别有滋味儿的“夹生饭”

1、别有滋味儿的“夹生饭”以“鸡兔同笼问题”为例顾亚龙【专题名称】小学数学教与学【专题号】G392【复印期号】2012年02期【原文出处】小学数学教师（沪）2011年10期第4957页【作者简介】顾亚龙，上海市徐汇区教师进修学院“鸡兔同笼问题”是我国古代的一道数学名题，在上海教材中被安排在四年级下学期，但在二年级学“列表枚举法”时 学生已初步接触过这个问题，有的三年级学生在外面补课时已经会套用“假设法”的解题模式，有的则从家长那里学会了用方程 解答.有趣的是，数据较小时，一年级学生用“画图法”也能解决这种问题.这就是四年级学生关于“鸡兔同笼问题”的“数学现实”一一一锅不折不扣的“夹生饭”.笔者尝试

2、以“课程实施三放三收”的策略引导学生走进他们“生活中的数学”，一起来烧烧这锅“夹生饭”.一、一放一收：呈现“原生态1. 重心下移：呈现“原生态上课伊始，老师出示了一只陶瓷储蓄罐，轻轻一摇，里面的硬币哗哗作响.师：储蓄罐里有2分硬币和5分硬币共8枚，每种硬币各几枚？ （ PPT呈现）生这道题有好几种可能，好象缺少条件.师要补上什么条件？生要知道储蓄罐里一共有多少钱.师好的，现在补上“一共有3角4分钱，能做吗？（学生有的沉思，有的动笔写写算算，有的则一脸茫然.）师：这类问题，早在1500年前，我们的老祖宗在一本叫孙子算经的书中就有专门的记载.这就是我们今天要研究的古代数学名题：鸡兔同笼问题 .PP

3、T出示：今有鸡兔同笼，上有 8头，下有22足.鸡有几只？兔有几只？（学生似乎被点醒，有的若有所思，有的若有所悟，有的则依然沉默.）【设计意图：储蓄罐里的“硬币问题”学生也许陌生，但这只是一个悬念，一个引子；而似曾相识的古代名题对部分学生则是某种点拨与唤醒，能初步激活部分学生的学习经验，找到思考问题的起点.】2.重心下移：让“差异”成为资源师脚为什么比头多呀？生因为一只鸡有 2只脚，一只兔有 4只脚.师鸡和兔的只数都是未知的 .想一想，怎么办？有困难的也可以同桌商量商量，再动笔试试看巡视发现，有以下几种具有代表性的解法（1）有的学生通过列表枚举，找到了答案兔的只数0S8 x 2=161772+1

4、 X4=lft266x 2+23S5x2+34=22 V442+4（2）也有学生列出了算式：（22-8X2）*（ 4-2 ） =3 （只），8-3=5 （只）师：你是怎样想的？生：假设8只全部是鸡，应该是16条腿，比题目里告诉我们的少了6条，每少2条腿，说明有一只兔被当成了鸡（能说得清道理的只是数学上的少数尖子，不少学生还是半懂不懂的.）师：其实，这道题一年级的小朋友们也会做，他们用的是“画图的方法”.（PPT动态演示画图的过程.）谁能说说一年级同学是怎么想的？（原本半懂不懂的学生从直观的画图过程中明白了算理）生：一年级同学也是先假设 8只全部是鸡，画上16条腿，再把多出来的 6条腿添给三只鸡

5、，就变成了三只兔 .师比较一下，你有什么发现？生方法不同，但结果都是5只鸡和3只兔.生都用到了假设法.师你更喜欢哪种方法？生我喜欢“图画法”，比算式好懂，列表比较麻烦生但“图画法”也有麻烦的时候，如果是800只脚呢？还是假设法比较好 .【设计意图：“声一无听，色一无文，味一无果，物一无讲 国语郑语.如同植物的多样性能让杂花生树一样，在课堂教学中，让学生原生态地呈现的各种方法成为一种教育资源，这些方法相互验证，相互启迪，往往能进一步激活孩子 们的思维.】3.重心下移：聚焦困惑，突破难点师：明明假设的是鸡，怎么求出来的却是兔呢？（学生一时难以回答，片刻沉静后，学生从PPT上的画图法中找到了解释）生

6、：因为，假设全是鸡，少算的6条腿都是“兔腿”.生：把少算的6条兔腿换回去，就变成了兔子 .所以，假设全是鸡，求出来的是兔子.生：反过来，如果假设全是兔，求出来的是鸡【设计意图：为什么明明假设的是鸡，求出来的却是兔子？这历来是不少学生在理解上的一大困惑.所以，贴近学生理解上的这个难点，聚焦并放大这个环节，让学生不仅知其然，也知其所以然，从而切实突破难点.】二、二放二收：激活“创生态 1.关口前移：激活“创生态”师：上面提到的几种方法都是我们现代人的解法，我们的老祖宗又是怎么解决这个问题的呢？PPT出示古人的解法：脚数*2-头数=兔数，头数-兔数=鸡数.师：古人的方法对不对呢？大家不妨用古人的方法

7、验证一下上面这道题.生（兴奋地）：对的，对的，也是5只鸡，3只兔.比我们的假设法方便多了 .师：但古人是怎样想的呢？能不能发个短信或打个电话去问问？（生皆笑）生：老师，我在一本书上看到古人用的是“抬足法”.就是让所有的鸡都抬起一条腿一一“金鸡独立，让所有的兔子 都抬起前腿一一“玉兔拜月”.这样，腿的总数就除以 2.那么，每只鸡都是一条腿，每只兔都有两条腿，这时，脚数比头数多 的，就是兔的只数.：师：你的知识很渊博，解释得也很清楚，很精彩（古人的解法，一石激起千层浪）生：老师，如果让鸡的两只翅膀着地，把鸡变成4条腿的“怪鸡，那么（8X4 -22 ）*（ 4-2 ） =5是兔的只数，8-5=3是鸡

8、的只数.师：你为“假设全是兔”找到了一个生动形象的解释生：老师，如果只让所有的兔子前腿抬起来，就可以把所有的兔子都变成2条腿的“怪兔”.那么（22-8X2）*（ 42 ） =3是鸡的只数，8-3=5是兔的只数.师：这又是一个很妙的解释 .【设计意图：古人的“抬足法”犹如催化剂，催生出两翅着地的“怪鸡”和前肢举着的“怪兔”.学生的思维一旦被充分激活，任何奇思妙想都不会是一种意外.】2. 关口前移：感受数学文化的魅力师：你们见过把鸡和兔关在同一个笼子里的吗？生：没有.（笑）师：即便是鸡和兔关在同一个笼子里，直接数一下各自的头不就行了嘛，谁还会趴下去数脚呢？（生皆笑着摇头）那为 什么从古到今，人们一

9、直在研究这个问题呢？换句话说，“鸡兔同笼问题”到底有什么魅力呢？（学生皆若有所思）师：不仅我们中国人研究“鸡兔同笼”问题，日本人也研究这个问题，在日本叫“龟鹤同游问题”.PPT出示：龟鹤同游，数头 40，数脚112.龟鹤各几只？问：“龟鹤同游”与“鸡兔同笼”有关系吗？生：有关系.龟相当于4只脚的兔子，鹤相当于 2只脚的鸡.师：也就是说“鸡兔同笼问题”不一定只指鸡和兔.那你们能不能给它重新取个名字？生：可以叫“鸭兔同笼问题”.生：可以叫“鹅羊同笼问题”.师：可以改成“兔狗同笼问题”问题吗？生：不可以，因为，兔狗都是4条腿.生：“鸡兔同笼问题”不一定是指鸡和兔，而是指这一类问题师：哪一类问题呢？生

10、：指分别有2条腿和4条腿的动物，知道共有几只头和几条脚，求两种动物各几只师：你们能解一下日本的“鸡兔同笼问题”吗？一部分学生的列式为：（112-40X2）*（ 4-2 ） =16 （只）（兔），40-16=24 （只）（鸡）；但多数学生用的 是古人提出的方法：112*2 -40=16 （只）（兔），40-16=24 （只）（鸡）.【设计意图：教者适时引入日本的“龟鹤同游”问题，并引导学生给“鸡兔同笼问题”重新取名字，进而追问，可否改 成“兔狗同笼问题，从而让学生逐步触及“鸡兔同笼问题”的数学实质.】三、三放三收：建构一般性方法模型1.重心上移：学生在哪里师：现在，我们可以来解决前面“储蓄罐”里

11、的硬币问题了一一储蓄罐中有2分和5分的两种硬币共8枚，一共3角4分.两种硬币各几枚？部分学生用的是假设法，多数学生都直接套用古人的模式：34*2 -8=9 ;但马上发现：5分硬币竟然比两种硬币的总数 8枚还要多，这显然是不可能的.师：古人的方法怎么就不灵了呢？在当今这个资讯高度发达的时代，以往有些所谓的“知识”正在逐步演变为“信息”，甚至是“常识”；因此，老师们 觉得现在越来越难以“搭准学生的脉”.这直接导致了当下课堂教学中的“夹生饭”现象，使得课堂上单向度的“师授生受”关 系越来越难以为继，也让习惯于围绕教案上课，习惯于课程实施“线性思维”的老师们，感到自己在课堂上的主导地位和话语权受到挑战

12、.这不仅考验着老师们的实践智慧，甚至拷问着我们曾经得心应手的某些教学模式首先，课堂教学中的“夹生饭”现象是社会进步特别是科技发展的必然产物，这也是新课程所倡导的“学生活中的数 学”的题中之意，这种活生生的“大数学课程”，需要我们具有相应的“大数学教学观”.这就要求我们与时俱进，不断更新自己的“课程观，教学观”，虽然有时候是一种“被更新”.其次，我们要调适某些程式化的课堂教学模式.孩子们都是带着他们已有的、参差不齐的、甚至是片面的知识经验和生活阅历来学习的.对此，无法回避，更不应“提防”.尊重和正视学生已有的生活经验和认知起点，对于学生已经有所了解的东 西，不应该“装聋作哑”或“视而不见”，而是要悉心揣摩并“用活用足”这些资源.在课堂教学具体进程的不同阶段，学生的理解也动态地处于不同层次，因此，我们要适时提醒并追问自己：学生在哪里？在本案例中，教师通过“三放三收”，即“重心 下移”