2019高中数学 第一章 计数原理 1.3 组合课件 北师大版选修2-3

1、3 3组合 一二 一、组合的概念 一般地,从n个不同元素中,任取m(mn)个元素为一组,叫作从n个 不同元素中取出m个元素的一个组合. 一二 名师点拨名师点拨1.组合的概念中有两个要点:(1)取出元素,且要求n个元 素是不同的;(2)“只取不排”,即取出的m个元素与顺序无关. 2.两个组合相同:只要两个组合中的元素完全相同,那么不管元素 的顺序如何,都是相同的组合.当两个组合中的元素不完全相同(即 使只有一个元素不同)时,就是不同的组合. 3.组合与排列的异同:组合与排列的相同点是,“从n个不同元素中 任取出m个元素”;不同点是,组合“不管元素的顺序并成一组”,而排 列要求元素“按照一定的顺序

2、排成一列”.因此区分某一问题是组合 还是排列,关键是看取出的元素有无顺序,有顺序就是排列,无顺序 就是组合. 一二 【做一做1】判断下列各事件是排列问题,还是组合问题. (1)从50个人中选3个人去参加同一种劳动,有多少种不同的选法? (2)从50个人中选3个人到三个学校参加毕业典礼,有多少种选法? (3)从1,2,3,9九个数字中任取3个,组成一个三位数,这样的三位数 共有多少个? (4)从1,2,3,9九个数字中任取3个,然后把这三个数字相加得到一 个和,这样的和共有多少个? 一二 解(1)(2)都是选出3人,但参加同一劳动没有顺序,而到三个学校参 加毕业典礼却有顺序,故(1)是组合问题,

3、(2)是排列问题. (3)当取出3个数字后,如果改变三个数字的顺序,会得到不同的三 位数,此问题不但与取出元素有关,而且与元素的安排顺序有关,是 排列问题. (4)取出3个数字之后,无论怎样改变这三个数字之间的顺序,其和 均不变,此问题只与取出元素有关,而与元素的安排顺序无关,是组 合问题. 一二 一二 名师点拨名师点拨1.“组合”与“组合数”是两个不同的概念,组合是一个具 体的事件,不是一个数;而“组合数”是符合条件的所有组合的个数, 它是一个数. 一二 一二 思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的 打“”. (1)从1,3,5,7中任取两个数相乘可得C42个积.

4、() (2)1,2,3与3,2,1是同一个组合.() 答案:(1)(2)(3) 探究一探究二探究三思维辨析 【例1】判断下列各事件是排列问题还是组合问题,并求出相应 的排列数或组合数. (1)10人相互通一次电话,共通多少次电话? (2)从10个人中选出3个为代表去开会,有多少种选法? (3)从10个人中选出3个不同学科的课代表,有多少种选法? 分析解答本题主要是分清取出的m个是进行组合还是排列,即确 定是与顺序有关还是无关. 探究一探究二探究三思维辨析 反思感悟反思感悟 区别排列与组合首先弄清楚事件是什么,区分的标志 是有无顺序,而区分有无顺序的方法是:把问题的一个选择结果写 出来,然后交换

5、这个结果中任意两个元素的位置,看是否会产生新 的变化,若有新变化,即说明有顺序,是排列问题;若无新变化,即说明 无顺序,是组合问题. 探究一探究二探究三思维辨析 变式训练变式训练 1给出下列问题: (1)从a,b,c,d四名学生中选出2名学生完成一件工作,有多少种不 同的选法? (2)从a,b,c,d四名学生中选出2名学生完成两件不同的工作,有多 少种不同的选法? (3)a,b,c,d四支足球队之间进行单循环比赛,共需赛多少场? (4)a,b,c,d四支足球队争夺冠亚军,有多少种不同的结果? 在上述问题中,哪些是组合问题?哪些是排列问题? 解(1)2名学生完成的是同一件工作,没有顺序,是组合问

6、题. (2)2名学生完成两件不同的工作,有顺序,是排列问题. (3)单循环比赛要求每两支球队之间只赛一场,没有顺序,是组合 问题. (4)争夺冠亚军是有顺序的,是排列问题. 探究一探究二探究三思维辨析 探究一探究二探究三思维辨析 探究一探究二探究三思维辨析 反思感悟反思感悟 1.有关组合数的计算问题,一般先用组合数的两个性质 化简,再用组合数公式的乘积形式计算,但当组合数中含有字母时, 要限制字母的范围,这往往是解题的关键. 2.有关组合数的证明问题,一般先用组合数的两个性质化简,再用 组合数公式的阶乘形式去证明. 探究一探究二探究三思维辨析 探究一探究二探究三思维辨析 探究一探究二探究三思维

7、辨析 【例3】某医院从10名医疗专家中抽调6名奔赴赈灾前线,其中这 10名医疗专家中有4名是外科专家.问: (1)抽调的6名专家恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种? (2)至少有2名外科专家的抽调方法有多少种? (3)至多有2名外科专家的抽调方法有多少种? 探究一探究二探究三思维辨析 探究一探究二探究三思维辨析 探究一探究二探究三思维辨析 变式训练3现有10名教师,其中男教师6名,女教师4名. (1)现要从中选出2名去参加会议,有多少种不同的选法? (2)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议,有多少种不同的选 法? 探究一探究二探究三思维辨析 因重复计数而致误 【典例】 数学研究学习小组共

8、有13名学生,其中男生8人,女生5 人,从这13人里选出3个人准备做报告.在选出的3个人中,至少要有1 名女生,一共有多少种选法? 易错分析此类组合题目若不细致审题,则会因出现重复或遗漏等 情况而致误. 探究一探究二探究三思维辨析 探究一探究二探究三思维辨析 纠错心得纠错心得 解答有限制条件的组合问题的基本方法是“直接法”和 “间接法(排除法)”.其中用直接法求解时,应坚持“特殊元素优先选 取”的原则,即优先安排特殊元素的选取,再安排其他元素的选取.而 选择间接法的原则是“正难则反”,也就是若正面问题分类较多、较 复杂或计算量较大,不妨从反面问题入手,看是否简捷些,特别是涉 及“至多”“至少”

9、等组合问题时更是如此. 探究一探究二探究三思维辨析 变式训练有甲、乙、丙3项任务,任务甲需要2人承担,任务乙、 丙各需要1人承担,从10人中选派4人承担这3项任务,不同的选法共 有种(用数字作答). 解析先从10人中选出2人承担任务甲;再从余下8人中选出1人承 担任务乙;最后从剩下的7人中选出1人去承担任务丙.根据乘法原 理,不同的选法共有 种. 答案2 520 12345 1.给出下列问题: 从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某两个乡镇的社会调查, 有多少种不同的选法? 有4张电影票,要在7人中确定4人去观看,有多少种不同的选法? 某人射击8枪,击中4枪,且命中的4枪均为2枪连中,则不同的结果 有多少种? 其中是组合问题的个数是() A.0B.1C.2D.3 解析因为是到两个乡镇调查,所以是排列问题;是组合问题;射 击命中的4枪之间没有顺序之分,所以是组合问题. 答案C 12345 2.在桥牌比赛中,发给4名参赛者每人一手由52张牌的四分之一(即 13张牌)组成的牌,一名参赛者可能得到的不同的牌为() 12345 12345 12345 5.某校开设9门课程供学生选修,其中A,B,C三门由于上课时间相同, 至多选1门,学校规定每位同学选修4门,共有多少种不同选修方 案?(用数