高考热点问题三：数列(A

1、高考热点问题三：数列（A）1. 已知等比数列前n 项的和为2，其后 2n 项的和为 12，则再后面3n 项的和2. 已知等差数列的公差 d0，前 n 项和记为 Sn，满足 S20 0， S210，则当 n _时， Sn 达到最大值3.已知正项数列 an中， a11 ， a2 2222(n2) ，则 a6 等于， 2anan 1an 14.数 列 an 中 ， a18 ， a42 ， 且 满 足 an 22an 1 an 0 ， 若Sn | a1 | | a2 | an |，则 Sn =5. 已知数列 an 的前 n 项和 Sn 满足： Sn SmSn m，且 a1 1.那么 a106.数列 a

2、n 前 n 项和为 Sn ,1m, n , 都有 am naman , 若已知 a1, 且对任意正整数5Sna 恒成立 , 则实数 a 的最小值为7.设 anlog n 1 (n2) (nN ) , 称 a1a2a3ak 为 整 数 的 k 为 “ 希 望 数 ”,则 在(1, 2013) 内所有“希望数”的个数为_.8.对 任 意x R， 函 数 f ( x)满 足f ( x 1 )f ( x )21， 设fx() 312an f (n) 2f (n) ，数列 an 的前 15 项的和为，则 f (15)169.nn 0(n N*1 5 2a35 a2 8 25，又 a3 与 a5在等比数列

3、 a 中， a)，公比 q (0,1)，且 a aaa的等比中项为2，设 bn log 2an， 数列 bn 的前 n 项和 S，若 nS1 S2 Sn k 对任意 n12n N* 恒成立，则正整数 k 的最小值为10. 右表给出一个 “三角形数阵 ”已.知每一列数成等差数列， 从第三行起， 每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第i 行第 j 列的数为aij （ ij ,i , j N * ），则 a53 等于， amn_( m3) .11.1已知数列 an 的前 n 项和为 Sn 且满足 an 2SnSn 1 0(n 2)，a1 .则 an 通项公式为212.公差为 d , 各项均

4、为正整数的等差数列 an 中 , 若 a1 1, an73 , 则 nd 的最小值等于_.13. 已知数列an (n N * ) 的前 n 项和为 Sn , 数列Sn是首项为0,公差为1 的等差数n2列 .(1) 求数列 an 的通项公式 ;4an( n*) , 对任意的正整数k , 将集合 b2 k 1,b2k , b2k 1(2) 设 bn2N中的三个元素15排成一个递增的等差数列, 其公差为 dk , 求证 : 数列 dk为等比数列 .14. 已知递增的等差数列 an 的首项 a11，且 a1 、 a2 、 a4 成等比数列（1）求数列 an 的通项公式 an ；（ 2）设数列 cn 对

5、任意 n N * ，都有 c1c2cnan 1 成立，求 c1 c2cn 的2222n值15.已 知 数 列an的 前 n 项 和 为 Sn , 且 满 足 a1a (a3 ),an 1Sn3n , 设bnSn3 n , nN.(1) 求证 : 数列 bn 是等比数列 ;(2) 若 a n 1 a n , n N , 求实数 a 的最小值 ; (3) 当 a 4 时 , 给出一个新数列en , 其中 en3 ,n1bn ,n, 设这个新数列的前2n 项和为 Cn , 若 C n 可以写成 t p( t , pN 且 t 1, p1 ) 的形式 , 则称 Cn 为“指数型和” . 问 C n 中

6、的项是否存在“指数型和”, 若存在, 求出所有“指数型和”; 若不存在, 请说明理由 .16. 已知数列a 具有性质 : a1 为整数 ; 对于任意的正整数n , 当 an 为偶数时 ,nan 1an; 当 an 为奇数时 , an 1an 1.22(1) 若 a1 为偶数 , 且 a1, a2 , a3 成等差数列 , 求 a1 的值 ;(2)设 a1 2m3( m 3 且 mN), 数列 an的前 n 项和为 Sn , 求证 : Sn 2m 13 ;(3)若 a1 为正整数 , 求证 : 当 n1 log 2 a1 ( nN)时 , 都有 an 0 .17. 已知函数f ( x)log 3

7、 ( axb) 的图象经过点A( 2,1) 和 B(5,2) ，记 an 3f (n ) , nN * .（1）求数列 an 的通项公式；（ 2）设 bnan,Tnb1 b2bn，若 Tm1 对一切 nN * 均成立，求m 的范围；2nnm1（3）求使不等式(11 )(11) (11 )p 2n1 对一切 nN * 均成立的最大实数a1a2anp .18. 在单调递增数列 an 中， a12 ，不等式 (n1)anna2n 对任意 nN* 都成立 .（）求 a2 的取值范围；（）判断数列 an 能否为等比数列？说明理由高考热点问题三：数列（A）参考答案13.:(1)Sn0(n 1) 1, Sn

8、 (n1) ,n2n2N * ),ann1(n(2)(1)b4 (2) n1 (nN * )n15, b2 k 14 ( 2) 2 k 24 22k 2 , b2 k4 ( 2)2 k 14 22k 1 ,15151515b2 k 14 ( 2) 2k4 22 k ,15152b2 k 1b2kb2 k 1 b2 k b2k 1b2k 1b2 k , b2 k 1, b2 k 1,dkb2 k 1b2k 14 22 k4 22 k 24k,dk1515514,dkdk14.and(d0)11a1 a2 a4a22 = a1a42( 1d 2)1( 1 d3 ) d0d13ann(nN *)42

9、an1nc1c2cnn 1n N*1222nc12n12 c1452n2c1c2cnn1c1c2cn 1ncn2 222n2 222n 11cn2n72ncn4(n1)82n(n2)c1c2c20124222322012422 (122011 )22013103n3n , bn1215.:(1)an 1SnSn 12SnSn3n ,nN, a 3 ,bn 1Sn 13n 12Sn3n3n 1.bnSn3nSn 3n=2,bnb1S13 a 3 ,bn(a 3) 2n 1 .(2)(1)Sn3n(a3)2n 1anSnSn 1, n 2, n Nanan12 3n 1( a 3) 2n 2;n

10、2an 1a n ,a2a1,a9anann21所以 a9, 且a3. 所以 a 的最小值为(3)由 (1) 当 a4时 , bn2 n 1当 n2时 , C n3 2 42 n2n1, C13 ,所以对正整数 n 都有 C n2n1.由 t p2n1 , t p12n ,( t, pN且 t1, p1), t 只能是不小于3的奇数.pp当 p 为偶数时 , t p1(t 21)(t 21)2 n ,pp因为 t 21和 t 21 都是大于1 的正整数 ,pp所以存在正整数g, h ,使得 t 212 g , t 212h ,2 g2 h2 ,2h (2g h1) 2 , 所 以 2h2 且

11、2 g h1 1h1, g 2 , 相 应 的n3,即有 C332, C3 为“指数型和” ;当 p 为奇数时 , t p1(t1)(1 tt 2t p1 ) , 由于 1 tt 2t p 1是 p 个奇数之和 , 仍为奇数 , 又 t1为正偶数 , 所以 (t1)(1 tt 2t p 1 )2n 不成立 , 此时没有“指数型和” .16.设 a12k ,a2k , 则 : 2ka32k ,a30分两种情况 :k 是奇数 , 则 a3a21k10 ,k1 ,a12, a21,a3022a2k若 k 是偶数 , 则 a30 ,k0, a10, a20, a3022当 m3时,a12m3,a22m

12、 11,a32m 2 , a42m 3 ,a52m 4 , am2, am 11,am2an0 SnSm 11 22m4 2m3 n1log2 a1 , n1log2 a1 , 2n1a1an , an是偶数an由定义可知 :an 12an122, an是奇数 an 11an2 ananan1a2a111 a1an1an2a12n an12n11n12 anN , an0 ,综上可知 : 当 n1log 2 a1 ( nN) 时,都有 an0log 3 (2ab)1a2，17. 解：（ 1）由题意得b)，解得b1log 3 (5a23an3l o 3g(2n 1)2n1, nN *f (x)

13、l o g(2x 1)（2）由（ 1）得 bn2n1，Tn1352n 32n12n2122232n 12 n1132n52n32n1 -得Tn22232n 12n2n 121122222n11(11112n1Tn2122232n 12n2n 1211222n 22n 1 )n 1222312n 1 .Tn312n 132n 3，2 2n 12n 12n 22n2n2n 3f (n 1)2n52n 5111 1设 f (n), n*，则由2n 112nNf ( n)2n32(2n3)22n 3252n 32n得 f (n), nN *随 n 的增大而减小当 n时， Tn32n又 Tnm1m131

14、 m2m1恒成立，1m（ 3）由题意得 p1(11 )(11 )(11 )对 nN *恒成立2n1a1a2an记 F (n)1(11 )(11 )(11 )，则2n1a1a2anF (n1)1(11 )(11 )(11 )(11)2n22(n1)2n3a1a2anan 1F ( n)1(111(11)(2n1)(2n3)4(n1)212n 1)(1)ana1a22(n1)12(n1)F (n)0,F (n1)F (n),即 F (n) 是随 n 的增大而增大F (n) 的最小值为 F (1)23 ，p23，即 pmax23 .33318. （）解：因为 an 是单调递增数列，所以 a2a1 ， a2 2 .令 n1， 2a1a2