5.“中国剩余定理”算理及其应用

1、盘切师说敦胃廉团卡注专诚，书悠抢金狼师说教育集团考试教学团队编录为什么这样解呢？因为70是5和7的公倍数，且除以3余1。21是3和7的公倍数，且除以5余1。15是3和5的公倍数，且除 以7余1。（任何一个一次同余式组，只要根据这个规律求出那几个 关键数字，那么这个一次同余式组就不难解出了。）把70、21、15 这三个数分别乘以它们的余数，再把三个积加起来是233，符合题意， 但不是最小，而105又是3、5、7的最小公倍数，去掉105的倍数， 剩下的差就是最小的一个答案。用歌诀解题容易记忆，但有它的局限性，只能限于用3、5、7三个数去除，用其它的数去除就不行了。后来我国数学家又研究了这 个问题，

2、运用了像上面分析的方法那样进行解答。例1 :一个数被3除余1，被4除余2 ,被5除余4，这个数最 小是几？题中3、4、5三个数两两互质。贝卩4，5=20 ；3，5=15 ；3, 4=12 ；3，4，5=60。为了使20被3除余1，用20 X2=40 ;使15被4除余1，用15 X3=45 ;使12被5除余1，用12 X3=36。1师说我育床团孕卜旗下音业眸试砒专注芳诚，帮悠抢金視然后，40 X1 + 45 X2 + 36 X4=274 ,因为，27460，所以，274 60 X4=34，就是所求的数。例2 :一个数被3除余2，被7除余4，被8除余5，这个数最小是几？题中3、7、8三个数两两互质

3、。贝卩7，8=56 ；3, 8=24 ；3，7=21 ；3，7，8=168。 为了使56被3除余1，用56 X2=112 ;使24被7除余1，用24 X5=120。使21被8除余1，用21 X5=105 ;然后，112 X2 + 120 X4 + 105 X5=1229 ,因为，1229168，所以，1229 168 X7=53，就是所求的数。例3 :一个数除以5余4，除以8余3,除以11余2，求满足 条件的最小的自然数。题中5、8、11三个数两两互质。贝卩8 , 11=88 ; 5 , 11=55 ; 5, 8=40 ; 5 , 8, 11 =440。为了使88被5除余1，用88 X2=17

4、6 ;使55被8除余1，用55 X7=385 ;使40被11除余1，用40 X8=320。然后，176 X4 + 385 X3 + 320 X2=2499 ,因为，2499440，所以，2499 440 X5=299 ,就是所求的数。例4 :有一个年级的同学，每9人一排多5人，每7人一排多12师说我看床团专題专诚，非悠抢金狼人，每5人一排多2人，问这个年级至少有多少人 ？（幸福123老师问的题目）题中9、7、5三个数两两互质。贝卩7，5=35 ；9, 5=45 ；9，7=63 ；9，7，5=315。 为了使35被9除余1，用35 X8=280 ;使45被7除余1，用45 X5=225 ;使63

5、被5除余1，用63 X2=126。然后，280 X5 + 225 X1 + 126 X2=1877 ,因为，1877315，所以，1877 315 X5=302，就是所求的数。例5 :有一个年级的同学，每9人一排多6人，每7人一排多2 人，每5人一排多3人，问这个年级至少有多少人 ？（泽林老师的 题目）题中9、7、5三个数两两互质。贝卩7 , 5=35 ;9, 5=45 ;9 , 7=63 ;9, 7, 5=315。 为了使35被9除余1，用35 X8=280 ;使45被7除余1，用45 X5=225 ;使63被5除余1，用63 X2=126。然后，280 X6 + 225 X2 + 126

6、X3=2508 ,因为，2508315 ,所以，2508 315 X7=303 ,就是所求的数。（例5与例4的除数相同，那么各个余数要乘的“数”也分别相 同，所不同的就是最后两步。）关于“中国剩余定理”类型题目的另外解法：3师说我育床团孕卜脂不寺昨试品It卡注芳诚，帮您抢金視“中国剩余定理”解的题目其实就是“余数问题”，这种题目, 也可以用倍数和余数的方法解决。小学奥赛考试时学习过，也用过， 现在把方法写出来。选了一本小学奥赛的书上的题目，讲下：例一，一个数被5除余2，被6除少2，被7除少3，这个数最 小是多少？解法：题目可以看成，被5除余2，被6除余4，被7除余4。 看到那个“被6除余4,被

7、7除余4” 了么，有同余数的话，只要求 出6和7的最小公倍数，再加上4，就是满足后面条件的数了， 6X7 + 4 = 46。下面一步试下46能不能满足第一个条件“一个数被 5除 余2”。不行的话，只要再46加上6和7的最小公倍数42，直加 到能满足“一个数被5除余2”。这步的原因是，42是6和7的最小 公倍数，再怎么加都会满足“被6除余4，被7除余4”的条件。46 + 42 = 8846 + 42 + 42 = 13046 + 42 + 42 + 42 = 172这是一种形式的，它的前提是条件中出现同余数的情况。例二，一个班学生分组做游戏，如果每组三人就多两人，每组五 人就多三人，每组七人就多四人，问这个班有多少学生？解法：题目可以看成，除3余2，除5余3，除7余4。没有同余的情况，用的方法是“逐步约束法”，就是从“除7余4的数”中4聊说我育床团廨下寺业履试品博卡注芳诚，帮悠抢金視找出符合“除5余3的数”，就是再7上一直加4,直到所得的数除5余3。得出数为18 ,下面只