9A文矩阵求逆方法大全

1、MeiWei 81 重点借鉴文档】 求逆矩阵的若干方法和举例 苏红杏 广西民院计信学院 00数本（二）班 摘要 本文详细给出了求逆矩阵的若干方法并给出相应的例子，以供学习有关矩阵方面的读 关键词 逆矩阵初等矩阵伴随矩阵对角矩阵矩阵分块多项式等 引言在我们学习高等代数 时，求一个矩阵的逆矩阵是一个令人十分头痛的问题。 但是， 在研究矩阵及在以后学习有关数学知识时，求逆矩阵又是一个必不可缺少的知识点。为此， 我介绍下面几种求逆矩阵的方法，供大家参考。 定义: n阶矩阵 A为可逆，如果存在 n阶矩阵B ，使得AB BA E，这里 E是n阶单位 矩阵，此时， B 就称为 A 的逆矩阵，记为 A 1 ，

2、即： B A 1 方法一. 初等变换法（加边法） 我们知道， n阶矩阵 A为可逆的充分必要条件是它能表示成一系列初等矩阵的乘积A= Q1Q2 Qm ， 从而推出可逆矩阵可以经过一系列初等行变换化成单位矩阵。即，必有一系 列初等矩阵 Q1Q2 Qm 使 QmQm 1 Q1A E （ 1） 则 A 1=QmQm 1 Q1A E （2） 把A，E这两个n阶矩阵凑在一起，做成一个 nR2n阶矩阵（ A，E），按矩阵的分块乘法， （ 1）（ 2）可以合并写成 QmQm1 Q1（A，E）=（QmQm1 Q1，A， QmQm 1 Q1E）=（E， A 1）（3） 这样就可以求出矩阵 A的逆矩阵 A 1 。

3、012 例1. 设A= 1 1 4 求 A 1。 2 1 0 解：由（ 3）式初等行变换逐步得到： 0 1 2 1 0 0 1 1 4 0 1 0 1 0 0 2 11 1 1 4 0 1 0 0 1 2 1 0 0 0 1 0 4 21 2 1 0 0 0 1 2 1 0 0 0 1 0 0 2 3 21 1 0 0 2 1 1 0 1 0 4 2 1 31 0 0 1 1 22 MeiWei_81 重点借鉴文档】 MeiWei 81 重点借鉴文档】 2 1 1 于是 A 1= 4 2 1 3 1 1 2 2 说明：此方法适用于求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，比较简便，特别是当阶数较高时，

4、使用初等变换法的优点更明显。同样使用初等列变换类似行变换，此略，注意在使用此方法 求逆矩阵是，一般做初等行变换，避免做初等列变换。 方法二. 伴随矩阵法 1 定理：矩阵 A是可逆的充分必要条件是 A非退化，而 A 1=1 A*，（d=A 0）（4） 我们用（ 4）式来求一个矩阵的逆矩阵 123 例2.求矩阵A的逆矩阵 A 1：已知A= 2 2 1 343 解：d= A =9+6+24-18-12-4=2 0 A11 =2A12 =-3 A13 =2 A21 =6A22 =-6 A23 =2 A31 =-4 A32 =5A33 =-2 用伴随矩阵法，得 A 1= A*= 2 5 2 1 说明：虽

5、然这个公式对任何可逆矩阵都适用，但由于计算量大，一般只用于较低阶的矩 阵的求逆比如二阶三阶矩阵的逆，尤以对二阶，此方法更方便。 方法三 . 矩阵分块求逆法 在进行高阶矩阵运算时，经常将高阶矩阵按某种规则分成若干块，每一小块是一小矩阵，这 样一方面对小矩阵进行运算，一方面每一小矩阵又可作为一个元素按运算规则来进行运算， 求出矩阵的逆矩阵。 引出公式：设 T的分块矩阵为： T= A B , 其中 T为可逆矩阵，则 CD 1 A 1 A 1B (D CA 1B) 1CA 1 A 1B(D CA 1B) 1 T = 1 1 1 1 1 (D CA 1B) 1CA 1(D CA 1B) 1 说明：关于这

6、个公式的推倒从略。 1003 0104 例3. 求下列矩阵的逆矩阵，已知 W=0 1 0 4 0012 3425 解：将矩阵 W分成四块，设 MeiWei_81 重点借鉴文档】 5） MeiWei 81 重点借鉴文档】 100 3 A= 010 ,B= 4 001 2 (D CA 1B) ( 24), 即 于是 ,C= 3 4 2 ,D= 5 , 1 1 1 (D CA 1B) 1=( 214) A 1B=B= 4 , CA 1=C=3 利用公式（ 5），得 15 12 6 3 方法四. 因式分解法 若 Ak 0 ，即（ E-A）可逆， 我们通过上式（ 6），求出 例4. 求下面矩阵的逆矩阵，

7、 W 1 =214 12 8 8 4 6 8 20 2 3 4 2 1 且有 A1 已知： (E A) 1 =E AA2AK 1，(6) 1 1 2 3 4 0 1 1 2 3 A= 0 0 1 1 2 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 解：因为存在一个 K 0， 使 (E A) K =0，把这里的 E (E A) (E A) 2 (E A) K1 1 1 2 3 4 4 0 1 1 2 3 通过计算得 （E A） 4 = 0 0 1 1 2 =0， 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 即K=4 E-A）替换（ 6）式中的“ A”，得 A 1 所以 A 1=E (E A) (E A)

8、2 (E A)3 1 0 0 0 0 0 1 2 3 4 0 1 0 0 0 0 0 1 2 3 = 0 0 1 0 0 + 0 0 0 1 2 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 MeiWei_81 重点借鉴文档】 MeiWei 81 重点借鉴文档】 1 11 0 1 0 11 1 0 = 0 01 1 1 0 00 1 1 0 00 0 1 方法五. 多项式法 我们知道，矩阵A可逆的充分必要条件是有一常数项不为零的多项式 f(R) ，满足 f(A)=0 ， 用这个知识点也可以求出逆矩阵。 21 例5.已知矩阵A=，且A满足多项式 f(R)= X2

9、 5X 3E 33 0， 即 A2 5A 3E 0 试证明 A是可逆矩阵，并求其可逆矩阵 证：由 A2 5A 3E 0 ，可得 15 A( AE ) E 33 从而可知 A为可逆矩阵，并且 A 1 13A 5E 1 33 方法六. 解方程组法 1 3 2 3 在求一个矩阵的的逆矩阵时，可设出逆矩阵的待求元素，根据等式 应元素相等，可得出相应的只含待求元素的诸多线性方程组，便可求解逆矩阵。 123 例6. 求A= 2 2 1 的逆矩阵 343 AA 1 E 两端对 解：求可逆矩阵 A的逆矩阵 R，则它满足 AR=E，设 X (X1, X2,X3)，则 AX1 AX 2 AX3 利用消元解法求 x

10、1i X ix2i ( i=1,2,3 ) x3i 解得： MeiWei_81 重点借鉴文档】 MeiWei 81 重点借鉴文档】 1 3 2 3 3 5 22 0 11 1 方法七. 准对角矩阵的求逆方法 A22 定义：形如 A ,Aii 是矩阵 i 1,2, n 。 则准对角矩阵也可逆，且 A11 0 0 1 A111 0 0 0 A22 0 0 A1 A22 0 0 0 Ann 0 0 Ann1 4 0 0 0 0 3 2 0 例7. 已知 A ，求 A 1 。 0 1 5 0 0 0 0 5 A11,A22, , Ann都可逆， 0 3 2 0 A称为准对角矩阵。 其求逆的方法：可以证

11、明：如果 解：设 A11 =4 A22 求得： A111 , A22 4 1 17 5A A22 MeiWei_81 重点借鉴文档】 MeiWei 81 重点借鉴文档】 A1110 所以 A 1 0A221 00 方法八. 恒等变形法 0 1 4 0 0 0 0 0 0 5 2 0 17 17 1 3 0 17 17 1 0 0 5 有些计算命题表面上与求逆矩阵无关， 但实质上只有求出其逆矩阵之后， 才能解决问题。 2 而求其逆矩阵常对所给矩阵进行恒等变形，且常变为两矩阵乘积等于单位矩阵的等式。 例8.已知A6 E ，求A11，其中 A 解：对已知矩阵等式 A6 E 进行恒等变形，得 A6 E

12、 A 6 A 6 A 6 A A11 E 于是， A11 A 1，又因为 A是正交矩阵， A 1 AT ，所以 13 A11 A 1 A T 2 2 31 22 方法九. 公式法 利用下述诸公式，能够迅速准确地求出逆矩阵。 a b1 d b )二阶矩阵求逆公式(两调一除)：若 ，则 A 1 1 d b c dA c a )初等矩阵求逆公式： E ijEij 11 Ei 1(k) Ei (1 ) k 1 Eij1(k) Eij ( k) )对角线及其上方元素全为的上三角矩阵的逆矩阵 1 1 1 1 A 0 1 1 1 的逆矩阵为： 0 0 0 1 MeiWei_81 重点借鉴文档】 MeiWei

13、 81 重点借鉴文档】 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 A1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 )正交矩阵的求逆公式： 若A为正交矩阵， 则 A1 AT 而B为元素都为 1的上三角矩阵，由公式得： 5)其他常用的求逆公式： (AB) 1 B 1A 1 (AT ) 1 (A 1)T (A*) 1 (A 1)* A 1A A1 , A2 , A3, , AS可逆，则 (A1A2 AS) 1 AS1 A21A11 例 9. 已知： 1 0 0 1 1 1 A 0 1 0 ，B 0 1 1 ，求( AB) 1。 0 0 1 0 0 1 解：由于A是初等矩阵，由公式得： A 1 A 1 1 0 1 0 0 1 0 1 (AB) 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 B 1 0 1 1 ，再由公式得： 001 到此为止，我已介绍了 9种求逆矩阵的方法，除此外还有求正定矩阵的逆矩阵的三角阵法，由 于其方法不是很简便，在此略。这些方法各有所长，读者可根据实际情况进行选择。当然，