传递过程原理作业题解(1_7章)

1、.专业整理 .第二章1. 对于在 r 平面内的不可压缩流体的流动， r 方向的速度分量为urAcos/ r 2 。试确定速度的分量 。解：柱坐标系的连续性方程为1( ru r )1( uz ) 0r( u )rrz对于不可压缩流体在r 平面的二维流动 ，常数 ， uz0 ,uz0，故有z1(ru r1 u0r)rru( ru r )( rA cosA cos即r 2)rrr 2将上式积分 ，可得A cosAsinur 2dr 2f (r )式中 ， f ( r ) 为积分常数，在已知条件下，任意一个f(r ) 都能满足连续性方程。 令f ( r ) 0 ，可得到 u 的最简单的表达式：uAsi

2、nr 22 对于下述各种运动情况，试采用适当坐标系的一般化连续性方程描述，并结合下述具体条件将一般化连续性方程加以简化，指出简化过程的依据。（ 1）在矩形截面管道内 ，可压缩流体作稳态一维流动 ；（ 2）在平板壁面上不可压缩流体作稳态二维流动；（ 3）在平板壁面上可压缩流体作稳态二维流动；（ 4）不可压缩流体在圆管中作轴对称的轴向稳态流动；（ 5）不可压缩流体作球心对称的径向稳态流动。解：u0（ 1）在矩形截面管道内，可压缩流体作稳态一维流动. 学习帮手 .专业整理 .uxu yuzuxuyuz0xyzxyz稳态 ：0，一维流动 ： ux0 ， uy 0uzuz z0，即( uz )zz0（

3、2）在平板壁面上不可压缩流体作稳态二维流动( ux )( uy )( uz )xy0z稳态 ：0 ，二维流动 ： uz0( ux )( u y )0 ， 又uxuy0yconst ，从而yxx（ 3）在平板壁面上可压缩流体作稳态二维流动在此情况下 ，（ 2）中const( ux )( u y )0x y（ 4）不可压缩流体在圆管中作轴对称的轴向稳态流动1rur1uuz 0rrrz稳态 ：0 ，轴向流动 ： ur0 ，轴对称 ：0uz0，uz0（不可压缩const ）zz（ 5）不可压缩流体作球心对称的径向稳态流动. 学习帮手 .专业整理 .1( r 2ur )1( u sin )1( u )

4、0r 2rr sinr sin稳态0 ，沿球心对称0 ，0 ，不可压缩const12d2r 2r (r ur ) 0 ，即 dr ( r ur ) 03 某粘性流体的速度场为u = 5x2 yi3xyzj8 xz2k已 知 流 体 的 动 力 粘 度0.144 Pa s ， 在 点 （ 2 ， 4 ， 6 ） 处 的 法 向 应 力yy100N / m2 ，试求该点处的压力和其它法向应力和剪应力。解： 由题设ux5x2 y ，uy3xyz ， uz8xz2u10xy3xz16xzux10xy ，u y3xz ，uz16xzxyz因yyp2uy2(uxuyuz)y3xyz故p2uy2(uxuyu

5、z)yyy3xyz在点（2，4， 6）处，有p( 100)2 0.144( 36)20.144236 67N / m 23所以p2ux2uxuyuz)xxx3(yzx6720.1448020.144236366.6N / m 2zzp2uz2(uxuyuz)z3xyz. 学习帮手 .专业整理 .34.4N / m 2xyyx(uxuy )yx0.14452234(6)7.5N / m 2yzzy(uzuy)yz0.1443243.5N / m 2zxxz(uxuz )zx0.144(836)41.5N / m 24.某不可压缩流体在一无限长的正方形截面的水平管道中作稳态层流流动，此正方形截面的

6、边界分别为 xa 和 ya ，有人推荐使用下式描述管道中的速度分布a2x 2y 2uzp14z() 1( ) aa试问上述速度分布是否正确，即能否满足相关的微分方程和边界条件。解： 在壁面处 ，即 xa 和 ya 时， uz 0 ，故满足壁面不滑脱条件；在管道中心， xy0 时，可得uza2pumax4z（1 ）将所给速度分布式代入不可压缩流体连续性方程（ 2-20 ）， 因 uxuy0 可得uz0z将不可压缩流体的运动方程（ 2-45c ）化简，可得p(2uz2 uz)zx2y2（ 2 ）. 学习帮手 .专业整理 .将所给速度分布式分别对x 和 y 求偏导数 ，得uza2py2(2xx41(

7、)2 )zaa2uz1py2x221()za（3 ）2uz1px2y221()za（4 ）将式 （ 3）和（ 4）代入式 （ 2）可知 ，仅当 x2y22a2 时才满足运动方程。因此所给速度分布式不能完全满足运动方程。5 某一流场的速度向量可以下式表述u( x, y) 5xi5 yj试写出该流场随体加速度向量Du的表达式 。D解：D uDu xiDu yjDDDuxuxuyuxuzux)i(uyuyuyuzu y) j(uxxyzuxu yzxy25xi ( -5y)( 5) j25xi25 yj第三章1. 如本题附图所示 ，两平行的水平平板间有两层互不相溶的不可压缩流体，这两层流体的密度 、

8、动力粘度和厚度分别为1 、1 、 h1 和为2 、2 、 h2，设两板静止 ，流体在常压力梯度作用下发生层流运动，试求流体的速度分布。. 学习帮手 .专业整理 .解：将直角坐标下的连续性方程和运动方程化简，可得d 2ux1 pdy2x积分得ux1p y 2C1 y C22x因此 ，两层流体的速度分布可分别表示为ux11 p y2C1 y C 22 1 x（ 1 ）ux21 p y2D1 y D222 x（ 2 ）由下列边界条件确定积分常数：（ 1）（ 2）yh1 , ux10 ;yh2 , ux 20 ;（ 3） y 0 , ux1 ux2 ;du x1dux2（ 4）2 dyy0 , 1 d

9、y将以上 4 个边界条件代入式（ 1）与（ 2），得1 p h12C1h C20 ；21x11p h2D h D20；22122xC2D2 ；1C12C2. 学习帮手 .专业整理 .1 h221h1p2 h12解得C12 1x1h212h1221h221hh2C21pp2h1D212 1x2 1x11h22 h12h121h2p1h22D12x2 h1211 h22 h121h2ph2p1h2222C2D22 2x22x12 h11 h2最后得速度分布方程为y21h221h12p2y2h1ux12 1x h1211h2(h11)2 h1112 h12h22py21h22yux 211)2 22

10、(xh212 h1h21h22. 粘性流体沿垂直圆柱体的外表面以稳态的层流液膜向下流动，如本题附图所示 。 试求该流动的速度分布 。 该液体的密度和粘度分别为和。解：由题给条件 ，有0， uru0 ， X zg由柱坐标系连续性方程1( rur ) 1( u )( uz ) 0rrrz简化得uz0z. 学习帮手 .专业整理 .由柱坐标系N-S 方程uzu(urrruzuzuz )z22gpz1(r uz )1uzuzr rrr 22z21简化得g(rrruzuz由于0 ，zuz )0r0 （轴对称 ）， 故 uzuz (r ) ，即g1 dduz) 0r dr(rdrg r 2积分得uzC1 l

11、n r C24（ 1 ）边界条件为（ 1 ）rr0 , uz0（ 2 ） r R , duz 0 dr将边界条件代入式（1），得C1g R22C22g ( r02R ln r0 )2故速度分布为g2r122uz2 R lnr02(r0r)3. 半径为 r0 的无限长圆柱体以恒定角速度在无限流体中绕自身轴作旋转运动。设流体不可压缩 ，试从一般柱坐标系的运动方程出发，导出本流动问题的运动方程，并求速度分布与压力分布的表达式。解：柱坐标系的运动方程为. 学习帮手 .专业整理 .ururuur2urr 方向 :uruuzrrrzX r1 p1( ru r )12ur2 u2urrr r rr 22r

12、2z2（2-47a ）uuruuuuruu方向 ：rrruzzX1 1 p1(ru)12u2 ur2urr 22r 2z2r r r（2-47b）z 方向：uzuruzuuzuzuzrrzX z1 p1( ruz12uz2uzzrr)z2rr 22（ 2-47c ）由于该流动具有稳态、对称及一维特性，故有0 ， uruz0z利用上述特点 ，运动方程 （ 2-47 ）简化为pu2rr2u1uu0r 2rrr 2由于流动为一维，上式可写成常微分方程dpu2drr（ 1 ）d 2u1duu0dr 2rdrr 2. 学习帮手 .专业整理 .（ 2 ）式（ 2）的通解为uC1rC2r 1利用边界条件rr

13、0 , ur0r, u0可得C10,C2r02因此ur02r如果令r02则u2 r压力分布为2p82r 2C由r, pp0可得 Cp0因此pp02182r24.试求与速度势2 x 5xy3y 4 相对应的流函数，并求流场中点（2， 5）的压力梯度 （忽略质量力 ）。解：（ 1）流函数2x5xy3 y 4ux25 yxy2 y5y2g ( x)2. 学习帮手 .专业整理 .uy35xgyxxg5 x23xC22 y5 y 25 x23x C2 2（ 2）流场中点 （ 2， 5）的压力梯度忽略质量力，平面稳态流动的Euler方程为uxuyux1puxyxxuyuyuy1puxyyx写成向量形式为p

14、( uxuxuxu yu yxu y)i + (uxu y) jyxy(3 5x)( 5)i(25y)( 5) j 5(3 5x)i(25 y) j 点（ 2， 5）的压力梯度为p (2,5)(65i115 j )5.粘性流体在两块无限大平板之间作稳态层流流动，上板移动速度为U1，下板移动速度为 U2，设两板距离为2 h，试求流体速度分布式。提示 ：在建立坐标系时 ，将坐标原点取在两平行板的中心 。解：流体作稳态流动，速度与时间无关。建立坐标系时 ，将坐标原点取在两平行板的中心 ，并设两板距离为2 h。 运动方程可化简为x方向01 pd 2uxxdy 2（1 ）y方向01 pgy. 学习帮手

15、.专业整理 .（ 2 ）将式 （ 2）对 y 积分得pgyf ( x)（ 3 ）将式 （ 3）对 x 求偏导数 ，得p df (x)xdx由上式可知 ， p 对 x 的偏导数与y 无关 。x 方向的运动方程（ 1 ）可改为d 2ux1pdy2x（4 ）容易看出 ，上式右边仅与x 有关 ，左边仅与 y 有关 。 因此上式两边应等于同一个常数，即d 2ux1pdy2constx积分上式得1p y2uxC1 yC 2x 2（ 5 ）边界条件为（ 1） yh , uxU 1 ;（ 2） yh , uxU 2将边界条件代入式（5）得CU1 U2， C2U1 U21 p h212h22 x. 学习帮手 .

16、专业整理 .于是速度分布式为uxh2p 1 ( y ) 2 U 1U 2 ( y)U1 U22xh2h2第四章1. 某粘性流体以速度 u 0 稳态流过平板壁面形成层流边界层 ，在边界层内流体的剪应力不随 y 方向变化 。（ 1 ）试从适当边界条件出发 ，确定边界层内速度分布的表达式ux ux ( y) ；（ 2 ）试从卡门边界层积分动量方程dux )dyduxux ( u0dy y 0dx 0出发，确定x 的表达式 。解：（ 1 ）由于边界层内dux不随 y 变化 ， dux 为常数 ，速度分布为直线。设dydyuxaby 。 边界条件为（ 1 ） y 0 , ux 0 ；（ 2 ） y, u

17、xu0由此可得边界层内速度分布为uxyu0（ 2 ）将边界层积分动量方程写成dux(1ux) dyu yssdx0 uuu2u0000则dux (1ux ) dyd (1) d 1 ds 21dx 0 u0u0dx06 dxu0uxy)u0syu0 (y 0yy0. 学习帮手 .专业整理 .故有1d6 dxu0即d6dxu0边界条件为x0 ,0，积分上式得3.464x3.464xRex-1/2u02.不可压缩流体稳态流过平板壁面形成层流边界层，在边界层内速度分布为ux3 y1y 3()( )u022式中 ，为边界层厚度，4.64xRex 1/ 2 。试求边界层内y 方向速度分布的表达式 uy

18、。解：ux3u0 x 1/ 2 yu0 x 3/ 2 y3324.6424.64u0u0二维稳态层流的连续性方程为uxuy0xy（1 ）ux3u0 x 1 y 3u0 x 1 y33u0 y( y )3 x44 34 x（2 ）将式（2）代入式 （1）积分，得u yux dy3 u0 1 ( y )21 ( y) 4 x4x241.74u0y 21y41/ 2()2() Rex3. 20 的水以0.1 m/s 的流速流过一长为3m 、宽为 1m 的平板壁面 。 试求 （1 ）距平板. 学习帮手 .专业整理 .前缘 0.1m 位置处沿法向距壁面2mm 点的流速 ux 、 uy ；（ 2）局部曳力

19、系数CDx 及平均曳力系数 C D ；（ 3 ）流体对平板壁面施加的总曳力。设 Rexc5105 。已知水的动力粘度为100.510 5 Pa s ，密度为998.2 kg/m 3 。解：距平板前缘 0.1m处的雷诺数为 ：Rexu0 x 0.1 0.1998.29932.3 2 105100.510 5流动在层流边界层范围之内。（ 1 ）求 y 方向上距壁面2mm 处的 ux , u y已知 x0.1m， y0.002m ,由式 （ 4-15 ）得u00.0020.1998.21.993yx100.510 50.1查表 4-1 ，当1.993 时f=0.6457,f=0.625,f =0.2

20、60由式（4-25 ）得uxu0 f0.10.6250.0625 m/s由式（4-26 ）得uy1u0(f f )2x10.1(100.5 10 5/ 998.2)(1.9930.6250.6457)20.13.0110 4 m/s（ 2）局部曳力系数 CDx 及平均曳力系数 C DCDx 0.664 Rex1 20.664(9932.3) 1/ 20.00666C D2C Dx0.01332（ 3）流体对平板壁面施加的总曳力. 学习帮手 .专业整理 .22Fd CDu0 A0.0133 998.2 0.11 3 0.199 N224. 某粘性流体以速度 u0 稳态流过平板壁面时形成层流边界层

21、，已知在边界层内流体的速度分布可用下式描述uxabsin cy（ 1 ）采用适当边界条件，确定上式中的待定系数a , b 和 c ，并求速度分布的表达式；（2 ）试用边界层积分动量方程推导边界层厚度和平板阻力系数的计算式。解： （ 1） 选择如下边界条件（ 1 ） y0 , ux0 ；（ 2 ） y, uxu0 ；（ 3 ） yux0,y代入得0ab sin(0)u0ab sin(c)uxbc cos(c ) 0y求解得a 0 ； bu0 ； c2故uxu0 sin(y )2（ 2）d(u0duxdxux )ux dy0dy y 0先将速度分布代入，求积分号内的项. 学习帮手 .代入得.专业整

22、理 .( u ux)udyu2 (1ux ) ux dy00x00u0u0u021sin(y )sin(y) dy022u0211sin()sin() d022u021sin2 (0 sin(2)d2u02 2cos()2(1sin )10244u02 2 (0 1) 10 u02 ( 2 1)22duxu0 cosyu0dy y 022y 02du02 (21)u0dx22d2dx2u0 (1)21 211.46x11.46x22u0u0 x4.79xRex1/ 2移项得u2usCDx0022CDx4.79 u0 xRex 1/ 20.656Rex 1/ 2u05. 已知不可压缩流体在一很长

23、的平板壁面上形成的层流边界层中，壁面上的速度梯度ux。设流动为稳态 ，试从普兰德边界层方程出发，证明壁面附近的速度分布可为 kyy 0用下式表示ux1p y2ky2x. 学习帮手 .专业整理 .式中 ， p /x 为沿板长方向的压力梯度， y 为由壁面算起的距离坐标 。证：对于二维平板边界层，普兰德边界层方程为u xu x1 p2 uxu xu yxy 2xy（1 ）由于板很长 ，可以认为ux0x由连续性方程u xuy0xyuy0得y在平板壁面上 ， uy0 ，因此由上式可知，在边界层内 uy0 。由此可将式 （1）y 0简化为2ux1py2x上式左端是y 的函数 ，右端是 x 的函数 ，二者

24、要相等 ，必须使得2 ux1py2常数x上式积分求解 ，得ux1pC1yyxux1 p y2C1 y C22x由题意 ，当 y0 时，uxk ，故yC1k. 学习帮手 .专业整理 .又当 y0 时，由壁面不滑脱条件， ux0 ，故C20因此 ，速度分布为ux1p y 2ky2x证毕 。6. 不可压缩流体以u0 的速度流入宽为 b 、高为 2h 的矩形通道 （ b ? a ）， 从进口开始形成速度边界层 。已知边界层的厚度可近似按5.48 x / u0 估算 ，式中 x 为沿流动方向的距离 。试根据上述条件 ，导出计算流动进口段长度Le 的表达式 。解：当h （矩形高度的一半）时，边界层在通道的

25、中心汇合，此时的流动距离x即为流动进口段长度Le ，故h5.48Leu0解得Leu0 ( h )20.033 u0h25.48或Le0.033Rehu0 h式中Re第五章1. 20的水在内径为 2m 的直管内作湍流流动。测得其速度分布为 ux10 0.8ln y ，在离管内壁 1/3 m 处的剪应力为 103Pa ，试求该处的涡流运动粘度及混合长。已知3-320 水的密度为 998.2 kg/m ，动力粘度为 1.0 05 10 Pa s。解：（ 1）涡流运动粘度. 学习帮手 .专业整理 .t(duxyx)dy（ 1 ）duxd(10 0.8ln y)0.80.82.4 s-1dydyy0.333（ 2 ）式（2）代入式 （1）并整理得t1031.00510 3yxdux998.22.4998.2dyy 0.3334.3010 2