2.5从力做的功到数量积(二)

1、宝石学校活页课时教案（首页）班级：高一年级科目：数学周次教学时间2012年3月 日月教案序号课题2.5从力做的功到向量的数量积（二）课型新授教学目标知识目标：（1）通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义、几何意义.（2）能运用数量积表示两个向量的夹角，会（识记、理解用数量积判断两个平面向量的垂直关系应用、分析、能力目标：能通过小组合作、自主探究，能学以致用。情感目标：激发学生学习数学的兴趣和积极性，实事求是的科学学习态创见）度和勇于创新的精神教学重点教学重点：向量数量积的运算律和运算律的理解；及难点教学难点：向量数量积的运算律和运算律的理解教学方法自主性学习+探究式学习法

2、教学反馈2.5从力做的功到向量的数量积（二二）一、平面向量数量积的运算律板1 、交换律：a b=b a书2 、数乘结合律：（入a) b = A (a b) = a ( kb)3 、分配律：（a +b) c = a c + b c设二、性质计1、a2=| a | 22、(a + b) (c + d)=a c + a d+bc+bd3 、(a + b ) 2 =2 t 、 2 a +2 a b+ b、复习引入：1 .两个非零向量夹角的概念已知非零向量 a与b,作OA = a, OB = b，则Z AOB = 0 (0 0n )叫玄与匕的 夹角2 、平面向量数量积(内积)的定义：已知两个非零向量a与

3、b,它们的夹角是0，则数量| a| b|cos二叫a与b的数量积，记作 ab,即有a b = | a| b|cos二，(0 0Wn) 并规定0与任何向量的数量积为 0.3 、“投影”的概念：作图Bj O 定义：| b|cos二叫做向量b在a方向上的投影投影也是一个数量，不是向量；当 7为锐角时 投影为正值；当t为钝角时投影为负值； 当t为直角时投影为0;当v = 0时投影为| b| ;当= 180 时投影为-|b|.4 .向量的数量积的几何意义：数量积a b等于a的长度与b在a方向上投影| b|cos二的乘积.5 .两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.1 e

4、 a = ae =| a|cos r；2a_b ：= a b = 03 当a与b同向时，a b = | a| b| ；当a与b反向时，a b = -| a| b|.特别的a a = | a|2a b|a|b|或 | a a a 4 cos v =； 5 | a b| 0 , ( a) b = | a| b|cos 二， (ab) = | a| b|cos a( b) = | a| b|cos 二,若 0 , ( a) b =| a| b|cos(二-v)=- | a| b|( _cos二)= | a| b|cos 二， (ab)= | a| b|cos 二a ( b) =| a| b|cos(

5、 t)=- |a| b|(-cos r) = . | a| b|cos n3、分配律：（a + b） c = ac +在平面内取一点 Q作0A= a,AB = b,OC = c, / a + b (即OB )在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和，即b| cos v = | a| cos h + | b| cos 卫 | c | | a + b| cos n=| c| |a| cosc| | b| cos 旳 c (a + b) = c a + cb即：(a + b) c = ac + bc说明：（1） 一般地，（a b ）(2)a c = b c ,（3）有如下常用性质:(a+ b)

6、(c + d)1 a | 2,+ a d + b c + bd11NY厂百 llb2c1 2 + bt 2 2(a+b ) = a +2C三、讲解范例:例1、已知a、b都是非零向量,b与7a - 5 b垂直,-2 b垂直，求a与b的夹角解：由(a + 3 b)(7 a - 5 b) = 0a2 + 16 ab -15b2 = 0(a - 4 b)(7 a - 2 b) = 0 二7 a22-30 a b + 8 b = 0两式相减：2a b = b2代入或得：a2 = b2a b设a、b的夹角为乙则cost =2|a|b|2 |b|22b2二=60例2求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边

7、的平方和解：如图：平行四边形 ABCD中, AB二DC , AD二BC ,AC = AB AD2 2 - - | AC|2=| AB AD |AB AD 2AB AD而 BD = AB -AD , 2 2 I BD|2=| AB AD I2 二 AB AD -2AB AD. . 2 2 F F .-1 AC I2 + I BD|2 = 2 AB +2AD = | AB |2 + | BC |2 + | DC |2 + | AD |2例 3 四边形 ABCD, AB = a , BC = b , CD = c , DA = d ,且 a b = b c = c d=a，试问四边形 ABC是什么图

8、形？分析：四边形的形状由边角关系确定，关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角量解：四边形ABCD是矩形，这是因为：一方面：T a + b+ c + d= 0, a+b=( c + d), ( a+b ) 2 =( c + d) 2即 I a|+2ab+| b|=| c+ 2cd+| d | 2由于 ab=cd,.| a+| b|=| c | 2 +| d | 2 同理有I a | 2+| d | 2=| c | 2+| b | 2由可得| a | = | c |,且| b | = | d |即四边形ABC酮组对边分别相等四边形ABCD是平行四边形另一方面，由a b = b c,有b ( a

9、c )= 0,而由平行四边形 ABC可得a= c , 代入上式得 b (2 a ) = 0, 即 卩 a b = 0,. a X b 也即 ABL BC综上所述，四边形 ABC是矩形.评述： 在四边形中，AB , BC , CD , DA是顺次首尾相接向量，贝U其和向量是零向量, 即a+b + c + d= 0，应注意这一隐含条件应用；（2）由已知条件产生数量积的关键是构造数量积，因为数量积的定义式中含有边、角两种关系 四、课堂练习:1.下列叙述不正确的是（A、向量的数量积满足交换律B、向量的数量积满足分配律C、向量的数量积满足结合律D 、a b是一个实数2 、已知 | a|=6 , | b|=4 , a 与 b 的夹角为 6 0,贝U (a+2b) ( a-3 b)等于(A、72B.-72C.36D.-363 33 、| a|=3 , | b|=4，向量a+ b与a- b的位置关系为（）4 4A、平行B.垂直 C.夹角为一 D.不平行也不垂直34 、已知 | a|=3 b|=4，且a与 b 的夹角为 150,则（a+b） 2=5 、已知 | a|=2, | b|=5, a b=-3，则 | a+b|=, | a-b|=.6、