经济数学 微分中值定理课件

1、第三章第三章 微分中值定理微分中值定理 第一节第一节 中值定理中值定理 一、罗尔中值定理一、罗尔中值定理 二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理 三、柯西中值定理三、柯西中值定理 四、小结思考题四、小结思考题 罗尔罗尔（R Rolleolle）定理）定理 如果函数如果函数)(xf在闭区间在闭区间 ,ba 上连续上连续, ,在开区间在开区间),(ba内可导内可导, ,且在区间端点的函数且在区间端点的函数 值相等，即值相等，即)()(bfaf , ,那末在那末在),(ba内至少有一点内至少有一点 )(ba , ,使得函数使得函数)(xf在该点的导数等于零，在该点的导数等于零， 即即0)( f )

2、1( )2()3( 例如例如,32)( 2 xxxf).1)(3( xx ,3 , 1上连续上连续在在 ,)3 , 1(上上可可导导在在 , 0)3()1( ff且且 )3 , 1(1( , 1 取取. 0)( f),1(2)( xxf 点击图片任意处播放点击图片任意处播放暂停暂停 物理解释物理解释: : 变速直线运动在变速直线运动在 折返点处折返点处,瞬时速瞬时速 度等于零度等于零. 几何解释几何解释: : a b 1 2 x y o )(xfy . , 水平的水平的 在该点处的切线是在该点处的切线是点点 上至少有一上至少有一在曲线弧在曲线弧 C AB C 证证 .)1(mM 若若 ,)(连

3、连续续在在baxf.mM 和和最最小小值值必必有有最最大大值值 .)(Mxf 则则 . 0)( x f由此得由此得 ),(ba . 0)( f都有都有 .)2(mM 若若 ),()(bfaf .取取得得最最值值不不可可能能同同时时在在端端点点 ),(afM 设设 .)(),(Mfba 使使内至少存在一点内至少存在一点则在则在 ),()( fxf, 0)()( fxf , 0 x若若 ; 0 )()( x fxf 则则有有 , 0 x若若; 0 )()( x fxf 则则有有 ; 0 )()( lim)( 0 x fxf f x ; 0 )()( lim)( 0 x fxf f x ,)(存在存

4、在 f ).()( ff. 0)( f只只有有 注意注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其其 结论可能不成立结论可能不成立. 例如例如,;2 , 2, xxy , ,)0(2 , 2 的的一一切切条条件件 满满足足罗罗尔尔定定理理不不存存在在外外上上除除在在 f . 0)( 2-2 x f使使 内内找找不不到到一一点点能能，但但在在区区间间 ; 0, 0 1 , 0(,1 x xx y .1 , 0, xxy 又例如又例如, 例例1 1 .1 015 5 的的正正实实根根 有有且且仅仅有有一一个个小小于于证证明明方方程程 xx 证证, 15)( 5 xx

5、xf设设 ,1 , 0)(连连续续在在则则xf . 3)1(, 1)0( ff且且 由介值定理由介值定理 . 0)(),1 , 0( 00 xfx使使即为方程的小于即为方程的小于1的正实根的正实根. ,),1 , 0( 011 xxx 设另有设另有. 0)( 1 xf使使 ,)( 10 件件之之间间满满足足罗罗尔尔定定理理的的条条在在xxxf 使使得得之之间间在在至至少少存存在在一一个个),( 10 xx . 0)( f )1(5)( 4 xxf但但)1 , 0( , 0 x矛盾矛盾,.为为唯唯一一实实根根 拉格朗日拉格朗日（LagrangeLagrange）中值定理）中值定理 如果函数如果函

6、数 f(x)在在 闭区间闭区间,ba上连续上连续, ,在开区间在开区间),(ba内可导内可导, ,那末在那末在 ),(ba内至少有一点内至少有一点)(ba ，使等式，使等式 )()()( abfafbf 成立成立. . )1( )2( ).()(:bfaf 去去掉掉了了与与罗罗尔尔定定理理相相比比条条件件中中注注意意 ).( )()( f ab afbf 结结论论亦亦可可写写成成 a b 1 2 xxo y )(xfy A B C DN M 几何解释几何解释: . , AB C AB 线平行于弦线平行于弦 在该点处的切在该点处的切一点一点 上至少有上至少有在曲线弧在曲线弧 证证分析分析:).(

7、)(bfaf 条件中与罗尔定理相差条件中与罗尔定理相差 弦弦AB方程为方程为 ).( )()( )(ax ab afbf afy ,)(ABxf减去弦减去弦曲线曲线 ., 两两端端点点的的函函数数值值相相等等所所得得曲曲线线ba 作辅助函数作辅助函数 ).( )()( )()()(ax ab afbf afxfxF ,)(满足罗尔定理的条件满足罗尔定理的条件xF . 0)(,),( Fba使使得得内内至至少少存存在在一一点点则则在在 0 )()( )( ab afbf f即即 ).)()()(abfafbf 或或 拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式 注意注意: :拉氏公式精确地表达了函数在一个区

8、间上的拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的 增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系. ,),(,)(内内可可导导在在上上连连续续，在在设设babaxf ).10()()()( 000 xxxfxfxxf 则有则有),(, 00 baxxx ).10()( 0 xxxfy也也可可写写成成 .的的精精确确表表达达式式增增量量 y 拉格朗日中值定理又称拉格朗日中值定理又称有限增量定理有限增量定理. 拉格朗日中值公式又称拉格朗日中值公式又称有限增量公式有限增量公式. 微分中值定理微分中值定理 推论推论 .)( ,)( 上上是是一一个个常常数数在在区区间间

9、那那末末 上上的的导导数数恒恒为为零零在在区区间间如如果果函函数数 Ixf Ixf 例例2 2).11( 2 arccosarcsin xxx证证明明 证证 1 , 1,arccosarcsin)( xxxxf设设 ) 1 1 ( 1 1 )( 22 xx xf . 0 1 , 1,)( xCxf 0arccos0arcsin)0( f又又 2 0 , 2 . 2 C即即 . 2 arccosarcsin xx 例例3 3.)1ln( 1 ,0 xx x x x 时时证明当证明当 证证),1ln()(xxf 设设 , 0)(上上满满足足拉拉氏氏定定理理的的条条件件在在xxf )0(),0)()

10、0()(xxffxf , 1 1 )(, 0)0( x xff 由上式得由上式得 , 1 )1ln( x x x 0又又 x 111, 1 1 1 1 1 x , 11 x x x x .)1ln( 1 xx x x 即即 柯柯西西（C Ca au uc ch hy y）中中值值定定理理 如如果果函函数数)(xf及及)(xF 在在闭闭区区间间,ba上上连连续续, ,在在开开区区间间),(ba内内可可导导, ,且且 )( xF在在),(ba内内每每一一点点处处均均不不为为零零，那那末末在在),(ba内内 至至少少有有一一点点)(ba , ,使使等等式式 )( )( )()( )()( F f a

11、FbF afbf 成成立立. . 几何解释几何解释: )( 1 F)( 2 F xo y )( )( xfY xFX )(aF A )(bF B C D )(xF N M . ),(),( AB fFC AB 弦弦 该点处的切线平行于该点处的切线平行于 在在一点一点 上至少有上至少有在曲线弧在曲线弧 证证作辅助函数作辅助函数 ).()( )()( )()( )()()(aFxF aFbF afbf afxfx ,)(满满足足罗罗尔尔定定理理的的条条件件x . 0)(,),( 使得使得内至少存在一点内至少存在一点则在则在ba , 0)( )()( )()( )( F aFbF afbf f即即

12、. )( )( )()( )()( F f aFbF afbf . 0)(,),( 使得使得内至少存在一点内至少存在一点则在则在ba ,)(xxF 当当, 1)(,)()( xFabaFbF )( )( )()( )()( F f aFbF afbf ).( )()( f ab afbf 例例4 4 ).0()1(2)(),1 , 0( :,)1 , 0(,1 , 0)( fff xf 使使至少存在一点至少存在一点 证明证明内可导内可导在在上连续上连续在在设函数设函数 证证分析分析: 结论可变形为结论可变形为 2 )( 01 )0()1(fff . )( )( 2 x x xf ,)( 2 x

13、xg 设设 , 1 , 0)(),(条条件件上上满满足足柯柯西西中中值值定定理理的的在在则则xgxf 有有内至少存在一点内至少存在一点在在,)1 , 0( 2 )( 01 )0()1(fff ).0()1(2)(fff 即即 四、小结四、小结 Rolle 定理定理 Lagrange 中值定理中值定理 Cauchy 中值定理中值定理 xxF )( )()(bfaf 罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理 之间的关系；之间的关系； 注意定理成立的条件；注意定理成立的条件； 注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤. 思考

14、题思考题 试举例说明拉格朗日中值定理的条件试举例说明拉格朗日中值定理的条件 缺一不可缺一不可. 思考题解答思考题解答 1, 3 10, )( 2 1 x xx xf 不满足在闭区间上不满足在闭区间上连续连续的条件；的条件； , 1 )( 2 bax x xf 且且0 ab 不满足在开区间内不满足在开区间内可微可微的条件；的条件； 以上两个都可说明问题以上两个都可说明问题. 一、一、 填空题：填空题： 1 1、 函数函数 4 )(xxf 在区间在区间1,21,2上满足拉格朗日中值上满足拉格朗日中值 定理，则定理，则=_=_ _ _. . 2 2、 设设)4)(3)(2)(1()( xxxxxf，

15、 方 程方 程 0)( x f有有_个根，它们分别在区间个根，它们分别在区间 _上上. . 3 3、 罗 尔 定 理 与 拉 格 朗 日 定 理 之 间 的 关 系 是罗 尔 定 理 与 拉 格 朗 日 定 理 之 间 的 关 系 是 _._. 4 4、 微分中值定理精确地表达函数在一个区间上的微分中值定理精确地表达函数在一个区间上的 _与函数在这区间内某点处的与函数在这区间内某点处的_之间之间 的关系的关系. . 5 5、 如果函数如果函数 )(xf 在区间在区间I上的导数上的导数_ _，那，那 么么 )(xf 在区间在区间I上是一个常数上是一个常数. . 练练 习习 题题 二、试证明对函数

16、二、试证明对函数rqxpxy 2 应用拉氏中值定理应用拉氏中值定理 时所求得的点时所求得的点 总是位于区间的正中间总是位于区间的正中间 . . 三、证明等式三、证明等式 2 1 arctan1arcsin 2 2 x x x )1 , 0( x . . 四、设四、设 0 ba ， 1 n ，证明，证明 )()( 11 banababanb nnnn . . 五、五、 证明下列不等式：证明下列不等式： 1 1、baba arctanarctan； 2 2、 时时当当1 x ， exe x . . 六六、设函数、设函数)(xfy 在在0 x的某邻域内且有的某邻域内且有n阶导数，阶导数， 且且)0(

17、)0()0( )1( n fff试用柯西中值定理试用柯西中值定理 证明：证明： ! )()( )( n xf x xf n n ， （， （10 ）. . 七七、设、设)(xf在在 ba, 内上连续，在内上连续，在( (ba,) )内可导，若内可导，若 ba 0, ,则在则在( ( ba, ) )内存在一内存在一 点点 ，使，使 )()()()(baffabfbaf . . 一一、1 1、3 4 15 ； 2 2、3 3, ,( (1 1, ,2 2) ), ,( (2 2, ,3 3) ), ,( (3 3, ,4 4) )； 3 3、前前者者是是后后者者的的特特殊殊情情形形, ,加加)()

18、(bfaf 即即可可； 4 4、增增量量, ,导导数数； 5 5、恒恒为为零零. . 练习题答案练习题答案 第二节第二节 洛必达法则洛必达法则 洛洛必必达达法法则则型型未未定定式式解解法法型型及及一一、: 0 0 型型未未定定式式解解法法二二、 00 ,1 ,0 ,0 三、小结三、小结 洛洛必必达达法法则则型型未未定定式式解解法法型型及及一一、: 0 0 定义定义 . 0 0 )( )( lim )()( )( )( 型未定式型未定式或或常把这种极限称为常把这种极限称为 在通在通可能存在、也可能不存可能存在、也可能不存极限极限 大，那末大，那末都趋于零或都趋于无穷都趋于零或都趋于无穷与与 时，

19、两个函数时，两个函数或或如果当如果当 xF xf xFxf xax x ax 例如例如, , tan lim 0 x x x , sinln sinln lim 0 bx ax x ) 0 0 ( )( . )( )( lim )( )( lim );( )( )( lim)3( ; 0)( )()(,)2( ;)()(,)1( xF xf xF xf xF xf xF xFxfa xFxfax axax ax 那末那末 或为无穷大或为无穷大存在存在 且且 都存在都存在及及点的某去心邻域内点的某去心邻域内在在 都趋于零都趋于零及及函数函数时时当当 设设 定理定理 定义定义 这种在一定条件下通过

20、分子分母分别求导再这种在一定条件下通过分子分母分别求导再 求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则. . 证证定义辅助函数定义辅助函数 , , 0 ),( )( 1 ax axxf xf, , 0 ),( )( 1 ax axxF xF ,),( 0 xaU内内任任取取一一点点在在 ,为端点的区间上为端点的区间上与与在以在以xa ,)(),( 11 件件满足柯西中值定理的条满足柯西中值定理的条xFxf 则有则有 )()( )()( )( )( aFxF afxf xF xf )( )( F f )(之间之间与与在在ax ,aax 时时当当, )( )

21、( limA xF xf ax , )( )( limA F f a . )( )( lim )( )( limA F f xF xf aax .,该法则仍然成立该法则仍然成立时时当当 x 使使用用洛洛必必达达法法则则，即即定定理理的的条条件件，可可以以继继续续 满满足足型型，且且仍仍属属如如果果)(),( 0 0 )( )( xFxf xF xf . )( )( lim )( )( lim )( )( lim xF xf xF xf xF xf axaxax . )( )( lim )( )( lim xF xf xF xf xx .,也有相应的洛必达法则也有相应的洛必达法则时的未定式时的未

22、定式当当 xax 例例1 1 解解 . tan lim 0 x x x 求求 )( )(tan lim 0 x x x 原式原式 1 sec lim 2 0 x x . 1 例例2 2 解解 . 1 23 lim 23 3 1 xxx xx x 求求 123 33 lim 2 2 1 xx x x 原原式式 26 6 lim 1 x x x . 2 3 ) 0 0 ( ) 0 0 ( 例例3 3 解解 . 1 arctan 2 lim x x x 求求 2 2 1 1 1 lim x x x 原式原式 2 2 1 lim x x x . 1 例例4 4 解解 . sinln sinln lim

23、 0 bx ax x 求求 axbxb bxaxa x sincos sincos lim 0 原原式式 . 1 ) 0 0 ( )( ax bx x cos cos lim 0 例例5 5 解解 . 3tan tan lim 2 x x x 求求 x x x 3sec3 sec lim 2 2 2 原式原式 x x x 2 2 2 cos 3cos lim 3 1 xx xx x sincos2 3sin3cos6 lim 3 1 2 x x x 2sin 6sin lim 2 x x x 2cos2 6cos6 lim 2 . 3 )( 注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，注意：洛必

24、达法则是求未定式的一种有效方法， 但与其它求极限方法结合使用，效果更好但与其它求极限方法结合使用，效果更好. . 例例6 6 解解 . tan tan lim 2 0 xx xx x 求求 3 0 tan lim x xx x 原原式式 x xx x 6 tansec2 lim 2 0 2 2 0 3 1sec lim x x x x x x tan lim 3 1 0 . 3 1 型型未未定定式式解解法法二二、 00 ,1 ,0 ,0 例例7 7 解解 .lim 2x x ex 求求)0( x e x x 2 lim 原原式式 2 lim x x e . 关键关键: :将其它类型未定式化为洛

25、必达法则可解决将其它类型未定式化为洛必达法则可解决 的类型的类型 . ), 0 0 ()( 型型 0. 1 步骤步骤: , 1 0 . 0 1 00 或或 例例8 8 解解 ). 1 sin 1 (lim 0 xx x 求求)( 0 1 0 1 . 00 00 xx xx x sin sin lim 0 原原式式 xxx x x cossin cos1 lim 0 . 0 型型 . 2 步骤步骤: 步骤步骤: 型型 00 ,1 ,0. 3 ln0 1ln 0ln0 1 0 0 0 取对数取对数 .0 例例9 9 解解 .lim 0 x x x 求求)0( 0 xx x e ln 0 lim 原

26、式原式 xx x e lnlim 0 2 0 1 1 lim x x x e 0 e . 1 x x x e 1 ln lim 0 例例1010 解解 .lim 1 1 1 x x x 求求 )1( x x x e ln 1 1 1 lim 原式原式 x x x e 1 ln lim 11 1 lim 1 x x e. 1 e 例例1111 解解 .)(cotlim ln 1 0 x x x 求求 )( 0 ,)(cot )ln(cot ln 1 ln 1 x xx ex 取取对对数数得得 )ln(cot ln 1 lim 0 x x x x xx x1 sin 1 cot 1 lim 2 0

27、 xx x xsincos lim 0 , 1 . 1 e原式原式 例例1212 解解 . cos lim x xx x 求求 1 sin1 lim x x 原式原式).sin1(limx x 极限不存在极限不存在 洛必达法则失效。洛必达法则失效。 )cos 1 1(limx x x 原原式式. 1 注意：注意：洛必达法则的使用条件洛必达法则的使用条件 洛必达法则洛必达法则 型型 00 ,1 ,0 型型 型型 0 型型 0 0 型型 g f gf 1 fg fg gf 11 11 取取对对数数 令令 g fy 思考题思考题 设设 )( )( lim xg xf 是是不不定定型型极极限限，如如果

28、果 )( )( xg xf 的的极极 限限不不存存在在，是是否否 )( )( xg xf 的的极极限限也也一一定定不不存存在在？ 举举例例说说明明. 思考题解答思考题解答 不一定不一定 例例 ,sin)(xxxf xxg )( 显然显然 )( )( lim xg xf x 1 cos1 lim x x 极限不存在极限不存在 但但 )( )( lim xg xf x x xx x sin lim 1 极限存在极限存在 一、一、 填空题：填空题： 1 1、 洛必达法则除了可用于求洛必达法则除了可用于求“0 0 ” ，及” ，及“ ”两种”两种 类型的未定式的极限外，也可通过变换解决类型的未定式的极

29、限外，也可通过变换解决 _，_，_， _，_，等型的未定式，等型的未定式 的求极限的问题的求极限的问题. . 2 2、 x x x )1ln( lim 0 =_.=_. 3 3、 x x x 2tanln 7tanln lim 0 =_.=_. 练练 习习 题题 二、二、 用洛必达法则求下列极限：用洛必达法则求下列极限： 1 1、 2 2 )2( sinln lim x x x ； 2 2、 x x x arctan ) 1 1ln( lim ； 3 3、xx x 2cotlim 0 ； 4 4、) 1 1 1 2 (lim 2 1 xx x ； 5 5、 x x x sin 0 lim ；

30、6 6、 x x x tan 0 ) 1 (lim ； 7 7、 x x x)arctan 2 (lim . . 三三、 讨讨论论函函数数 0, 0, )1( )( 2 1 1 1 xe x e x xf x x 当当 当当 , , 在在处处点点0 x的的连连续续性性. . 一一、1 1、 00 ,0,1,0 ； 2 2、1 1； 3 3、1 1. . 二二、1 1、 8 1 ； 2 2、1 1； 3 3、 2 1 ； 4 4、 2 1 ； 5 5、1 1； 6 6、1 1； 7 7、 2 e. . 三三、连连续续. . 练习题答案练习题答案 第三节第三节 泰勒泰勒(Taylor)定理定理 一

31、、问题的提出一、问题的提出 二、二、Pn和和Rn的确定的确定 三、泰勒中值定理三、泰勒中值定理 四、简单应用四、简单应用 五、小结五、小结 思考题思考题 1 1. .设设)(xf在在 0 x处处连连续续, ,则则有有 2 2. .设设)(xf在在 0 x处处可可导导, ,则则有有 例例如如, , 当当x很很小小时时, , xe x 1 , , xx )1ln( )()( 0 xfxf )()()()( 0000 xxoxxxfxfxf （如下图）（如下图） )()( 0 xfxf )()()( 000 xxxfxfxf x ey xy 1 o x ey o xy )1ln(xy 不足不足: 问

32、题问题: 寻找函数寻找函数)(xP, ,使得使得)()(xPxf 误误差差 )()()(xPxfxR 可可估估计计 1、精确度不高；、精确度不高； 2、误差不能估计、误差不能估计. 设设函函数数)(xf在在含含有有 0 x的的开开区区间间),(ba内内具具有有直直到到 )1( n阶阶导导数数, ,)(xP为为多多项项式式函函数数 n nn xxaxxaxxaaxP)()()()( 0 2 02010 误误差差 )()()(xPxfxR nn 二二、 n P和和 n R的的确确定定 0 x )(xfy o x y 分析分析: )()( 00 xfxPn )()( 00 xfxPn )()( 00

33、 xfxPn 2.若有相同的切线若有相同的切线 3.若弯曲方向相同若弯曲方向相同 近似程度越来越好近似程度越来越好 1.若在若在 点相交点相交 0 x 假假设设 nkxfxP kk n , 2 , 1)()( 0 )( 0 )( ),( 00 xfa 代代入入)(xPn中中得得 n n n xx n xf xx xf xxxfxfxP )( ! )( )( ! 2 )( )()()( 0 0 )( 2 0 0 000 得得 ), 2 , 1 , 0()( ! 1 0 )( nkxf k a k k ),(1 01 xfa )(! 2 02 xfa ,)(! 0 )( xfan n n 三、泰勒

34、三、泰勒(Taylor)(Taylor)中值定理中值定理 泰泰勒勒( (T Ta ay yl lo or r) )中中值值定定理理 如如果果函函数数)(xf在在含含有有 0 x 的的某某个个开开区区间间),(ba内内具具有有直直到到)1( n阶阶的的导导数数, ,则则 当当x在在),(ba内内时时, , )(xf可可以以表表示示为为)( 0 xx 的的一一个个 n次次多多项项式式与与一一个个余余项项)(xRn之之和和: : )()( ! )( )( !2 )( )()()( 0 0 )( 2 0 0 000 xRxx n xf xx xf xxxfxfxf n n n 其其中中 1 0 )1(

35、 )( )!1( )( )( n n n xx n f xR ( ( 在 0 x与与x之之间间) ). . 证明证明: : 由由假假设设, ,)(xRn在在),(ba内内具具有有直直到到)1( n阶阶 导导数数, ,且且 两两函函数数)(xRn及及 1 0 )( n xx在在以以 0 x及及x为为端端点点的的 区区间间上上满满足足柯柯西西中中值值定定理理的的条条件件, ,得得 )( )(1( )( 01 01 1 之间之间与与在在xx xn R n n 0)( )()( )( )( 1 0 0 1 0 n nn n n xx xRxR xx xR 0)()()()( 0 )( 000 xRxR

36、xRxR n nnnn 如如此此下下去去, ,经经过过)1( n次次后后, ,得得 两两函函数数)(xRn 及及 n xxn)(1( 0 在在以以 0 x及及 1 为为端端点点 的的区区间间上上满满足足柯柯西西中中值值定定理理的的条条件件, ,得得 0)(1( )()( )(1( )( 01 01 01 1 n nn n n xn xRR xn R !1 )( )( )( )1( 1 0 n R xx xR n n n n ( (之之间间与与在在 n x 0 , ,也也在在 0 x与与x之之间间) ) )( )(1( )( 1021 02 2 之之间间与与在在 x xnn R n n n k

37、k k n xx k xf xP 0 0 0 )( )( ! )( )( 称称为为)(xf按按)( 0 xx 的的幂幂展展开开的的 n n 次次近近似似多多项项式式 n k n k k xRxx k xf xf 0 0 0 )( )()( ! )( )( 称称为为)(xf按按)( 0 xx 的的幂幂展展开开的的 n n 阶阶泰泰勒勒公公式式 )()( !1 )( )( 0 1 0 )1( 之间之间与与在在xxxx n f xR n n n 则由上式得则由上式得 , 0)( )1( xP n n )()( )1()1( xfxR nn n 拉格朗日形式的余项拉格朗日形式的余项 1 0 1 0 )

38、1( )( !1 )( !1 )( )( nn n n xx n M xx n f xR )()( ! )( )( 00 0 0 )( nk n k k xxoxx k xf xf )()( !1 )( )( 0 1 0 )1( 之间之间与与在在xxxx n f xR n n n 皮亚诺形式的余项皮亚诺形式的余项 0 )( )( lim 0 0 n n xx xx xR 及及 .)()( 0 n n xxoxR 即即 注意注意: : 1 1. . 当当0 n时时, ,泰泰勒勒公公式式变变成成拉拉氏氏中中值值公公式式 )()()()( 000 之间之间与与在在xxxxfxfxf 2.2.取取0

39、0 x, , 在在0与与x之间之间, ,令令)10( x 则余项则余项 1 )1( )!1( )( )( n n n x n xf xR )( ! )0( ! 2 )0( )0()0()( )( 2 n n n xO x n f x f xffxf ) 10( )!1( )( ! )0( ! 2 )0( )0()0()( 1 )1( )( 2 n n n n x n xf x n f x f xffxf 麦克劳林麦克劳林(Maclaurin)(Maclaurin)公式公式 例例 1 1 求求 x exf )(的的n阶阶麦麦克克劳劳林林公公式式. . 解解,)()()( )(xn exfxfxf

40、 1)0()0()0()0( )( n ffff xn exf )( )1( 注注意意到到 代入公式代入公式,得得 ).10( )!1(! 2 1 1 2 n xn x x n e n xx xe 由公式可知由公式可知 ! 2 1 2 n xx xe n x 估计误差估计误差)0( x设设 ! 1 ! 2 1 11, 1 n ex 取取 . )!1( 3 n 其误差其误差 )!1( n e Rn ).10( )!1()!1( )( 11 n x n x n x n e x n e xR 常用函数的麦克劳林公式常用函数的麦克劳林公式 )( )!12( )1( ! 5! 3 sin 22 1253

41、 n n n xo n xxx xx )( )!2( )1( ! 6! 4! 2 1cos 2 2642 n n n xo n xxxx x )( 1 )1( 32 )1ln( 1 132 n n n xo n xxx xx )(1 1 1 2nn xoxxx x )( ! )1()1( ! 2 )1( 1)1( 2 nn m xox n nmmm x mm mxx 例例 2 2 计算计算 4 0 3cos2 lim 2 x xe x x . . 解解)( ! 2 1 1 442 2 xoxxe x )( ! 4! 2 1cos 5 42 xo xx x )() ! 4 1 2 ! 2 1 (

42、3cos2 44 2 xoxxe x 4 44 0 )( 12 7 lim x xox x 原原式式. 12 7 xy xysin 播放播放 五、小结 1 1. .T Ta ay yl lo or r 公公式式在在近近似似计计算算中中的的应应用用; ; 播放播放 2 2. .T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近. . 思考题思考题 利用泰勒公式求极限利用泰勒公式求极限 3 0 )1(sin lim x xxxe x x 思思 考考 题题 解解 答答 )( ! 3! 2 1 3 32 xo xx xe x )( ! 3 sin 3 3 xo x xx 3 0

43、 )1(sin lim x xxxe x x 3 3 3 3 32 0 )1()( ! 3 )( ! 3! 2 1 lim x xxxo x xxo xx x x 3 3 33 0 )( ! 3! 2 lim x xo xx x . 3 1 一一、当当1 0 x时时，求求函函数数 x xf 1 )( 的的n阶阶泰泰勒勒公公式式 . . 二二、求求函函数数 x xexf )(的的n阶阶麦麦克克劳劳林林公公式式 . . 三三、验验证证 2 1 0 x时时，按按公公式式 62 1 32 xx xe x 计计算算 x e的的近近似似值值，可可产产生生的的误误差差小小于于 0 0. .0 01 1，并并

44、求求e的的 近近似似值值，使使误误差差小小于于 0 0. .0 01 1 . . 四四、应应用用三三阶阶泰泰勒勒公公式式求求3 30的 的近近似似值值，并并估估计计误误差差. . 五、五、 利用泰勒公式求极限：利用泰勒公式求极限： 1 1、 x ex x x 4 2 0 sin cos lim 2 ； 2 2、) 1 1ln(lim 2 x xx x . . 练练 习习 题题 一、一、)1()1()1(1 1 2n xxx x )1 , 0( )1(1 )1( )1( 2 1 1 n n n x x . . 二、二、 )!1(! 2 3 2 n xx xxxe n x )10(,)1( )!1

45、( 1 1 nx xexn n . . 三、三、 645. 1 e . . 四、四、 5 3 3 1088. 1,10724. 330 R . . 五、五、1 1、 12 1 . 2. 2、 2 1 . . 练习题答案练习题答案 xy xysin 五、小结 1 1. .T Ta ay yl lo or r 公公式式在在近近似似计计算算中中的的应应用用; ; xy xysin ! 3 3 x xy o 五、小结 1 1. .T Ta ay yl lo or r 公公式式在在近近似似计计算算中中的的应应用用; ; xy xysin ! 3 3 x xy o ! 5! 3 53 xx xy 五、小结

46、 1 1. .T Ta ay yl lo or r 公公式式在在近近似似计计算算中中的的应应用用; ; xy xysin ! 3 3 x xy ! 5! 3 53 xx xy !7! 5! 3 753 xxx xy o 五、小结 1 1. .T Ta ay yl lo or r 公公式式在在近近似似计计算算中中的的应应用用; ; xysin !11! 9!7! 5! 3 119753 xxxxx xy o 五、小结 1 1. .T Ta ay yl lo or r 公公式式在在近近似似计计算算中中的的应应用用; ; 2 2. .T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近

47、局部逼近. . 2 2. .T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近. . 2 2. .T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近. . 2 2. .T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近. . 2 2. .T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近. . 2 2. .T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近. . 2 2. .T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近. . 2 2. .T Ta

48、yloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近. . 2 2. .T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近. . 2 2. .T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近. . 2 2. .T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近. . 2 2. .T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近. . 2 2. .T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近. . 2 2. .T Tayloraylor 公式的数学思想公

49、式的数学思想-局部逼近局部逼近. . 2 2. .T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近. . 2 2. .T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近. . 第四节第四节 函数单调性的判定法函数单调性的判定法 一、单调性的判别法一、单调性的判别法 二、单调区间求法二、单调区间求法 三、小结三、小结 思考题思考题 x y o )(xfy x y o )(xfy a b A B 0)( x f0)( x f 定理定理 .,)( 0)(),()2(, )(0)(),(1. ),(,)( 上上单单调调减减少少在在那那末末函函数数 ，内

50、内如如果果在在上上单单调调增增加加；在在 ，那那末末函函数数内内如如果果在在）（导导 内内可可上上连连续续，在在在在设设函函数数 baxfy xfbaba xfyxfba babaxfy a b B A 证证),(, 21 baxx , 21 xx 且且应用拉氏定理应用拉氏定理,得得 )()()()( 211212 xxxxfxfxf , 0 12 xx , 0)(),( x fba内，内，若在若在, 0)( f则则 ).()( 12 xfxf .,)(上上单单调调增增加加在在baxfy , 0)(),( x fba内，内，若在若在, 0)( f则则 ).()( 12 xfxf .,)(上单调

51、减少上单调减少在在baxfy 例例1 1 解解 .1的单调性的单调性讨论函数讨论函数 xey x . 1 x ey ,)0 ,(内内在在 , 0 y 函数单调减少；函数单调减少； ,), 0(内内在在, 0 y .函函数数单单调调增增加加 注意注意: :函数的单调性是一个区间上的性质，要用函数的单调性是一个区间上的性质，要用 导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一 点处的导数符号来判别一个区间上的单调性点处的导数符号来判别一个区间上的单调性 ).,(: D又又 问题问题: :如上例，函数在定义区间上不是单调的，如上例，函数在定义区间上不是单调的， 但在

52、各个部分区间上单调但在各个部分区间上单调 定义定义: :若函数在其定义域的某个区间内是单调若函数在其定义域的某个区间内是单调 的，则该区间称为函数的的，则该区间称为函数的单调区间单调区间. 导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间 的分界点的分界点 方法方法: : . ,)( )(0)( 数数的的符符号号 然然后后判判断断区区间间内内导导的的定定义义区区间间来来划划分分函函数数 不不存存在在的的点点的的根根及及用用方方程程 xf xfxf 例例2 2 解解 .312 92)( 23 的的单单调调区区间间 确确定定函函数数 x xxxf ).,(: D 1

53、2186)( 2 xxxf)2)(1(6 xx 得得，解解方方程程0)( x f . 2, 1 21 xx 时时，当当1 x, 0)( x f上单调增加；上单调增加；在在1 ,( 时时，当当21 x, 0)( x f 上单调减少；上单调减少；在在2 , 1 时，时，当当 x2, 0)( x f 上单调增加；上单调增加；在在), 2 单调区间为单调区间为，1 ,(，2 , 1)., 2 例例3 3 解解 .)( 32 的单调区间的单调区间确定函数确定函数xxf ).,(: D )0(, 3 2 )( 3 x x xf .,0导数不存在导数不存在时时当当 x 时时，当当0 x , 0)( x f上

54、单调增加；上单调增加；在在), 0 时，时，当当 x0 , 0)( x f上单调减少；上单调减少；在在0 ,( 单调区间为单调区间为，0 ,()., 0 32 xy 例例4 4 证证 .)1ln(,0成成立立试试证证时时当当xxx ),1ln()(xxxf 设设. 1 )( x x xf 则则 , 0)(), 0(,), 0)( xfxf可可导导，且且上上连连续续在在 上单调增加；上单调增加；在在), 0 , 0)0( f 时，时，当当0 x , 0)1ln( xx ).1ln(xx 即即 注意注意:区间内个别点导数为零区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性不影响区间的单调性. 例如例如,

55、3 xy , 0 0 x y.),(上单调增加上单调增加但在但在 单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用. 定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论 仍然成立仍然成立. 应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实 根的个数和证明不等式根的个数和证明不等式. 思考题思考题 若若0)0( f，是是否否能能断断定定)(xf在在原原点点的的 充充分分小小的的邻邻域域内内单单调调递递增增？ 思考题解答思考题解答 不能断定不能断定.例例 0, 0 0, 1 sin2 )( 2 x x x

56、 xx xf )0(f) 1 sin21(lim 0 x x x 01 但但0, 1 cos2 1 sin41)( x xx xxf ) 2 1 2( 1 k x当当 时，时， 0 ) 2 1 2( 4 1)( k xf k x 2 1 当当 时，时，01)( x f 注意注意 可以任意大，故在可以任意大，故在 点的任何邻点的任何邻 域内，域内， 都不单调递增都不单调递增 k0 0 x )(xf -0.1-0.050.050.1 -0.075 -0.05 -0.025 0.025 0.05 0.075 一一、 填填空空题题： 1 1、 函函数数71862 23 xxxy单单调调区区间间为为_

57、_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 2 2、 函函数数 2 1 2 x x y 在在区区间间 - -1 1, ,1 1 上上单单调调_ _ _ _ _ _ _ _ _， 在在_ _ _ _ _ _ _ _ _ _上上单单调调减减. . 3 3、函函数数 22 ln xxy 的的单单调调区区间间为为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _， 单单减减区区间间为为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 二二、 确确定定下下列列函函数数的的单单调调区区间间： 1 1、 xxx y 694 10 23 ； 2 2

58、、 3 2 )(2(xaaxy ( (0 a) )； 3 3、 xxy2sin . . 练练 习习 题题 三、三、 证明下列不等式：证明下列不等式： 1 1、 当当0 x时，时， 22 1)1ln(1xxxx ； 2 2、 当当4 x时，时， 2 2x x ； 3 3、 若若0 x，则，则 3 6 1 sinxxx . . 四、四、 方程方程)0(ln aaxx有几个实根有几个实根. . 五、五、 设设 )(xf 在在 ba, 上连续，在上连续，在( (ba,) )内内)(x f , ,试证试证 明：对于明：对于 ba, 上任意两上任意两 1 x ， 2 x 有有 2 )()( ) 2 ( 2

59、121 xfxfxx f 提示：方法提示：方法（1 1） 0)( x f，)(x f 单增；方法单增；方法（2 2）0)( x f， 利用泰勒公式利用泰勒公式 一、一、1 1、), 3,1,( 单调增加单调增加, ,3 , 1 单调减少；单调减少； 2 2、增加、增加, ,), 1 ,1,( 3 3、1,( , ,), 1 ；1 , 0(,1,(;1 , 0(),0 , 1 . . 二、二、1 1、在、在), 1, 2 1 , 0(),0 ,( 内单调减少内单调减少, , 在在1 , 2 1 上单调增加；上单调增加； 2 2、在、在 ), 3 2 ,( aa 内单调增加内单调增加, , 在在

60、, 3 2 aa 上单调减少；上单调减少； 练习题答案练习题答案 3 3、在、在 32 , 2 kk 上单调增加上单调增加, , 在在 22 , 32 kk 上单调减少上单调减少, ,), 2, 1, 0( k. . 四、四、(1)(1) e a 1 时没有实根；时没有实根； (2)(2) e a 1 0 时有两个实根；时有两个实根； (3)(3) e a 1 时只有时只有ex 一个实根一个实根. . 第五节第五节 函数极值及其求法函数极值及其求法 一、函数极值的定义一、函数极值的定义 二、函数极值的求法二、函数极值的求法 三、小结三、小结 思考题思考题 ox y a b )(xfy 1 x