- a I 0,满足 下列条件： a0或者-a0,两者恰有一个成立； 若 a,b0,则 a+b0,ab0。 根据有序域F上的正性关系”泄义序关系”：对a,bGF,定义ab (或b0o据有序域定义可验证这一 “序关系”满足下列条件： 对a,bF,有ab、ab, bc,则 ac。 满足条件的序关系的集合称为