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文档简介

1、三垂线定理及其逆定理知识点：1. 三垂线定理；2. 三垂线定理的逆定理；3. 综合应用；教学过程：1. 三垂线定理：平面内一条直线，如果和这个平面的一条斜线在平面内的射影垂直，那么这 条直线就和这条斜线垂直；已知：PAPO分别是平面 的垂线和斜线，AO是PO在平面 的射影， 丄AOo求证：丄P0 证明:说明：（1）线射垂直（平面问题）2）证明线线垂直的方法:3）三垂线定理描述的是P0 （斜线）.A0 （射影）.a （直线）之间的垂直关系。4）直线与PO可以相交，也可以异面。5）三垂线定理的实质是平面的一条斜线和平面内的一条直线垂直的判定定理。例1 已知P是平面ABC外一点，PA丄ABC. AC

2、丄BC。求证：PC丄BC三垂线定理和逆定理第1贞共4贞例2已知PA丄正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点。求证：PO丄BD.PC丄BQ。三垂线定理和逆定理第2贞共4贞例4在正方体AC中，求证：AC丄BD.AC丄BC :2. 写出三垂线定理的逆命题，并证明它的正确性；命题：已知: 求证：证明：说明:例2 在空间四边形ABCD中，设A3丄CD AC丄BD。求证：(1) AD1. BC；(2)点A在底面BCD上的射影是BCD的垂心；三垂线定理和逆定理第3贞共4贞例3求证:如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在 这个角的平分线上已知：求证：说明：可以作为定理来用

3、。 例5.已知：Rt佔C中，= PA是面 43C的斜线，PAB= PAc= o 23求PA与面ABC所成的角的大小；当PA的长度等于多少的时候，点F在平面ABC内的射影恰好落在边BC；三垂线定理和逆定理第4贞共4贞作业：1. 正方体ABCD -AiBiCiDi , E、F分别是Al4, AB上的点，ECi丄EF求证：EF丄EB。2. 已知：PA丄平面PBC , PB = PC, M 是BC的中点。求证：BC丄AM ；3. 填空并证明：(1) 在四面体ABCD中，对棱互相垂直，则A在底面BCD上的射影是底 面BCD的心。(2) 在四面体ABCD中，AB、AC、AD互相垂直，则A在底面BCD上 的

4、射影是底面BCD的心(3)在四面体ABCD4 AB=AC=AD,则A在底面BCD上的射影是底面BCD的 心。4)在四面体中，顶点A到BC、CD、DB的距离相等，则A在底面BCD上的射影是底 面BCD的 心。4.正方体ABCDA B C D中棱长“，点P在AC上，Q在BG上，AP=BQ = a,(1)求直线PQ与平面ABCD所成角的正切值；(2)求证：PQ丄AD.5. 在正方体ABCDACiDi中，设E是棱AA上的点，且AiE:EA= 1:2 , F是棱AB上的 点，CEF= o 求 AF： FBo6. 点P是 ABC所在平面外一点，且PA丄平面ABCo若0和Q分别是AABC和APBC的垂心，试证：0Q丄平面PBCo7.已知

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