《导数及其应用》知识点总结(2)

1、导数及其应用知识点总结 、导数的概念和几何意义 1. 函数的平均变化率：函数 2. 导数的定义：设函数 y f(x)在区间Xi, x2上的平均变化率为: f(X2) f(Xi) X2 Xi f(x)在区间(a,b)上有定义，Xo (a,b)，若 x无限趋近于 0时，比值 丄 竺一X) f(Xo)无限趋近于一个常数 A，则称函数f(x)在x Xo处可导， XX 并称该常数A为函数f(x)在X Xo处的导数，记作f (Xo)。函数f (X)在X Xo处的导数的实 质是在该点的瞬时变化率。 3. 求函数导数的基本步骤：(1)求函数的增量y f (xox) f (xo) ； ( 2 )求平均变 化率：

2、 止_x) f (Xo) ；( 3)取极限，当 X无限趋近与o时，尘一x) f(Xo)无限趋 XX 近与一个常数A，贝y f (xo) A . 4. 导数的几何意义： 函数f(x)在X Xo处的导数就是曲线 y f(x)在点(Xo，f(Xo)处的切线的斜率。由此， 可以利用导数求曲线的切线方程，具体求法分两步： (1) 求出y f(x)在xo处的导数，即为曲线 y f(x)在点(xo, f(xo)处的切线的斜率; (2) 在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y yof (xo)(x xo)。 当点P(Xo, yo)不在y f (x)上时，求经过点 P的y f (x)的切线方程，可设

3、切点坐标, 由切点坐标得到切线方程, 再将P点的坐标代入确定切点。特别地，如果曲线y f (x)在点 (Xo, f(Xo)处的切线平行与y轴，这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为x Xo。 5. 导数的物理意义： 质点做直线运动的位移S是时间t的函数S(t)，则V S(t)表示瞬时速度，a v (t)表 示瞬时加速度。 二、导数的运算 1. 常见函数的导数： (1) (kx b) k(k, b 为常数)； (2) C 0(C为常数); (3) (x)1 ; (4) (x2) 2x ; (5) (x3) 3x2 ； (6) (1) 1 X2 ； (7) (x) 1 . 2,.x ； (8

4、) aa (x ) a 1 ( a为常数)； (9) (ax): ax In a(a 0,a1)； (10) (log a x) 11 -logae- (a 0,a 1): xxl na (11) (ex) x e ； (12) (ln x)丄 x ； (13) (sin x) cosx ； (14) (cosx) sin x。 2.函数的和、 差、积、商的导数： (1) f(x) g(x) f (x) g (x)； (2) Cf (x) Cf (x) (C为常数)； (3) f(x)g(x) f (x)g(x) f (x)g (x)； (4) 第 f (x)g(x) f(x)g (x) 0)

5、。 2 (g(x) g (x) 3.简单复合函数的导数： 若 y f (u), u ax b，贝V 乂 yu ux，即 yx yu a。 三、导数的应用 1. 求函数的单调性： 利用导数求函数单调性的基本方法：设函数y f(x)在区间(a,b)内可导， (1) 如果恒f(x)0,则函数yf(x)在区间(a,b)上为增函数； (2) 如果恒f(x)0,则函数yf(x)在区间(a,b)上为减函数； (3) 如果恒f(x)0,则函数yf(x)在区间(a,b)上为常数函数。 利用导数求函数单调性的基本步骤：求函数y f(x)的定义域；求导数 f (x)； 解不等式f (x) 0 ,解集在定义域内的不间

6、断区间为增区间；解不等式f (x) 0,解集 在定义域内的不间断区间为减区间。 反过来，也可以利用导数由函数的单调性解决相关问题(如确定参数的取值范围)： 设函数y f (x)在区间(a,b)内可导， (1) 如果函数y f(x)在区间(a,b)上为增函数，则f (x)0 (其中使f (x)0的x值不构 成区间)； (2) 如果函数y f(x)在区间(a,b)上为减函数，则f (x)0 (其中使f (x)0的x值不构 成区间)； (3) 如果函数y f(x)在区间(a,b)上为常数函数，则f (x)0恒成立。 2. 求函数的极值： 设函数y f(x)在x。及其附近有定义，如果对X。附近的所有的

7、点都有f(x)f(x0)(或 f (x) f(x)，则称f(x)是函数f (x)的极小值(或极大值) 可导函数的极值，可通过研究函数的单调性求得，基本步骤是: (1 )确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f (x) ; (3)求方程f (x) 0的全部实根， Xi x2 L Xn，顺次将定义域分成若干个小区间，并列表：x变化时，f(X)和f (x)值的 变化情况： X (，Xi) X (MM) Xn (Xn，) f (X) 正负 0 正负 0 正负 f(x) 单调性 单调性 单调性 (4) 检查f (x)的符号并由表格判断极值。 3. 求函数的最大值与最小值： 如果函数f(x)在定义域I内存

8、在X。，使得对任意的x I，总有f(x) f(Xo)，则称f(Xo) 为函数在定义域上的最大值。函数在定义域内的极值不一定唯一，但在定义域内的最值是唯 一的。 求函数f (x)在区间a,b上的最大值和最小值的步骤： (1 )求f (x)在区间(a,b)上的极值； (2)将第一步中求得的极值与f(a), f(b)比较，得到f(x)在区间a,b上的最大值与最 小值。 4. 解决不等式的有关问题： (1)不等式恒成立问题(绝对不等式问题)可考虑值域。 f(x)(x A)的值域是a,b时， 不等式f (x)0恒成立的充要条件是 f (X)max 0，即 b 0 ； 不等式f (x)0恒成立的充要条件是 f (X)min 0,即 a 0。 f (x)(x A)的值域是(a, b)时， 不等式f(x) 0恒成立的充要条件是 b 0 ； 不等式f(X)0恒成立的充要条件是 a 0。 (2)证明不等式f(x) 0可转化为证明f(X)max