B63方程一阶线性练习

1、x1、求微分方程 y xy = xe_的通解.-xdx解.y = e x2二e 2 ( xe e2 dx C)x 2 Xdx(xe e dx C)2x.2x2二Ce2 -e，2.求初值解问题xy*y _ex = 0y |x=i ：= 0解：xy y - ex=0可化为xx,这是一个一阶线性微分方程，通解为x即 xy = C ex-2dx y =e x (Cex idxe x dxx= 1(C ex)x再由 ylxm = 0 得 c - -11所以满足初始条件的特解为y = 1 (ex - 1)x3、求微分方程y =沁一的通解x x1sin x解：因为P(x) ， Q(x)，所以原方程的通解为x

2、x-1dx 厂e x (C .-ln x=e(Csinelnxdx)x=x(C 亠 | sin xdx)=Cx - xcosx114、求微分方程y y 亍的通解.xx11解：因为P(x) , Q(x)2，所以原方程的通解为xx1 1dx1dxy 二 e x (C2e x dx2 分 x= ex(Crelnxdx)4 分x1二 x(C dx) x二 Cx xln x6 分5、求求微分方程 y y tanx =sin 2x的通解解：因为P(x) =ta nx , Q(x)二sin 2 x，所以原方程的通解为-tan xdxtan xdxy = e (C 亠 i sin2xedx=讪沃 +闺 n2x

3、egsxdx)二 cosx(C 亠 12sinxdx)2二 C cosx2 cos x16、求微分方程xyy = x, y lx m = 1的通解x +1解：因为P(x) L _1x(x 1)Q(x)二1,所以原方程的通解为y二 eIn二 edx)(C + x +1 n x) x+1x由几空1得E故通解为八芦。y 217、设曲线求曲线y = f （x）上任一点（x, y）处切线斜率为x，且曲线经过 （1空），八 f(x).解：由题意x2,即yy = x2dx xx1 1_(=)dx2 ( =)dx1 3解得 y =e x ( x2e x dx C)=尹 Cx又曲线过点（1,2），1 3是C=0

4、,所以曲线方程为yx328、求微分方程y-y、1 xy的通解.解：原方程变形为 y( )dx1|()dx解得 y 二e *(一)e x1 dx C)L x+1二 C(x 1) -19、求微分方程y y = ex的通解.解: P(x) =1, Q(x) =ex代入公式-P(x)dxy =e Q(x)eP(x)dxdx +c10、求微分方程y13.求微分方程xy y = x, y(1) = 1的特解. y ex二0满足初始条件y(1) = 0的特解x解:P(x)丄 Q(x)exx11、12、代入公式_P(x) dxP(x)dx讨二e Q(x)e dx c1 x 1 x=Cx -eex用微分方程中的

5、方法求满足方程y=ex y(t)dt的函数y=y(x)。解： 所求方程两边求一阶导数得P(x) =-1, Q(x)二 exP(x)dxP(x) dx代入公式y=e Q(x)e dx c二 Cex ex x代入原始方程知 C=1 ，故y =ex ex x(dx? _dx解：y =e x 1 (C (x 1)x +1e x1 dx)5二 e2ln(x1)(c(x 1)廿ln(x1)dx)4 分32 2 2-(x 1) (C (x 1)2)6分解：yx(x -1)dxe -x(x 1) dxIn xIn xx=e x 1(C e x dx)(C x In x)x+1当 x=1 时，y =1即1(C 1 In 1)= 1二 C =17分1 1x所以 y(1 x In x)x +1解:dydx2xcosx2 (exe14.求微分方程(x2 -1-2xy -cosx =0 的通解cosx y-1x2 -12xRdx2dx C H en( xcosx4CeReIn( )dxcosx1C(x2 -1)ex dxx -115.求微分