人教版高一数学必修一基本初等函数解析

1、基本初等函数一【要点精讲】1指数与对数运算（1）根式的概念：定义：若一个数的n 次方等于 a( n1,且 nN ) ，则这个数称 a 的 n 次方根。即若x na ，则 x 称 a 的 n 次方根 n1且 nN) ，1）当 n 为奇数时， a的n 次方根记作 n a ；2）当 n 为偶数时，负数a 没有 n 次方根，而正数a 有两个 n 次方根且互为相反数，记作na (a 0)性质： 1）(na)na2n为奇数时，nana； ）当3）当 n 为偶数时， n a| a |a(a0)a(a。0)（2）幂的有关概念规定： 1） a naaa(nN ； 2） a 01( a0) ；*n个3） a p1

2、p ( pmn a m ( a0, m 、 nN且 n 1)Q， 4） a n*a性质： 1） a ra sar s (a0,r 、 sQ）；2） (ar ) sa r s ( a0, r 、 sQ）；3） (a b) ra rb r ( a0,b0, rQ）。（注）上述性质对r 、 sR 均适用。（3）对数的概念定义：如果a(a 0, 且a 1) 的 b 次幂等于 N，就是 a bN ，那么数 b 称以 a 为底 N 的对数，记作 log aNb,其中 a 称对数的底， N 称真数1）以 10 为底的对数称常用对数，log 10 N 记作 lg N ；2）以无理数 e(e2.71828 )

3、为底的对数称自然对数，log e N ，记作 ln N ；基本性质：1）真数 N为正数（负数和零无对数）；2） log a 1 0 ；13） log aa 1；4）对数恒等式：alog a NN 。运算性质：如果a0, a0, M0, N0, 则1） log a (MN )log aMlog aN ；2） log aMlog a Mlog a N ；N3） log aM nn log aM (nR）换底公式： log a Nlog m N ( a0, a0, m 0, m 1, N 0),log m a1） log a b log b a1； 2） log a m b nn log a b 。

4、m2指数函数与对数函数（1）指数函数：定义：函数 ya x (a 0, 且 a1) 称指数函数，1）函数的定义域为R； 2）函数的值域为(0,) ；3）当 0a1时函数为减函数，当a1 时函数为增函数。函数图像：1）指数函数的图象都经过点（0， 1），且图象都在第一、二象限；2）指数函数都以 x 轴为渐近线（当 0 a 1 时，图象向左无限接近 x 轴，当 a 1 时，图象向右无限接近 x 轴）；3）对于相同的 a(a0,且 a 1)，函数 ya x 与 ya x 的图象关于y 轴对称函数值的变化特征：0a 1a1 x 0时0y 1 ， x 0时y1 ， x 0时y1 ， x 0时y1 ， x

5、 0时y 1 x 0时0y 1 ，2（2）对数函数：定义：函数ylog a x(a0,且 a1) 称对数函数，1）函数的定义域为(0,) ； 2）函数的值域为R；3）当 0a1时函数为减函数，当a1 时函数为增函数；4）对数函数 ylog a x 与指数函数 y a x (a0,且 a1) 互为反函数函数图像：1）对数函数的图象都经过点（0， 1），且图象都在第一、四象限；2）对数函数都以y 轴为渐近线（当0a1时，图象向上无限接近y 轴；当 a1 时，图象向下无限接近y 轴）；4）对于相同的a(a0,且 a1) ，函数 ylog a x与ylog 1 x 的图象关于 x 轴对称。a函数值的变

6、化特征：0a 1 x1时y0 ， x1时y0 ， 0x 1时y 0 .（3）幂函数1）掌握 5 个幂函数的图像特点a 1x 1时 y 0 ，x1时 y0 ，x0时 0y1.2） a0 时，幂函数在第一象限内恒为增函数，a0 时过（ 0， 0）4）幂函数一定不经过第四象限3四【典例解析】题型 1：指数运算例 1（ 1）计算： ( 3 3)22113 (5 4) 0.5(0.008)3(0.02)2(0.32) 2 0.06250.25 ；89412a 38a 3 b23ba 3 a 2(a（2）化简：223a)5a3a。4b323 aba3解：（ 1）原式 =( 82122 ( 6251) 3(

7、49)2(1000) 3504) 427981010000471421172)22；32522(9951091111121（2）原式 =a 3 ( a 3 ) 3(2b3 )3 a 32b 3( aa 3 ) 21111a111( a 3 ) 2a3(2b 3 )(2b 3 ) 2(a 2a3 ) 5111512aa 6a3 (a 32b 3 )a 3a a 3a2111。a 32b 3a 6点评：根式的化简求值问题就是将根式化成分数指数幂的形式，然后利用分数指数幂的运算性质求解，对化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式保留；一般的进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数

8、为分数运算，同时兼顾运算的顺序。11例 2（ 1）已知 x 2x 211解： x 2x 23 ，11x2x3，求3x2x2322 的值3 (x 2x 2 ) 29 ， x2x 19 ， xx 17 ， (xx 1) 249 ， x2x 247 ，3311又 x2x 2( x 2x 2 ) ( x 1 x 1 ) 3 (7 1) 18 ，4x2x3x 2x232247218333 。点评：本题直接代入条件求解繁琐，故应先化简变形，创造条件简化运算。题型 2：对数运算（2） .( 江苏省南通市2008 届高三第二次调研考试) 幂函数 yf ( x) 的图象经过点( 2,18) ，则满足 f ( x

9、) 27 的 x 的值是.1答案3例 3计算（1） (lg 2) 2lg 2lg 50lg25 ；（ 2） (log 3 2log 9 2)(log 4 3log 8 3) ；（3）lg 5lg 8000(lg 23 )21 lg 0.0361 lg 0.1lg 60022解：（ 1）原式(lg 2) 2(1lg5)lg 2lg5 2(lg 2lg51)lg 22lg5(1 1)lg 22lg52(lg 2 lg5)2；（2）原式 ( lg 2lg 2)( lg3lg3 )( lg 2lg 2 ) (lg3lg3 )lg3lg9lg 4lg8lg32lg32lg 2 3lg 23lg 25lg

10、 35；2lg 36lg 24（3）分子 = lg 5(33lg 2)3(lg 2) 23lg 53lg 2(lg 5lg 2)3 ；分母 =(lg 62) lg361lg 62lg64 ；100010100原式 =3 。4点评：这是一组很基本的对数运算的练习题，虽然在考试中这些运算要求并不高，但是数式运算是学习数学的基本功，通过这样的运算练习熟练掌握运算公式、法则，以及学习数式变换的各种技巧例 4设 a 、 b 、 c 为正数，且满足 a2b2c2（1）求证： log2 (1bc ) log 2 (1ac)1 ；（2）若 log 4 (1 bc)ab21 ， log 8 (abc)，求 a

11、、 b 、 c 的值。a351log 2 abclog2ab clog 2 ( ab c ab c )abablog2(ab)2c2a2 2ab b2c2log22ab c2c21ablog2abablog2 22log 4 (1bc)11bac4a3abc022log8 (abc)abc8343ba2c3aba2b2c22a(4 a3b) 0a04a3b0a 6b8c1035 (2009)Rf ( x)2xb.1a,b2 x1a2tRf (t 22t )f (2t 2k)0k.1f ( x) Rf (0)0,即1b0,解得 b12a2x1 .f (1)2111f ( x)f (1)知42a2

12、2 x1a2 xa1a21f ( x)111,2 x1222 x1f ( x) Rf (x)f (t 22t)f (2t 2k )0f (t 22t)f (2t 2k )f (2t 2k).f (x) Rt222t2k.tt3 22k0,412k0,解得 k1R有 tt32 x1f ( x)1 ,2 x 12t22t122t 2k120t 22t122 t 2k 1222(2 2t 2k 12)( 2t 22 t1)(2t 2 2t 12)( 22t 2k1)03t 2 2t k121322tk02t6上式对一切 tR 均成立，从而判别式412k0,解得 k1.3例 6（ 2008 广东 理

13、7）设 a R ，若函数 yeax3x ， xR 有大于零的极值点，则（B ）A a3B a31D a1C a33【解析】 f (x)3aeax ，若函数在 x R上有大于零的极值点，即f (x) 3aeax0有正根。当有f ( x)3aeax0 成立时 , 显然有 a0 , 此时 x1 ln(3 ) ，由 x0 我们马aa上就能得到参数a 的范围为 a3 .点评：上面两例是关于含指数式、对数式等式的形式，解题思路是转化为不含指数、对数因式的普通等式或方程的形式，再来求解。题型 4：指数函数的概念与性质例 7设 f (x)2ex 1 , x2，则 f ( f(2)的值为 （）log 3 ( x

14、21)， x2. 0 1 2 3ABCD解： C； f (2)log 3 (221)1， f ( f (2)2e0 12 。e点评：利用指数函数、对数函数的概念，求解函数的值1且例 8已知 f (log a x)xx(a0,a1) 试求函数 f ( x) 的单调区间。解：令 log axt ，则 x= a t ， t R。所以 f (t )aa t 即 f (x)axax ，（ R）。x因为 f ( x)= f ( x) ，所以 f ( x) 为偶函数，故只需讨论f ( x) 在 0 ， +）上的单调性。任取 x1 ， x2 ，且使 0 x1x2 ，则f ( x2 ) f (x1 )(a(ax

15、2a x2 ) (ax1a x2 )(1ax1a x1 )x1x2 )a x1 x2（1）当 a1 时，由 0x1x2 ，有 0a x1a x2 ， a x1x21，所以 f (x2 )f ( x1 )0 ，即 f ( x) 在 0 ， + 上单调递增。（2）当 0 1 时，由 0x1x2 ，有 0a x1a x2 ，ax1x21 ，所以 f (x2 )f ( x1 )0 ，a即 f ( x) 在 0 ， + 上单调递增。综合所述， 0 ， + 是 f ( x) 的单调增区间， （， 0）是 f ( x) 的单调区间。点评：求解含指数式的函数的定义域、值域，甚至是证明函数的性质都需要借助指数函

16、数的性质来处理。特别是分a1,0a1两种情况来处理。7题型 5：指数函数的图像与应用例 9若函数 y( 1 )|1 x|m 的图象与 x 轴有公共点，则m的取值范围是（）2A m 1B 1 m0C m 1D 0m 1y ( 1) |1 x|( 1 ) x 1( x1)解：2，2x 1( x1)2画图象可知 1 m1时，函数 y=log a x 和 y=(1 a) x 的图象只可能是 ()9yyyyo1xo1xo 1xo 1xABCD解：当a1 时，函数y=log a的图象只能在A和C中选，x又 a1 时， y=(1 a) x 为减函数。答案： B点评：要正确识别函数图像，一是熟悉各种基本函数的

17、图像，二是把握图像的性质，根据图像的性质去判断，如过定点、定义域、值域、单调性、奇偶性例 14设 、B是函数y= log 2x图象上两点 , 其横坐标分别为a和 +4,直线l:= +2与Aax a函数 y= log 2x 图象交于点C,与直线 AB交于点 D。（ 1）求点 D的坐标；（ 2）当 ABC的面积大于 1 时, 求实数 a 的取值范围解：（ 1）易知 D为线段 AB的中点 , 因 A( a, log 2a ),B( a+4, log2( a+4) ，所以由中点公式得D( a+2, log2a(a 4) ) 。（2） SABC=S 梯形 AACC+S 梯形 CCBB- S 梯形 AA

18、B B= = log 2(a2) 2,a( a4)其中 , ,为 ,在x轴上的射影。A BCA B C由 S ABC= log 2(a2) 21,得 0 a2 2 2。a(a4)点评：解题过程中用到了对数函数性质，注意底数分类来处理，根据函数的性质来处理复杂问题。题型 8：指数函数、对数函数综合问题例 15在 xOy平面上有一点列P1( a1, b1), P2( a2, b2), , Pn( an, bn) ，对每个自然数 n 点 Pn位于函数 y=2000(a ) x (0 a1) 的图象上， 且点 Pn, 点( n,0)与点 ( n+1,0)构成一个以 Pn 为顶点的10等腰三角形。(1)

19、 求点 Pn 的纵坐标 bn 的表达式；(2)若对于每个自然数n，以n ,bn+1 , n+2为边长能构成一个三角形，求a的取值范围；bb(3)设 Cn=lg( bn )( n N* ),若 a 取 (2)中确定的范围内的最小整数，问数列 Cn 前多少项的和最大？试说明理由解： (1) 由题意知： an=n+ 1 , bn=2000(n1a )2 。210(2) 函数 y=2000( a ) x(0 abn+1bn+2。则以 bn, bn+1, bn+2 为边长能构成一个三角形的充要条件是bn+2+bn +1bn，即( a ) 2+( a ) 10，101010解得 5( 51)。a 5( 5

20、 1) a10。(3) 5(5 1) a10， a=71 bn=2000( 7 ) 2 。数列 bn 是一个递减的正数数列，10 n对每个自然数n 2, Bn=bnBn1。于是当 bn 1 时， BnBn1，当 bn1 时， Bn Bn1，因此数列 Bn 的最大项的项数n 满足不等式bn 1 且 bn+11，1由 bn=2000( 7 ) 2 1 得： n 20。10 n n=20。点评：本题题设从函数图像入手，体现数形结合的优越性，最终还是根据函数性质结合数列知识，以及三角形的面积解决了实际问题。例 16已知函数f (x)log a (axx)( a0, a1为常数）（ 1）求函数 f (

21、x) 的定义域；（ 2）若 a=2，试根据单调性定义确定函数f ( x) 的单调性（ 3）若函数 y=f ( x) 是增函数，求 a 的取值范围。解：（ 1）由 axx0得 xax0， 0axx0x1xa 2 x 2a2f ( x) 的定义域是 x(1 ,) 。a 2（2）若 a=2，则 f (x)log 2 ( 2xx )设 x1x21， 则4(2x1x1 )(2x2x2 )2(x1x2 )( x1x2 ) ( x1x2 ) 2( x1x2 ) 1 0f (x1 )f (x2 )故 f ( x) 为增函数。11（3）设 x11则a x1a x21x2a2(ax1x1 )(ax2x2 )a(x

22、1x2 ) ( x1x2 ) ( x1x2 ) a( x1x2 ) 1 0ax1x1ax2x2 f ( x) 是增函数， f ( x1) f ( x2)即 log a (ax1x1 )loga (ax2x2 )联立、知a 1， a (1 ， + ) 。点评：该题属于纯粹的研究复合对函数性质的问题，我们抓住对数函数的特点，结合一般函数求定义域、单调性的解题思路，对“路”处理即可题型 9：课标创新题例 17对于在区间m, n 上有意义的两个函数 f ( x) 与 g( x) ，如果对任意的x m, n ，均有 f ( x)g ( x)1 ，则称 f ( x) 与 g( x) 在 m, n 上是接近

23、的，否则称f ( x) 与 g( x) 在 m, n 上是非接近的， 现有两个函数f1 (x)log a ( x3a) 与 f2( x)log a1(a 0, a1) ，给定区间xa2, a3 。a（1）若 f1 (x) 与 f 2 ( x) 在给定区间a2, a 3上都有意义，求a 的取值范围；（2）讨论 f1 (x) 与 f 2 ( x) 在给定区间a2, a3 上是否是接近的。解：（ 1）两个函数f1 ( x)log a ( x3a) 与 f 2( x)log a1(a 0, a1) 在给定区间axa2, a3 有意义，因为函数yx3a 给定区间a2, a3 上单调递增，函数在y1给定区

24、间 a2, a3 上恒为正数，x aa0故有意义当且仅当a10 a1 ；(a2)3a0（2）构造函数 F ( x)f1 ( x)f 2 ( x)log a (xa)( x 3a) ，对于函数 t(x a)( x3a) 来讲，显然其在 (,2a 上单调递减，在 2a,) 上单调递增。且 ylog at 在其定义域内一定是减函数由于 0 a1，得 02a2 a212所以原函数在区间a 2, a3 内单调递减，只需保证| F (a2) | | log a 4(1a) |1| F (a3) | | log a 3(32a) |1a14(1 a)a3(32a)1a当 0 a957 时， f1 ( x)

25、与 f 2 ( x) 在区间 a2,a3 上是接近的；12957时， f1 (x) 与 f2 ( x) 在区间 a2, a3 上是非接近的当 a12点评：该题属于信息给予的题目，考生首先理解“接近”与“非接近”的含义，再对含有对数式的函数的是否“接近”进行研究，转化成含有对数因式的不等式问题，解不等式即可。例 18设 x1 ， y1，且 2log x y2log y x3 0，求Tx24y2 的最小值。解：令t log x y ， x1 ， y1， t0。由 2log xy 2log y x30 得 2t230 ，2t23t20 ，t111 (2t 1)(t2)0 ， t0 ， t，即 log x y， yx2 ，22 T x24y2x24x (