一元二次方程专题复习讲义-----hao---use--ok

1、一元二次方程专题复习 一、知识结构： 解与解法 兀二次方程 根的判另I 韦达定理 二、考点精析 考点一、概念 (1)定义：|只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2,这样的整式方程就是一元二次方程。 (2) 般表达式：ax2 bx c 0(a 0) 难点：如何理解“未知数的最高次数是 2”: 该项系数不为“ 0”； 未知数指数为“ 2”； 若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。 典型例题： 例1 下列方程中是关于 x 的一兀 1次方程的是( ) A 3 x 12 2 x 1 B 1 2 1 -20 x x C 2 ax bx c 0 D 2 x 2x x2

2、1 变式： 当k 时， 关于x 的方程kx2 2x x23是一元二次方程。 例2、方程 m 2 x冋 3mx 1 0是关于x的一元二次方程，则 m的值为 针对练习： 1、方程8x2 7的一次项系数是 ，常数项是 。 2、若方程 m 2 x m 10是关于x的一元一次方程， 求m的值；写出关于 x的一元一次方程。 一 2 / 3、若方程 m 1 x . m ? x 1是关于x的一元二次方程，则 m的取值范围是 4、若方程nxm+xn-2x2=0是一元二次方程，则下列不可能的是() A.m=n=2B.m=2 ,n=1C.n=2,m=1D.m=n=1 考点二、方程的解 概念：使方程两边相等的未知数的

3、值，就是方程的解。 应用：利用根的概念求代数式的值; 典型例题： 例1、已知2y2 V 3的值为2，则4v2 2v 1的值为。 例2、关于x的兀一次方程a 2 xx a40的一个根为0,则a的值为。 例3、已知关于 x的一兀二次方程 ax2 bx c 0 a 0的系数满足a c b，则此方程必有一根 为。 2 2 例4、已知a,b是方程x 4x m 0的两个根，b,c是方程y 8y 5m 0的两个根, 则m的值为。 针对练习： 1已知方程x2 kx 10 0的一根是2,贝U k为，另一根是 2X 1 2、已知关于x的方程x2 kx 20的一个解与方程3的解相同。 x 1 求k的值；方程的另一个

4、解。 3、 已知m是方程x2 x 10的一个根，则代数式 m2 4、已知 a 是 x2 3x 1 0的根，则 2a2 6a 5、方程a b x2 0的一个根为（） o 2 2 对于 x m, ax m bx n 等形式均适用直接开方法 典型例题: 例1、解方程: 2x280; 2 2516x2=0; 90; 例2、若9 x 2 16 x 2 ，则 x的值为 针对练习: F列方程无解的是（ 2cc2c 2 A. x 3 2x 1 B. x 2 C.2x 3 1 2 D. x 类型二、因式分解法 :xx1 xx2 0 xx1,或 x X2 0”, 2 2 x 2ax a 0 方程特点：左边可以分解

5、为两个一次因式的积，右边为“ 方程形式：女匚ax m 2 bxn2, x a x b 例1、 2x x 3 .5 x 3的根为（ ) 5 B x 3 5 3 A x Cx., x2 2 2 例2、 若4x 2 y 3 4x y 4 0，贝U 4x+y的值为 变式1 :a21 b22 2 2 a b 6 0,则a2b2 变式2 匕若x y 2 x y 3 0 ,则x+y的值为 变式3 1：若 x2 xy y 14 , y2 xy x 28，则 x+y 的值为 例3、 方程x2 x 60的解为（ ) A. x1 3,X2 2 B. x13,x2 2 C. X3 ,x 2 3 例4、 解方程： x2

6、 2 .3 1 x 2.340 例5、 已知2x2 3xy 2y20,则 x y的值为 。 典型例题: D O O O x y D. x12,x22 变式：已知2x2 3xy 2y2 0,且x 0,y x 0,则一 x -的值为 y 针对练习: 1下列说法中: 方程x2 px 0的二根为Xi, X2，则 x2 px q (x xi)(x X2) x2 6x 8 (x 2)(x 4). a2 5ab 6b2 (a 2)(a 3) x2y (x y)C x,y)( .x . y) 方程（3x 1)2 0 可变形为(3x 1、7)(3x 1-.7) 正确的有（ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

7、 2、以 1 、.7为根的一元二次方程是（） A. x2 2x 60 B. x2 2x 6 0 y2 2y 60 D. y2 2y 60 3、写出一个 写出一个一元 元二次方程，要求二次项系数不为 次方程，要求二次项系数不为 且两根互为倒数: 且两根互为相反数： 4、若实数x、y满足x y 3 x y A、-1 或-2 B、-1 或 2 C、1 或-2 D、1 或 2 2 1 5、方程：x 22的解是。 x 0, y 0,求 2x 、6y 的值。 (3x y 0的较大根为r,方程2007x22008x10的较小根为 6、已知、.6x2 xy , 6y2 0，且 x s,贝U s-r的值为 ax

8、2 bx 7、方程 1999x 21998 2000 x 1 2 2 b b 4ac 2a4a2 在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。 典型例题： 例1、 试用配方法说明x2 2x 3的值恒大于0。 例2、 已知x、y为实数，求代数式x2 y2 2x 4y 7的最小值。 例3、 已知x2 y2 4x 6y 13 0，x、y为实数，求xy的值。 例4、 分解因式：4x212x 3 针对练习: 1、试用配方法说明 10 x2 7x 4的值恒小于0。 2 1 1 1 2、已知 x 2 x 40，则 x xxx 3、若 t 23x2 12x 9，则t的最大值为 ，

9、最小值为 4、如果 a b 41 1 4ja 2 2j7 4,那么 a 2b 3c 的值为 类型四、公式厂 条件:a 0,且b2 4ac 0 b Jb2 4ac小 口 2, 小 公式: x, a 0,且 b 4ac 0 2a 典型例题： 例1、选择适当方法解下列方程： 2 31 x 6. x 3 x 68. 2 x 4x 10 3x2 4x 1 0 3 x 1 3x 1 x 1 2x 5 例2、在实数范围内分解因式： (1) x2 2 .2x 3 ；(2)4x2 8x 1. 2x2 4xy 5y2 说明：对于二次三项式 ax2 bx c的因式分解，如果在有理数范围内不能分解, 般情况要用求根公

10、式，这种方法首先令ax2 bx c=o,求出两根，再写成 2 ax bx c= a(x x1)(x x2). 分解结果是否把二次项系数乘进括号内，取决于能否把括号内的分母化去 类型五、“降次思想”的应用 例2、如果x2 x 1 0，那么代数式x3 2x2 7的值。 例3、已知a是一元二次方程 x2 3x 1 3-2 a 2a 5a 1 居 0的一根，求2的值。 a 1 求代数式的值； 解二兀二次方程组。 典型例题： 例1、已知x2 x 1 3 x2 1 3x 20，求代数式x 1x1的值。 x 1 例4、用两种不同的方法解方程组 2x y 6,(1) x2 5xy 6y20.(2) 说明：解二

11、元二次方程组的具体思维方法有两种：先消元，再降次；先降次，再 消元。但都体现了一种共同的数学思想一一化归思想，即把新问题转化归结为我们已 知的问题. 考点四、根的判别式 b2 4ac 根的判别式的作用: 定根的个数； 求待定系数的值; 应用于其它。 典型例题： 例1、若关于x的方程x 2 kx 10有两个不相等的实数根，则 k的取值范围是 例2、关于x的方程m 1 x2 2mx m 0有实数根，则 m的取值范围是() A. m 0且m 1B. m 0 C. m 1D. m 1 例3、已知关于x的方程x2k 2 x 2k 0 (1) 求证：无论k取何值时，方程总有实数根; (2) 若等腰 ABC

12、的一边长为1，另两边长恰好是方程的两个根，求ABC的周长。 例4、已知二次三项式 9x2 (m 6)x m 2是一个完全平方式，试求 例5、m为何值时，方程组 2 x mx 2y2 y a ,有两个不同的实数解？有两个相同的实数解? 3. 针对练习: 1、当 k 时，关于x的二次三项式x2 kx 9是完全平方式。 2、当k取何值时，多项式 3x2 4x 2k是一个完全平方式？这个完全平方式是什么? 3、已知方程mx2 mx 20有两个不相等的实数根，则 m的值是 4、k为何值时，方程组y2 kx 2， y 4x 2y 10. (1) 有两组相等的实数解，并求此解; (2) 有两组不相等的实数解

13、； (3) 没有实数解. 5、当k取何值时，方程x2 4mx 4x 3m2 2m 4k 0的根与m均为有理数? 考点五、方程类问题中的“分类讨论” 典型例题：| 例1、关于x的方程m 1 x2 2mx 30 有两个实数根，则 m为, 只有一个根，则 m为。 例2、不解方程，判断关于 x的方程x2 2 x kk23根的情况。 例3、如果关于x的方程x2 kx 2 0及方程x2 x 2k 0均有实数根，问这两方程 是否有相同的根？若有，请求出这相同的根及k的值；若没有，请说明理由。 考点六、应用解答题 “握手”问题；“利率”问题；“几何”问题；“最值”型问题；“图表”类问题 典型例题： 1五羊足球

14、队的庆祝晚宴，出席者两两碰杯一次，共碰杯990次，问晚宴共有多少人出席? 2、某小组每人送他人一张照片，全组共送了90张，那么这个小组共多少人? 北京申奥成功，促进了一批产业的迅速发展，某通讯公司开发了一种新型通讯产品投放市场，根据计 1 -，该产品第一年收入资金 2 1 划，第一年投入资金 600万元，第二年比第一年减少 ，第三年比第二年减少 3 要实现这一目标，该产品收 约400万元，公司计划三年内不仅要将投入的总资金全部收回，还要盈利 入的年平均增长率约为多少？（结果精确到0.1， .13 3.61） 4、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一

15、个月能售 出500千克，销售单价每涨 1元，月销售量就减少10千克，针对此回答： （1）当销售价定为每千克 55元时，计算月销售量和月销售利润。 （2） 商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元， 销售单价应定为多少？ 5、将一条长20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长作成一个正方形。 （1） 要使这两个正方形的面积之和等于17cm2,那么这两段铁丝的长度分别为多少? （2） 两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不 能，请说明理由。 （3）两个正方形的面积之和最小为多少？ 6、A、B两地间的路程为36千米.甲从A地

16、，乙从B地同时出发相向而行，两人相遇后，甲再走2小时30 分到达B地，乙再走1小时36分到达A地，求两人的速度. 考点七、根与系数的关系 0、0时，才能用韦达定理。 前提：对于ax2 bx c 0而言，当满足 a 主要内容:捲 X2 , X!X2 aa 应用：整体代入求值。 典型例题： 例1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程 2 2x 8x 70的两根，则这个直角三角形的斜边是 () A. B.3C.6 例2、已知关于x的方程k2x2 2k 1 x 1 0有两个不相等的实数根， (1) 求k的取值范围； (2) 是否存在实数k,使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。 1)时，小明因看错常数项，而得 元二次方程(二次项