2.2.2反证法（经典实用）

1、2.2.2反证法 2.2.2反证法 直接证明：直接证明： (1)综合法综合法 (2)分析法分析法 由因导果由因导果 执果索因执果索因 1 1 Q QP P 2 23 3 P PP P 1 12 2 P PP P 得到一个明显得到一个明显 成立的结论成立的结论 P Q1Q1 Q2Q2 Q3Qn Q 2.2.2反证法 思考？思考？ A A、B B、C C三个人，三个人，A A说说B B撒谎，撒谎，B B说说C C撒谎，撒谎， C C说说A A、B B都撒谎。则都撒谎。则C C必定是在撒谎，为必定是在撒谎，为 什么？什么？ 分析分析: :假设假设C C没有撒谎没有撒谎, , 则则C C真真. 那么那

2、么A A假且假且B B假假; ; 由由A A假假, , 知知B B真真. . 这与这与B B假矛盾假矛盾. . 那么假设那么假设C C没有撒谎不成立没有撒谎不成立; ; 则则C C必定是在撒谎必定是在撒谎. . 2.2.2反证法 将将9 9个球分别染成红色或白色。那么个球分别染成红色或白色。那么 无论怎样染，至少有无论怎样染，至少有5 5个球是同色的。你个球是同色的。你 能证明这个结论吗？能证明这个结论吗？ 间接证明：间接证明： 不是直接从原命题的条件逐步不是直接从原命题的条件逐步 推得命题成立的证明方法。推得命题成立的证明方法。 反证法反证法是一种常用的是一种常用的间接证明间接证明的方法。的

3、方法。 思考？思考？ 2.2.2反证法 反证法：反证法： 假设命题结论的反面成立，经过正确的假设命题结论的反面成立，经过正确的 推理推理, ,引出矛盾，因此说明假设错误引出矛盾，因此说明假设错误, ,从而从而 证明原命题成立证明原命题成立, ,这样的的证明方法叫反这样的的证明方法叫反 证法。证法。 反证法的思维方法：反证法的思维方法： 正难则反正难则反 应用反证法的情形：应用反证法的情形： (1)(1)直接证明困难直接证明困难; ; (2) (2)需分成很多类进行讨论需分成很多类进行讨论 （3)3)结论为结论为“至少至少”、“至多至多”、“有无穷有无穷 多个多个” -类命题；类命题； （4 4

4、）结论为）结论为 “唯一唯一”类命题；类命题； 正难则反正难则反! 一般地，假设原命题不成立，一般地，假设原命题不成立， 经过正确经过正确 的推理，的推理，最后得出矛盾。最后得出矛盾。 因此说明假设错因此说明假设错 误，从而证明了原命题成立，误，从而证明了原命题成立， 这样的证明这样的证明 方法叫做方法叫做反证法反证法（归谬法）。（归谬法）。 其过程包括：其过程包括： 反设反设假设命题的结论不成立；假设命题的结论不成立； 存真存真由矛盾结果，断定反设不真，从由矛盾结果，断定反设不真，从 而肯定原结论成立。而肯定原结论成立。 归谬归谬从假设出发，经过一系列正确的从假设出发，经过一系列正确的 推理

5、，得出推理，得出矛盾矛盾； 归缪矛盾：归缪矛盾： （1 1）与已知条件矛盾；）与已知条件矛盾； （2 2）与已有公理、定理、定义矛盾；）与已有公理、定理、定义矛盾； （3 3）自相矛盾。）自相矛盾。 2.2.2反证法 常见否定用语常见否定用语 是是不是不是 有有没有没有 等等不等不等 成立成立不成立不成立 都是都是不都是，即至少有一个不是不都是，即至少有一个不是 都有都有不都有，即至少有一个没有不都有，即至少有一个没有 都不是都不是部分或全部是，即至少有一个是部分或全部是，即至少有一个是 唯一唯一至少有两个至少有两个 至少有一个有（是）至少有一个有（是）全部没有（不是）全部没有（不是） 至少有

6、一个不至少有一个不全部都全部都 例例1 1 已知已知a0a0，证明，证明x x的方程的方程ax=bax=b 有且只有一个根。有且只有一个根。 1 12 21 12 2 不不妨妨设设其其中中的的两两根根分分别别为为x x ，x x 且且x x x x a b xa根，因此方程至少有一个证：由于0 至少存在两个根假设方程)0(0abax 2.2.2反证法 用反证法证明：圆的两条不是直径用反证法证明：圆的两条不是直径 的相交弦不能互相平分。的相交弦不能互相平分。 已知已知：如图，在：如图，在 O中，弦中，弦AB、 CD交于点交于点P，且，且AB、CD不是直径不是直径. 求证：求证：弦弦AB、CD不被

7、不被P平分平分. 例例 2 2 证明：证明：假设弦假设弦AB、CD被被P平分平分， 连结连结 AD、BD、BC、AC, D P O B A C 因为弦因为弦AB、CD被被P点平分，所以四边形点平分，所以四边形ACBD是平行四边形是平行四边形 所以所以 CBDCADADBACB, 因为因为 ABCD为圆内接四边形为圆内接四边形 所以所以 180,180CBDCADADBACB 因此因此 90,90CADACB 所以，对角线所以，对角线AB、CD均为直径，均为直径， 这与已知条件矛盾，即假设不成立这与已知条件矛盾，即假设不成立 所以，弦所以，弦AB、CD不被不被P平分。平分。 2.2.2反证法 用

8、反证法证明：圆的两条不是直径用反证法证明：圆的两条不是直径 的相交弦不能互相平分。的相交弦不能互相平分。 已知已知：如图，在：如图，在 O中，弦中，弦AB、 CD交于点交于点P，且，且AB、CD不是直径不是直径. 求证：求证：弦弦AB、CD不被不被P平分平分. P O B A D C 例例 2 2 由于由于P点一定不是圆心点一定不是圆心O，连结，连结OP， 根据垂径定理的推论，有根据垂径定理的推论，有 所以，弦所以，弦AB、CD不被不被P平分。平分。 证明：证明：假设弦 假设弦AB、CD被被P平分，平分， 即过点即过点P有两条直线与有两条直线与OP都垂直，都垂直， 这与垂线性质矛盾，即假设不成

9、立这与垂线性质矛盾，即假设不成立 证法二证法二 OPAB，OPCD， 2.2.2反证法 演练反馈演练反馈 证明：假设以任意三个点为顶点的三角形都是锐角三角形。记四个 点为A、B、C、D。考虑点D在 之内或之外两种情况。ABC (1)如果点D在 之内，根据假设，ABC D A B C BDCADBADC, 都为锐角三角形 所以 270BDCADBADC 这与一个周角为这与一个周角为360矛盾。矛盾。 2.2.2反证法 演练反馈演练反馈 (1)如果点D在 之外，根据假设，ABC AD B C BCDBADADCABC, 都是锐角三角形，即 360ADCBCDABCBAD 这与四边形内角和矛盾。这与

10、四边形内角和矛盾。 所以，综上所述，假设不成立，从而题目结论成立所以，综上所述，假设不成立，从而题目结论成立。 即这些三角形不可能都为锐角三角形。即这些三角形不可能都为锐角三角形。 2.2.2反证法 总结提炼总结提炼 1 1.用反证法证明命题的一般步骤是什么用反证法证明命题的一般步骤是什么? 用反证法在归谬中所导出的矛盾可以用反证法在归谬中所导出的矛盾可以 是与题设矛盾是与题设矛盾,与假设矛盾与假设矛盾,与已知定义、与已知定义、 公理、定理矛盾，自相矛盾等公理、定理矛盾，自相矛盾等 反设反设 归谬归谬 结论结论 2.用反证法证题用反证法证题,矛盾的主要类型有哪些矛盾的主要类型有哪些? 2.2.

11、2反证法 推理推理 合情推理合情推理 演绎推理演绎推理 （归纳、类比）（归纳、类比） （三段论）（三段论） 证明证明 直接证明直接证明 间接证明间接证明 （分析法、综合法）（分析法、综合法） （反证法）（反证法） 数学数学公理化思想公理化思想 ？是等差数列吗？为什么）数列（ 不是等比数列）求证：数列（ 项和，是它的前 的等比数列，是公比为、设 2 1 2 n n n n S S nS qa 演练反馈演练反馈 2.2.2反证法 2.2.2反证法 例例1 1：用反证法证明：用反证法证明： 如果如果ab0ab0，那么，那么 a a b b 证证：假假设设 a a b b不不成成立立，则则 a a b

12、 b 若若 a a = =b b，则则a a = = b b, ,与与已已知知a a b b矛矛盾盾, , 若 a b，则a b,若 a b，则a b b矛矛盾盾, , 故故假假设设不不成成立立，结结论论 a a b b成成立立。 2.2.2反证法 例例4 4 求证：求证： 是无理数。是无理数。 2 2 证：假设 2是有理数，证：假设 2是有理数， m m 则则存存在在互互质质的的整整数数m m，n n使使得得2 2 = =， n n m m = =2 2n n 2 22 2 m m= = 2 2n n 2 2 m m 是是偶偶数数，从从而而m m必必是是偶偶数数，故故设设m m= =2 2k

13、 k（k kN N） 2 22 22 22 2 从从而而有有4 4k k = = 2 2n n ，即即n n = = 2 2k k 2 2 n n 也也是是偶偶数数， 这这与与m m，n n互互质质矛矛盾盾！ 所以假设不成立，2是有理数成立。所以假设不成立，2是有理数成立。 2.2.2反证法 1 12 21 12 2 2 22 2 1 11 12 22 2 1 1: :若若p p p p = = 2 2( (q q + +q q ) ), ,证证明明: :关关于于x x的的方方程程 x x + +p p x x+ +q q = = 0 0与与x x + +p p x x+ +q q = = 0

14、 0中中至至少少有有一一 个个有有实实根根. . 2 2 2 22 2 2 2: :若若a a, ,b b, ,c c均均为为实实数数, ,且且a a = = x x - -2 2y y+ +, , 2 2 b b = = y y - -2 2z z+ +, ,c c = = z z - -2 2x x+ +, , 3 36 6 求求证证: :a a, ,b b, ,c c中中至至少少有有一一个个大大于于0 0. . 作业作业 2.2.2反证法 思考？思考？ A A、B B、C C三个人，三个人，A A说说B B撒谎，撒谎，B B说说 C C撒谎，撒谎，C C说说A A、B B都撒谎。则都撒谎

15、。则C C必定必定 是在撒谎，为什么？是在撒谎，为什么？ 分析分析:假设假设C没有撒谎没有撒谎, 则则C真真. - - - -那么那么A假且假且B假假; 由由A A假假, , 知知B B真真. . 这与这与B B假矛盾假矛盾. . 那么那么假设假设C C没有撒谎不成立没有撒谎不成立; ; 则则C C必定是在撒谎必定是在撒谎. . 2.2.2反证法 思考题思考题: :甲、乙、丙三箱共有小球甲、乙、丙三箱共有小球384384个个, ,先先 由甲箱取出若干放进乙、丙两箱内由甲箱取出若干放进乙、丙两箱内, ,所放个所放个 数分别为乙、丙箱内原有个数数分别为乙、丙箱内原有个数, ,继而由乙箱继而由乙箱 取出若干个球放进甲、丙两箱内取