9.等边三角形基础知识讲解

1、等边三角形(基础) 【学习目标】 1. 掌握等边三角形的性质和判定 2. 掌握含30角的直角三角形的一个主要性质. 3. 熟练运用等边三角形的判定定理与性质定理进行推理和计算. 【要点梳理】 【等边三角形，知识要点】 要点一、等边三角形 等边三角形定义： 三边都相等的三角形叫等边三角形 . 要点诠释：由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形.也就是说等腰三角形包 括等边三角形. 要点二、等边三角形的性质 等边三角形的性质： 等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于60 . 要点三、等边三角形的判定 等边三角形的判定： (1) 三条边都相等的三角形是等边三角形； (2) 三个角都相等的

2、三角形是等边三角形； (3) 有一个角是60 的等腰三角形是等边三角形. 要点四、含30的直角三角形 含30的直角三角形的性质定理： 在直角三角形中，如果有一个锐角是30,那么它所对的直角边等于斜边的一半. 要点诠释：这个定理的前提条件是“在直角三角形中”，是证明直角三角形中一边等于 另一边(斜边)的一半的重要方法之一，通常用于证明边的倍数关系 【典型例题】 类型一、等边三角形 1、如图.在等边厶 ABC中，/ ABC与/ ACB勺平分线相交于点 0,且0D/ AB, 0E/ AC. (1) 试判定 0DE勺形状，并说明你的理由； (2) 线段BD DE、EC三者有什么关系？写出你的判断过程.

3、 【思路点拨】(1)根据平行线的性质及等边三角形的性质可得到 ODE是等边三角形；(2) 根据角平分线的性质及平行线的性质可得到/ DBO=Z DOB根据等角对等边可得到 DB= DO 同理可证明 EC= E0因为 DE= 0D= 0E所以BD= DE= EC 【答案与解析】 解：(1 ) 0DE是等边三角形， 其理由是： ABC是等边三角形， / ABC=Z ACB= 60, TOD/ AB, OE/ AC, / ODE=Z ABC= 60,/ OED=Z ACB= 60 ODE是等边三角形； (2)答：BD= DE= EC, 其理由是：T OB平分/ ABC且/ ABC= 60, / AB

4、O=/ OBD= 30, TOD/ AB, / BOD=/ ABO= 30 , / DBO=/ DOB DB= DQ 同理，EC= EQ t DE= OD= OE BD= DE= EC. 【总结升华】本题主要考查学生对等边三角形的判定及性质的理解和应用 举一反三： 【变式】等边 ABC P为BC上一点，含30 、60的直角三角板 60角的顶点落在点 P 上,使三角板绕P点旋转.如图，当P为BC的三等分点，且PE AB时，判断 EPF 的形状 【答案】 解：t PE AB, / B= 60 , 11 因此直角三角形 PEB中，BE= - BN BC= PC, 23 / BPE= 30 , t/

5、EPF= 60 , FP丄 BC, t/ B=/ C= 60 , BE= PC, / PEB=/ FPC= 90 BEP CPF, PE= PF , t/ EPF= 60 , EPF是等边三角形. 2、已知：如图， ABC中，AB= AC, / ABC= 60 , , AD= CE,求/ BPD的度数. 【答案与解析】 证明：在 ABC 中， AB= AC, / ABC= 60 / ABC为等边三角形（有一个角为 60的等腰三角形是等边三角形） AC= BC, / A=Z ECB= 60. 在二ADC和二CEB中 AC =CB（已证）叭、 *NA = NECB（已证）/匸 ,ad = ce （

6、已知） xxBC lADC 也 lCEB （SAS . 1= 2 （全等三角形对应角相等） DPB = 2+3 （三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和） . DPB= 1+ 3 = . ACB / DPB= 60 . 【总结升华】 这道题利用等边三角形每个角都是60的性质，并借助全等三角形，和三角 形的外角性质使问题得以解决 3、（ 1）如图，点0是线段AD的中点，分别以 A0和DO为边在线段AD的同侧作等边三 角形OAB和等边三角形 OCD连接AC和BD,相交于点 E,连接BC,求/ AEB的大 小； （2）如图， OAB固定不动，保持 OCD勺形状和大小不变，将 OCD绕着点0旋 转

7、（厶OABD OCD不能重叠），求/ AEB的大小. 【思路点拨】（1）由于AO CDn OAB都是等边三角形，可得OD= OC= OB= OA进而求出/ BDA 与/ CAD的大小及关系，则可求解/ AEB （2）旋转后， BOD与 AOC仍然保持全等，/ ACO=Z BDO / AED=Z ACOZ DCOM CDB=Z BDOF 60+/ CDB= 60+/ CDO= 120, 从而得到/ AEB的值. 【答案与解析】 证明：(1)V O是AD的中点， AO= DO 又等边 AOB和等边 COD AO= DO= CO= BQ / DOC=Z BOC=Z AOB= 60 / CAO=Z A

8、CO=Z BDO=Z DBO= 30 / AEB=Z BDO + Z CAO= 60 (2)vZ BOD=Z DOOZ BOC / AOC=Z AOBZ BOC / BOD=Z AOC 在厶 BODW AOC中, BO 二 AO I BOD = AOC DO 二 CO BOD AOC( SAS / ACO=Z BDO / AED=Z ACO-Z DCQ-Z CDB =Z BDOF 60+Z CDB= 60 +Z CDO= 60+ 60= 120 Z AEB= 180 Z AED= 60 . 【总结升华】 这道题利用等边三角形每个角都是60的性质，并借助全等三角形，和三角 形的外角性质使问题加以

9、解决 举一反三： 【变式】如图，已知 ABC和 CDE都是等边三角形，AD BE交于点F,求Z AFB的度数 A 【答案】 解： ABCn CDE都是等边三角形， AC= BC, CE= CD, 又 tZ AC+Z BCD=Z ECDZ BCD 即 Z ACD=Z BCE ACDA BCE Z CAD=Z CBE 设AD与BC相交于P点，在厶ACPD BFP中，有一对对顶角， Z AFB=Z ACB= 60. 类型二、含30的直角三角形 4、如图所示,Z A= 60 , CE! AB于E, BD丄AC于D, BD与CE相交于点 H , HD= 1 , HE= 2,试求BD和CE的长. 【答案与解析】 解： BD丄AC于 D,/ A= 60, / ABD= 90 60= 30, 在 Rt BEH中，/ HEB= 90,/ EBH= 30. BH= 2EH= 4. 同理可得，CH= 2HD= 2, BD= BH+ HD= 4+ 1 = 5. CE= C出 HE= 2+ 2 = 4. 【总结升华】 已知条件中出现 60角与直角三角形并存时，应考虑到“在直角三角形中， 如果一个锐角等于 30,那么它所对的直角边等于斜边的一半”，进而把三角形中角与角的 关系转化为边与边之间的关系，充分应用转化思想来解决问题.