2019年高考数学二轮复习 专题四 函数概念、基本初等函数及导数 第4讲 利用导数研究函数的单调性、极值及最值课件 新人教A版

1、第第4 4讲利用导数研究函数的单调性、极值及讲利用导数研究函数的单调性、极值及 最值最值 核心整合核心整合 1.1.导数与导函数的概念导数与导函数的概念 (2)(2)如果函数如果函数y=f(x)y=f(x)在开区间在开区间(a,b)(a,b)内的每一点处都有导数内的每一点处都有导数, ,其导数值在其导数值在(a,b)(a,b) 内构成一个新函数内构成一个新函数, ,这个函数称为函数这个函数称为函数y=f(x)y=f(x)在开区间内的导函数在开区间内的导函数. .记作记作 f(x)f(x)或或y.y. 2.2.导数的几何意义导数的几何意义 函数函数y=f(x)y=f(x)在点在点x x0 0处的

2、导数的几何意义处的导数的几何意义, ,就是曲线就是曲线y=f(x)y=f(x)在点在点P(xP(x0 0,f(x,f(x0 0)处处 的切线的斜率的切线的斜率k,k,即即k=k= . . 3.3.基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式 f(xf(x0 0) ) 基本初等函数基本初等函数导函数导函数 f(x)=c(cf(x)=c(c为常数为常数) )f(x)=f(x)= . . f(x)=xf(x)=x ( (Q Q* *) )f(x)=f(x)= . . f(x)=sin xf(x)=sin xf(x)=f(x)= . . f(x)=cos xf(x)=cos xf(x)=f(x)= .

3、 . f(x)=ef(x)=ex xf(x)=f(x)= . . 0 0 xx-1 -1 cos xcos x -sin x-sin x e ex x a ax xln aln a 4.4.导数的运算法则导数的运算法则 若若f(x),g(x)f(x),g(x)存在存在, ,则有则有 (1)f(x)(1)f(x)g(x)=g(x)= ; ; (2)f(x)(2)f(x)g(x)=g(x)= ; ; f(x)f(x)g(x) g(x) f(x)g(x)+f(x)g(x) f(x)g(x)+f(x)g(x) 5.5.复合函数的导数复合函数的导数 复合函数复合函数y=f(g(x)y=f(g(x)的导数

4、和函数的导数和函数y=f(u),u=g(x)y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为的导数间的关系为y yx x= , ,即即y y对对x x的导数等于的导数等于 的导数与的导数与 的导数的乘积的导数的乘积. . 【归纳拓展】【归纳拓展】 (1)(1)奇函数的导数是偶函数奇函数的导数是偶函数, ,偶函数的导数是奇函数偶函数的导数是奇函数, ,周期函数的导数还是周周期函数的导数还是周 期函数期函数. . y yu uuux x y y对对u uu u对对x x (3)af(x)+bg(x)=af(x)+bg(x).(3)af(x)+bg(x)=af(x)+bg(x). (4)(4)函数函数y=

5、f(x)y=f(x)的导数的导数f(x)f(x)反映了函数反映了函数f(x)f(x)的瞬时变化趋势的瞬时变化趋势, ,其正负号反映其正负号反映 了变化的方向了变化的方向, ,其大小其大小|f(x)|f(x)|反映了变化的快慢反映了变化的快慢,|f(x)|,|f(x)|越大越大, ,曲线在这曲线在这 点处的切线越点处的切线越“陡陡”. . 【温馨提示温馨提示】 (1)(1)复合函数求导时复合函数求导时, ,先确定复合关系先确定复合关系, ,由外向内逐层求导由外向内逐层求导, ,必要必要 时可换元时可换元. . (2)(2)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变函数图象在

6、每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变 化情况化情况, ,由切线的倾斜程度可以判断出函数图象升降的快慢由切线的倾斜程度可以判断出函数图象升降的快慢. . 6.6.函数的单调性、极值函数的单调性、极值 (1)(1)在某个区间在某个区间(a,b)(a,b)内内, ,如果如果f(x)f(x) 0,0,那么函数那么函数y=f(x)y=f(x)在这个区间内单调递在这个区间内单调递 增增; ;如果如果f(x)f(x) 0,0,那么函数那么函数y=f(x)y=f(x)在这个区间内单调递减在这个区间内单调递减. . (2)(2)函数的极值函数的极值 一般地一般地, ,求函数求函数y=f(x)y

7、=f(x)的极值的方法的极值的方法 解方程解方程f(x)=0,f(x)=0,当当f(xf(x0 0)=0)=0时时: : 如果在如果在x x0 0附近的左侧附近的左侧 , ,右侧右侧 , ,那么那么f(xf(x0 0) )是极大值是极大值; ; 如果在如果在x x0 0附近的左侧附近的左侧 , ,右侧右侧 , ,那么那么f(xf(x0 0) )是极小值是极小值. . f(x)0 f(x)0 f(x)0 f(x)0 f(x)0 f(x)0 f(x)0 0(f(x)0(f(x)0)是函数是函数f(x)f(x)在此区间上为增在此区间上为增( (减减) )函数的函数的 充分不必要条件充分不必要条件.

8、. (2)(2)可导函数可导函数f(x)f(x)在在(a,b)(a,b)上是增上是增( (减减) )函数的充要条件是对函数的充要条件是对x(a,b),x(a,b),都有都有 f(x)0(f(x)0)f(x)0(f(x)0)且且f(x)f(x)在在(a,b)(a,b)上的任何子区间内都不恒为零上的任何子区间内都不恒为零. . 【温馨提示温馨提示】 (1)(1)对于可导函数对于可导函数f(x),f(xf(x),f(x0 0)=0)=0是函数是函数f(x)f(x)在在x=xx=x0 0处有极值处有极值 的必要不充分条件的必要不充分条件. . (2)(2)划分函数的单调区间时划分函数的单调区间时, ,

9、要在函数定义域内讨论要在函数定义域内讨论, ,还要确定导数为还要确定导数为0 0的点和的点和 函数的间断点函数的间断点. . 核心突破核心突破 考点一考点一 导数的计算导数的计算 【例【例1 1】求下列函数的导数求下列函数的导数. . (1)y=x(1)y=x2 2sin x;sin x; (2)y=ln x+ ;(2)y=ln x+ ; 1 x 解解: :(1)y=(x(1)y=(x2 2)sin x+xsin x+x2 2(sin x)(sin x) =2xsin x+x=2xsin x+x2 2cos x.cos x. (5)y=ln(2x-5).(5)y=ln(2x-5). 方法技巧方

10、法技巧 (1)(1)求导之前求导之前, ,应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简, ,然后求导然后求导, ,这这 样可以减少运算量样可以减少运算量, ,提高运算速度提高运算速度, ,减少差错减少差错; ;遇到函数的商的形式时遇到函数的商的形式时, ,如能化如能化 简则化简简则化简, ,这样可避免使用商的求导法则这样可避免使用商的求导法则, ,减少运算量减少运算量.(2).(2)复合函数求导时复合函数求导时, , 先确定复合关系先确定复合关系, ,由外向内逐层求导由外向内逐层求导, ,必要时可换元必要时可换元. . 【题组训练】【题组训练】 1.f(

11、x)=x(2 016+ln x),1.f(x)=x(2 016+ln x),若若f(xf(x0 0)=2 017,)=2 017,则则x x0 0等于等于( ( ) ) (A)e(A)e2 2 (B)1 (B)1 (C)ln 2 (C)ln 2(D)e(D)e B B B B 3.y=ln(2x+5),3.y=ln(2x+5),则则y=y=. 4.4.已知函数已知函数f(x)f(x)的导函数为的导函数为f(x),f(x),且满足且满足f(x)=2xf(1)+ln x,f(1)=f(x)=2xf(1)+ln x,f(1)= . . 答案答案: :-1-1 考点二考点二导数的几何意义导数的几何意义

12、 答案答案: :(1)D(1)D 答案答案: :(2)-2(2)-2 方法技巧方法技巧 导数的几何意义是在切点处切线的斜率导数的几何意义是在切点处切线的斜率, ,应用时主要体现在以下几个方面应用时主要体现在以下几个方面: : (1)(1)已知切点已知切点A(xA(x0 0,f(x,f(x0 0)求斜率求斜率k,k,即求该点处的导数值即求该点处的导数值:k=f(x:k=f(x0 0).). (2)(2)已知斜率已知斜率k,k,求切点求切点A(xA(x1 1,f(x,f(x1 1),),即解方程即解方程f(xf(x1 1)=k.)=k. (4)(4)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图

13、象在相应点处的函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的 变化情况变化情况, ,由切线的倾斜程度可以判断出函数图象升降的快慢由切线的倾斜程度可以判断出函数图象升降的快慢. . 【题组训练】【题组训练】 1.1.已知函数已知函数f(x)=xln x,f(x)=xln x,若直线若直线l l过点过点(0,-1),(0,-1),并且与曲线并且与曲线y=f(x)y=f(x)相切相切, ,则直线则直线l l 的方程为的方程为( ( ) ) (A)x+y-1=0(A)x+y-1=0 (B)x-y-1=0(B)x-y-1=0 (C)x+y+1=0(C)x+y+1=0 (D)x-y+1=0

14、(D)x-y+1=0 B B 2.2.如图如图, ,点点A(2,1),B(3,0),E(x,0)(x0),A(2,1),B(3,0),E(x,0)(x0),过点过点E E作作OBOB的垂线的垂线l.l.记记AOBAOB在直线在直线l l左左 侧部分的面积为侧部分的面积为S,S,则函数则函数S=f(x)S=f(x)的图象为的图象为( ( ) )D D 解析解析: :函数的定义域为函数的定义域为0,+),0,+),当当x0,2x0,2时时, ,在单位长度变化量在单位长度变化量xx内面积内面积 变化量变化量SS大于大于0 0且越来越大且越来越大, ,即斜率即斜率f(x)f(x)在在0,20,2内大于

15、内大于0 0且越来越大且越来越大, ,因此因此, , 函数函数S=f(x)S=f(x)的图象是上升的且图象是下凸的的图象是上升的且图象是下凸的; ; 当当x(2,3)x(2,3)时时, ,在单位长度变化量在单位长度变化量xx内面积变化量内面积变化量SS大于大于0 0且越来越小且越来越小, ,即即 斜率斜率f(x)f(x)在在(2,3)(2,3)内大于内大于0 0且越来越小且越来越小, ,因此因此, ,函数函数S=f(x)S=f(x)的图象是上升的且的图象是上升的且 图象是上凸的图象是上凸的; ; 当当x3,+)x3,+)时时, ,在单位长度变化量在单位长度变化量xx内面积变化量内面积变化量SS

16、为为0,0,即斜率即斜率f(x)f(x) 在在3,+)3,+)内为常数内为常数0,0,此时此时, ,函数图象为平行于函数图象为平行于x x轴的射线轴的射线. .故选故选D.D. C C A A 考点三考点三函数的单调性函数的单调性 【例例3 3】 讨论函数讨论函数f(x)=(a-1)ln x+axf(x)=(a-1)ln x+ax2 2+1+1的单调性的单调性. . 当当a0a0时时,f(x)0,f(x)0,f(x)0,解集在定义域内的部解集在定义域内的部 分为单调递增区间分为单调递增区间; ;解不等式解不等式f(x)0,f(x)0).+1)-ax(a0). (1)(1)若函数若函数y=f(x

17、)y=f(x)的导函数是奇函数的导函数是奇函数, ,求求a a的值的值; ; (2)(2)求函数求函数y=f(x)y=f(x)的单调区间的单调区间. . 考点四考点四已知函数单调性求参数已知函数单调性求参数 (2)(2)若函数若函数h(x)=f(x)-g(x)h(x)=f(x)-g(x)在在1,41,4上单调递减上单调递减, ,求求a a的取值范围的取值范围. . 方法技巧方法技巧 根据函数单调性求参数的一般思路根据函数单调性求参数的一般思路 (1)(1)利用集合间的包含关系处理利用集合间的包含关系处理:y=f(x):y=f(x)在在(a,b)(a,b)上单调上单调, ,则区间则区间(a,b)

18、(a,b)是相应是相应 单调区间的子集单调区间的子集. . (2)f(x)(2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的为增函数的充要条件是对任意的x(a,b)x(a,b)都有都有f(x)0f(x)0且在且在(a,b)(a,b) 内的任一非空子区间上内的任一非空子区间上f(x)f(x)不恒为零不恒为零, ,应注意此时式子中的等号不能省略应注意此时式子中的等号不能省略, , 否则漏解否则漏解. . (3)(3)函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题. . A A (2)(2)已知函数已知函数f(x)=ln x,g(x)= axf(x)=ln

19、x,g(x)= ax2 2+2x(a0),+2x(a0),若若h(x)=f(x)-g(x)h(x)=f(x)-g(x)在在1,41,4上存上存 在单调递减区间在单调递减区间, ,求求a a的取值范围的取值范围. . 1 2 3.3.已知函数已知函数f(x)=ln x,g(x)=f(x)+axf(x)=ln x,g(x)=f(x)+ax2 2+bx,+bx,其中函数其中函数g(x)g(x)的图象在点的图象在点(1,g(1)(1,g(1) 处的切线平行于处的切线平行于x x轴轴. . (1)(1)确定确定a a与与b b的关系的关系; ; (2)(2)若若a0,a0,试讨论函数试讨论函数g(x)g

20、(x)的单调性的单调性. . 考点五考点五用导数解决函数极值问题用导数解决函数极值问题 (2)(2)求函数求函数f(x)f(x)的极值的极值. . 当当a0a0时时, ,令令f(x)=0,f(x)=0,得得e ex x=a,=a,即即x=ln a,x=ln a, 当当x(-,ln a)x(-,ln a)时时,f(x)0;,f(x)0,f(x)0, 所以所以f(x)f(x)在在(-,ln a)(-,ln a)上单调递减上单调递减, , 在在(ln a,+)(ln a,+)上单调递增上单调递增, ,故故f(x)f(x)在在x=ln ax=ln a处取得极小值且极小值为处取得极小值且极小值为f(ln

21、 a)f(ln a) =ln a,=ln a,无极大值无极大值. . 综上综上, ,当当a0a0时时, ,函数函数f(x)f(x)无极值无极值; ;当当a0a0时时,f(x),f(x)在在x=ln ax=ln a处取得极小值处取得极小值ln a,ln a, 无极大值无极大值. . 方法技巧方法技巧 (1)(1)求函数求函数f(x)f(x)极值的步骤极值的步骤 确定函数的定义域确定函数的定义域; ; 求导数求导数f(x);f(x); 解方程解方程f(x)=0,f(x)=0,求出函数定义域内的所有根求出函数定义域内的所有根; ; 列表检验列表检验f(x)f(x)在在f(x)=0f(x)=0的根的根

22、x x0 0左右两侧值的符号左右两侧值的符号, ,如果左正右负如果左正右负, ,那么那么 f(x)f(x)在在x x0 0处取极大值处取极大值, ,如果左负右正如果左负右正, ,那么那么f(x)f(x)在在x x0 0处取极小值处取极小值. . (2)(2)若函数若函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间(a,b)(a,b)内有极值内有极值, ,那么那么y=f(x)y=f(x)在在(a,b)(a,b)内绝不是单调内绝不是单调 函数函数, ,即在某区间上单调函数没有极值即在某区间上单调函数没有极值. . A A 2.2.设设f(x)f(x)是函数是函数f(x)f(x)的导函数的导函数,y=f(x

23、),y=f(x)的图象如图所示的图象如图所示, ,则则y=f(x)y=f(x)的图象最的图象最 有可能是有可能是( ( ) ) 解析解析: :由由f(x)f(x)的图象可知的图象可知,x=0,x=0是函数是函数f(x)f(x)的极大值点的极大值点,x=2,x=2是是f(x)f(x)的极小的极小 值点值点. .故选故选C.C. C C 3.3.设函数设函数f(x)f(x)在在R R上可导上可导, ,其导函数为其导函数为f(x),f(x),且函数且函数y=(1-x)f(x)y=(1-x)f(x)的图象如图的图象如图 所示所示, ,则下列结论中一定成立的是则下列结论中一定成立的是( ( ) ) (A

24、)(A)函数函数f(x)f(x)有极大值有极大值f(2)f(2)和极小值和极小值f(1)f(1) (B)(B)函数函数f(x)f(x)有极大值有极大值f(-2)f(-2)和极小值和极小值f(1)f(1) (C)(C)函数函数f(x)f(x)有极大值有极大值f(2)f(2)和极小值和极小值f(-2)f(-2) (D)(D)函数函数f(x)f(x)有极大值有极大值f(-2)f(-2)和极小值和极小值f(2)f(2) D D 解析解析: :由题图可知由题图可知, ,当当x-2x0;,f(x)0; 当当-2x1-2x1时时,f(x)0;,f(x)0; 当当1x21x2时时,f(x)0;,f(x)2x2

25、时时,f(x)0.,f(x)0. 由此可以得到函数由此可以得到函数f(x)f(x)在在x=-2x=-2处取得极大值处取得极大值, ,在在x=2x=2处取得极小值处取得极小值. .故选故选D.D. 4.4.已知已知f(x)=xf(x)=x3 3+3ax+3ax2 2+bx+a+bx+a2 2在在x=-1x=-1时有极值时有极值0,0,则则a-b=a-b=. . 答案答案: :-7-7 考点六考点六 用导数求函数的最值用导数求函数的最值 【例【例6 6】 已知已知aaR R, ,函数函数f(x)= +ln x-1.f(x)= +ln x-1. (1)(1)当当a=1a=1时时, ,求曲线求曲线y=

26、f(x)y=f(x)在点在点(2,f(2)(2,f(2)处的切线方程处的切线方程; ; a x (2)(2)求求f(x)f(x)在区间在区间(0,e(0,e上的最小值上的最小值. . 若若0ae,0ae,则当则当x(0,a)x(0,a)时时,f(x)0,f(x)0,f(x)0,函数函数f(x)f(x)在区间在区间(a,e(a,e上单调递增上单调递增, , 所以当所以当x=ax=a时时, ,函数函数f(x)f(x)取得最小值取得最小值ln a.ln a. 方法技巧方法技巧 求函数求函数f(x)f(x)在在a,ba,b上的最大值和最小值的步骤上的最大值和最小值的步骤 (1)(1)求函数在求函数在(

27、a,b)(a,b)内的极值内的极值; ; (2)(2)求函数在区间端点的函数值求函数在区间端点的函数值f(a),f(b);f(a),f(b); (3)(3)将函数将函数f(x)f(x)的极值与的极值与f(a),f(b)f(a),f(b)比较比较, ,其中最大的一个为最大值其中最大的一个为最大值, ,最小的最小的 一个为最小值一个为最小值. . A A 2.2.已知函数已知函数f(x)=ef(x)=ex x,g(x)=ln x+1,g(x)=ln x+1,对对aaR R, ,b(0,+),b(0,+),使得使得f(a)=g(b),f(a)=g(b), 则则b-ab-a的最小值为的最小值为( (

28、) ) (A)1(A)1 (B)2 (B)2 (C)2 -1 (C)2 -1 (D)e (D)e2 2-1-1 e A A D D 考点七考点七 函数极值和最值的综合问题函数极值和最值的综合问题 【例例7 7】 已知函数已知函数f(x)=f(x)= (1)(1)求求f(x)f(x)在区间在区间(-,1)(-,1)上的极小值和极大值点上的极小值和极大值点; ; 32 1 , ln1 . xxx ax x (2)(2)求求f(x)f(x)在在-1,e(e-1,e(e为自然对数的底数为自然对数的底数) )上的最大值上的最大值. . 当当1xe1xe时时,f(x)=aln x,f(x)=aln x, 当当a0a0时时,f(x)0;,f(x)0; 当当a0a0时时,f(x),f(x)在在1,e1,e上单调递增上单调递增, ,则则f(x)f(x)在在1,e1,e上的最大值为上的最大值为f(e)=a.f(e)=a. 故当故当a2a2时时,f(x),f(x)在在-1,e-1,e上的最大值为上的最大值为a;a; 当当a2a0a0时时, ,求函数求函数f(x)f(x)在在1,21,2上的最小值上的最小值. . 阅卷评析阅卷评析 导数的应用导数的应用 【典例典例】 (13 (13分分) )已知函数已知函数f(x)=ef(x)=ex x+ax-a(a+ax-a(aR R且且a0).a0). (