Selected双曲线及其标准方程教学设计

1、Useful Documents 2.3.1 双曲线及其标准方程教学设计 袁敏敏：一等奖 教学内容： 本节内容为人教 A 版普通高中课程标准实验教科书选修 2-1 第 2 章第 3 节双曲 线的第一课时。 教材分析 ：圆锥曲线是解析几何中的一个重要内容。 “双曲线及其标准方程”是 在讲完了“圆的方程” 、“椭圆及其标准方程”之后，学习又一类圆锥曲线知识， 也是中学解析几何中学习的重要的内容之一， 双曲线的定义和标准方程是本节的 基本知识，所以必须掌握 而掌握好双曲线标准方程的推导过程又是理解和记忆 标准方程的关键 应用双曲线的有关知识解决数学问题和实际应用问题是培养 学生基本技能和基本能力的必

2、要环节 坐标法是中学数学学习中必须掌握的一 个重要方法，它充分体现了化归思想、 数形结合思想， 是用以解决实际问题的一 个重要的数学工具 本节仍是继续训练学生用坐标法解决方程与曲线有关问题 的重要内容，对它的教学将帮助学生进一步熟悉和掌握求曲线方程的一般方法 犹如前面学习的圆和椭圆一样，双曲线也是一种动点的轨迹 双曲线和其方程分 属于几何和代数这两个分立的体系， 但是通过直角坐标系人们又将它们很好地结 合在一起 本节知识再次巩固这个知识。 学情分析： 学生先前已经学习了椭圆，基本掌握了椭圆的有关问题及研究方法， 而双曲线问题，它与椭圆问题有类似性， 类比椭圆可以很好地学习双曲线的知识， 此外学

3、生已经学习了求点的轨迹的方法与步骤；因此学习本课已具备一定的基 础但在学习过程，较椭圆而言，从直观图形轨迹到抽象概念的形成，中间一些 细节问题的处理要求学生有更细致入微的分析和更强的领悟性， 因此学生概括起 来有更高的难度特别是对于为什么需要加绝对值， c 与a的有怎么样大小关系， 为什么是这样的等等。由于学生的运算能力较差，在推导双曲线的标准方程时， Useful Documents Useful Documents 涉及到绝对值和根式，会遇到一定的困难。 设计思想： 本课为解析几何内容， 充分体现了解析法的应用 为了学生能很好的 理解概念，在辅助媒体的选用上我选择了几何画板和 powerp

4、oint ，1. 借助于几 何画板演示双曲线的形成，让学生观察分析动画过程中的特点，归纳总结定义。 2. 要学生动手运算推导双曲线的标准方程。 3.利用课件，要学生观察分析叙述双 曲线两种标准方程的共同点与不同点。 通过让学生动手演示， 动口叙述， 动脑编 题等方式，充分调动学生的思维，形成以学生为主体的课堂氛围 教学目标： 知识与技能 ：了解双曲线的定义、 几何图形和标准方程， 能根据双曲线的定义推 导出双曲线的标准方程。 过程与方法 ：通过对双曲线标准方程的推导， 使学生进一步掌握求双曲线方程的 一般方法，并渗透数形结合及等价转化的思想方法，提高运用坐标 法解决几何问题的能力 情感态度与价

5、值观： 通过让学生探索双曲线标准方程，激发学习数学的积极性， 培养学生的观察能力、学习兴趣和创新意识。 教学重点： 双曲线的定义、标准方程及其简单应用 教学难点： 双曲线标准方程的推导。 授课类型： 新授课 课时安排： 1 课时 教 具 :多媒体（几何画板、 powerpoint ） 教学过程 ： 一. 复习回顾 问题 1：椭圆的第一定义是什么？椭圆的标准方程是怎么样的？怎么推导而 Useful Documents Useful Documents 来？ 问题 2 ：如何作椭圆？ （过程：边回顾知识，边播放课件，动画展示椭圆的形成过程，注重于研究问 题的方法。 设计意图：巩固椭圆知识，通过对旧

6、知识的联想，类比得出新知识。 ） 二. 新课讲解 一）画板演示，感受双曲线形成 在椭圆定义中，到两定点的距离之“和”改为到两定点的距离之“差”为定 值，则曲线的轨迹又会如何？ F1F2 （师生共同研究探索作图方案，主要解决如何来实现距离之差为定值） 几何画板演示： 画板画拉链，拉开一部分，在拉开的一边 端点为 F1，在另一边的中部位置为 F2（注意 F1F2 的距离要 比拉链两点的差要大） ，随着拉链的拉开或闭 M 在运动过程中哪些线段 合，点 M 就画出一条曲线观察曲线的特点，及在点 的长度是变化的，哪些是不变的。 （老师演示，学生观察分析） （二）剖析特征，提炼双曲线定义 1. 分析演示结

7、果 拉链在拉开闭拢的过程中，拉开的两边长始终相等，即 |MF1|=|MF2|+|F1F2| 动点 M 变化时， |MF1| 与|MF2| 在不断变化，但总有 |MF1|-|MF2|=|F1F2| ，而|F1F2|为定长，所以点 M 到两定点 F1 和 F2 的距离之 差为常数，记为 2a，即 |MF1|-|MF2|=2 a 同样如图可以得到 |MF2|-|MF1|=2 a F2 Useful Documents Useful Documents 2. 双曲线定义： （引导学生概括出双曲线的定义） 平面内与两个定点 F1、F2 的距离的差的绝对值等于常数（小于 |F 1F2|） 的点轨迹叫做双曲

8、线， 这两个定点叫做双曲线的焦点， 两焦点的距离叫做双曲线 的焦距 数学简记： |MF1| |MF2| 2a（0 2a 2c |F1F2 |） 焦点：定点 F1、F2 焦距： 2c 探究： 1.去掉式子中的绝对值。轨迹是什么？ 2.ac 时轨迹是什么？ （三）类比椭圆，推导标准方程 1 推导 回忆椭圆的标准方程的推导步骤，来推导双曲线的标准方程 教师提示步骤，叫一学生上台板演，其余学生自己推导，教师个别指导） 整理修改板演学生的结果： 设M(x,y)，F1( c,0)， F2(c,0)， 由|MF1| |MF2| 2a ，得 (x c)2 y2(x c)2 y22a (x c)2 y2(x c

9、)2 y2 2a (x c)2 y2 (x c)2 y2 4a (x c)2 y2 4a2 cx a2 a (x c)2 y2 2 2 2 2 2 (cx a ) a (x c) y 2 2 2 2 2 2 2 2 (c a )x a y a (c a ) ， Useful Documents Useful Documents c2 a2 b2 b 0 ）， b2x2 a2y2 a2b2 ，即 22 xy 1 22 ab 讨论：推 导的过程是一个等价变形的过程吗？） 2 标准方程 双曲线的标准方程 22 当焦点在 R 轴上，中心在原点时，方程形式： x2 y2 1 a2 b2 22 当焦点在

10、R 轴上，中心在原点时，方程形式：y2 x2 1 ab 参数 a,b,c 的关系 c2 a2 b2（a,b,c 0）|MF1| |MF2| 2a （实轴长） |F1F2 | 2c（焦距） 练习 1 表格总结： 与椭圆的对比 （从定义阐述，方程结构特征， a,b,c 之间的关系，焦点坐标的判断着手分析相同 点和不同点，并用课件表格的形式呈现 ） 三例题讲解 例1： 已知双曲线的焦点为 F1（-5,0）,F 2（5,0） ，双曲线上一点 P到 F1、F2的距离 Useful Documents Useful Documents 的差的绝对值等于 6 ，求双曲线的标准方程 （巩固标准方程及其中相应的

11、数量关系） 练习 1 ： 1 42 x2 2 例 2 ：判断下列4 ， 且2|x F2 1|=1y02, 则|1F2|= 2 2 2 1 22 xy 示1 双曲线 33 4 标准方程 焦点在 R 轴上 标准方程 学习评价： 本节课在教学思想上，以“问题引导，探究交流”为主，兼容讲解、演示、 合作等多种方式，力求灵活运用在教学目标上，以突出解析思想为主，容知识 与技能、过程与方法、情感与体验为一体在多媒体应用上，力求灵活实用，不 跟着课件走， 使得多媒体真正做到为课堂有效服务 整堂课下来充实流畅， 课堂 气氛较好内容设计简单流畅， 讲练结合， 每一个学生都很好的掌握了本节课的 知识点，并能运用知

12、识解决简单问题。 反思与总结： 1.本节课设计的比较简单，每一位学生都很好的掌握了本节课的知识点，并能运 Useful Documents ？若m是，n 求出1（ ma , b0,nc 0及） 焦点坐标。 22 练习 3： 已知方程 x y 1表示焦点在 R 轴上的双曲线，则 m 的取值 m 2 m 3 范 围是 变式：（1）改为表示焦点在 R 轴上的双曲线呢？ （2）改为表示双曲线呢？ （3）若表示椭圆呢？ （通过变式进一步巩固方程的结构特征，并与椭圆加以区别） x2 y22 2 例 3：根（1）据2方5 程写9出焦1和点x坐2 标1及5y2a,b15的值。 222 2 四本课小结 ）1 a

13、 3,b 4, 焦点在 x轴上 1.双曲线的定义 3.椭（圆3与）双焦曲点线为的区别0,-与6共同、点0。,6 ,a （2）x2 y2 1和 y2 x2 1 问题 2.用到了哪些数学思想方法） 1.类（比4）的数焦学点思想F（1 5，0）, F2 （5,0）, 双曲 线上一点 P到 F1 , F 2的距离的差的绝 对2.数值形等结于合的8思想方法。 Useful Documents Useful Documents 五课后作业 1课本练习 P60 1， 2， 3 2思考 （1）当 0时，方程 x 2 siny2 cos 1表示什么曲线？ （2）反比例函数图象是特殊的双曲线，为什么其方程和标准方程不同？ 六板书设计 y 3.例 1 4.例 2 5. 例 3 y 双曲线的定义及标准方程 1.双曲线的定义 2.标准方程的推导 3. 焦点在 R 轴上 Useful Documents 用知识解决最简单的问题。 2.设计内容按照计划基本上完成，但是最后一个例题的处理有些仓促。主要原因 是在两个环节浪费了时间， 一是在推导双曲线的标准方程时， 在给了学生的一定 的时间学生计算不出而选择板书， 浪费了几分钟的时间， 如果直接板书这部分时 间可以节省， 但是主要还是希望锻炼学生的运算能力和动手能力。 二是在讲