数学教学论资料

1、数学教学论期末作业学号： 120414127姓名：赵志鹏班级： 12 级应用（ 1）班函数概念发展的历史过程1 1 早期函数概念几何观念下的函数十七世纪伽俐略(G Galileo ，意， 1564 1642) 在两门新科学一书中，几乎从头到尾包含着函数或称为变量的关系这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系。1673 年前后笛卡尔(Descartes，法，1596 1650) 在他的解析几何中，已经注意到了一个变量对于另一个变量的依赖关系，但由于当时尚未意识到需要提炼一般的函数概念，因此直到17 世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分的时候，数学家还没有明确函数的一般意义，绝大部分函数是被当作曲线

2、来研究的。1 2 十八世纪函数概念代数观念下的函数1718 年约翰 贝努利 (BernoulliJohann，瑞，1667 1748) 才在莱布尼兹函数概念的基础上，对函数概念进行了明确定义：由任一变量和常数的任一形式所构成的量，贝努利把变量x和常量按任何方式构成的量叫“x的函数 ”，表示为， 其在函数概念中所说的任一形式，包括代数式子和超越式子。18 世纪中叶欧拉 (L Euler ，瑞， 1707 1783) 就给出了非常形象的，一直沿用至今的函数符号。欧拉给出的定义是：一个变量的函数是由这个变量和一些数即常数以任何方式组成的解析表达式。他把约翰 贝努利给出的函数定义称为解析函数，并进一步

3、把它区分为代数函数（只有自变量间的代数运算）和超越函数（三角函数、对数函数以及变量的无理数幂所表示的函数） ，还考虑了 “随意函数 ”（表示任意画出曲线的函数），不难看出，欧拉给出的函数定义比约翰贝努利的定义更普遍、更具有广泛意义。1 3 十九世纪函数概念对应关系下的函数1822 年傅里叶 (Fourier ，法， 1768 1830) 发现某些函数可用曲线表示，也可用一个式子表示，或用多个式子表示，从而结束了函数概念是否以唯一一个式子表示的争论，把对函数的认识又推进了一个新的层次。1823年柯西 (Cauchy ，法， 1789 1857) 从定义变量开始给出了函数的定义，同时指出，虽然无穷

4、级数是规定函数的一种有效方法，但是对函数来说不一定要有解析表达式，不过他仍然认为函数关系可以用多个解析式来表示，这是一个很大的局限，突破这一局限的是杰出数学家狄利克雷。1837年狄利克雷(Dirichlet，德，1805 1859) 认为怎样去建立x 与y 之间的关系无关紧要，他拓广了函数概念，指出：“对于在某区间上的每一个确定的x 值， y都有一个或多个确定的值， 那么 y 叫做 x 的函数。 ”狄利克雷的函数定义，出色地避免了以往函数定义中所有的关于依赖关系的描述，简明精确，以完全清晰的方式为所有数学家无条件地接受。至此，我们已可以说，函数概念、函数的本质定义已经形成，这就是人们常说的经典

5、函数定义。等到康托尔 (Cantor ，德， 1845 1918) 创立的集合论在数学中占有重要地位之后，维布伦 (Veblen ，美， 1880 1960) 用 “集合 ”和 “对应 ”的概念给出了近代函数定义，通过集合概念，把函数的对应关系、定义域及值域进一步具体化了，且打破了量可以是数，也可以是其它对象（点、线、面、体、向量、矩阵等）“变量是数 ”的极限，变。1 4 现代函数概念集合论下的函数1914 年豪斯道夫 (FHausdorff) 在集合论纲要中用“序偶 ”来定义函数。其优点是避开了意义不明确的“变量 ”、“对应 ”概念，其不足之处是又引入了不明确的概念“序偶 ”。库拉托夫斯基

6、(Kuratowski) 于 1921 年用集合概念来定义“序偶 ”，即序偶 (a ，b) 为集合 a ，b ，这样，就使豪斯道夫的定义很严谨了。1930 年新的现代函数定义为，若对集合M 的任意元素 x，总有集合N 确定的元素y 与之对应， 则称在集合M 上定义一个函数， 记为 y=f(x) 。元素 x 称为自变元，元素y 称为因变元。函数概念的定义经过三百多年的锤炼、变革，形成了函数的现代定义形式，但这并不意味着函数概念发展的历史终结，20 世纪 40 年代，物理学研究的需要发现了一种叫做Dirac 函数，它只在一点处不为零，而它在全直线上的积分却等于1，这在原来的函数和积分的定义下是不可

7、思议的，但由于广义函数概念的引入，把函数、 测度及以上所述的Dirac 函数等概念统一了起来。因此，随着以数学为基础的其他学科的发展，函数的概念还会继续扩展。2. 对数的发明在数学史上，一般认为对数的发明者是十六世纪末到十七世纪初的苏格兰数学家纳皮尔(J Napier,1550 1617) 男爵在纳皮尔所处的年代， 哥白尼的“太阳中心说”刚刚开始流行， 这导致天文学成为当时的热门学科 可是由于当时常量数学的局限性， 天文学家们不得不花费很大的精力去计算那些繁杂的“天文数学”，因此浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间纳皮尔也是当时的一位天文爱好者，为了简化计算， 他多年潜心研究大数字的计算技术，终于独

8、立发明了对数 然而，纳皮尔所发明的对数， 在形式上与现代数学中的对数理论并不完全一样 在纳皮尔那个时代， “指数”这个概念还尚未形成， 因此纳皮尔并不是像现行代数课本中那样，通过指数来引出对数，而是通过研究直线运动得出对数概念的那么，当时纳皮尔所发明的对数运算，是怎么一回事呢?在那个时代，计算多位数之间的乘积， 还是十分复杂的运算， 因此纳皮尔首先发明了一种计算特殊多位数之间乘积的方法让我们来看看下面这个例子：(1)0 ，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14， (2)1 ，2， 4， 8， 16， 32， 64， 126， 256，512， 1024， 2048，

9、4096， 8192， 16384， 这两行数字之间的关系是极为明确的：如果我们要计算第二行中两个数的乘积，第(1) 行表示 2 的指数， 第 (2) 行表示可以通过第一行对应数字的和来实现2 的对应幂比如，计算 64256 的值，就可以先查询第一行的对应数字：64 对应 6， 256 对应 8；然后再把第一行中的对应数字加起来：68=14；第一行中的14，对应第二行中的16384，所以有：64256=16384纳皮尔的这种计算方法，实际上已经完全是现代数学中“对数运算”的思想了在“运用对数简化计算”的时候， 采用的正是这种思路： 计算两个复杂的乘积， 先查常用对数表 ，找到这两个复杂数的常用

10、对数，把这两个常用对数值相加，再通过常用对数的反对数表查出和值的反对数值， 就是原先那两个复杂数的乘积了这种“化乘除为加减”从而达到简化计算的思路，不正是对数运算的明显特征吗?经过多年的探索，纳皮尔男爵于 1614 年出版了他的名著奇妙对数定律说明书，向世人公布了他的这项发明，并且解释了这项发明的特点所以，纳皮尔是当之无愧的“对数缔造者”， 理应在数学史上享有这份殊荣伟大的导师恩格斯在他的著作 自然辩证法 中曾经把笛卡儿的坐标、 纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼兹的微积分共同称为十七世纪的三大数学发明 法国著名的数学家、天文学家拉普拉斯 (Pierre Simon Laplace,1749 1827

11、) 曾说：对数，可以缩短计算时间，“在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”3. 中外历史上的方程求解在人类用智慧架设的无数座从未知通向已知的金桥中，方程的求解是其中璀璨的一座，虽然今天我们可以从教科书中了解各式各样方程的解法，但这一切却经历了相当漫长的风月我国古代数学家已比较系统地解决了部分方程的求解的问题。约公元50 年 100 年编成的九章算术，就以算法形式给出了求一次方程、二次方程和正系数三次方程根的具体方法；公元7 世纪，隋唐数学家王孝通找出了求三次方程正根的数值解法；公元11 世纪，北宁数学家贾宪在黄帝九章算法细草中提出的“开方作法本源图”，以“立成释锁法”来解三次或三次以上的高

12、次方程式. 同时，他还提出了一种更简便的“增乘开方法”；公元.13 世纪，南宋数学家秦九韶在数书九章中提出了“正负开方术”，更提供了一种用算筹布列解任意数字方程的有效算法，此法可以求出任意次代数方程的正根.国外数学家对方程求解亦有很多研究. 公元 9 世纪，阿拉伯数学家花拉子米给出了一次方程和二次方程的一般解法；公元1541 年意大利数学家塔尔塔利亚给出了三次方程的一般解法；公元1545 年意大利数学家卡尔达诺的名著大术一书中，把塔尔塔利的解法加以发展，并记载了费拉里的四次方程的一般解法.4.三角函数三角函数英文名称Trigonometry，约定名于公元1600 年，实际导源于 希腊文 tri

13、gono ( 三角 )和 metrein ( 测量 )，其原义为三角形测量（解法），以研究平面三角形和球面三角 形的边和角的关系为基础， 达到测量上的应用为目的的一门学科。早期的 三角学 是天文学 的一部份， 后来研究范围逐渐扩大，变成以 三角函数 为主要对象的学科。现在，三角学的研究范围已不仅限于三角形，且为数理分析之基础，研究实用科学所必需之工具。(一 ) 西方的发展三角学 Trigonometry 创始于公元前约定的三角学知识，主要用于测量。例如建筑150 年，早在 公元前 300 年，古代埃及 人已有了一金字塔 、整理 尼罗河 泛滥后的耕地、通商航海和观测 天象 等。公元前 600 年

14、左右古希腊学者 泰勒斯 (p13)利用 相似三角形 的原理测出 金字塔的高，成为西方 三角测量 的肇始 。公元前 2 世纪后希腊 天文学家 希帕 霍斯（ Hipparchus ofNicaea）为了 天文观测 的需要，作了一个和现在三角函数 表相仿的弦表 ，即在固定的圆内，不同 圆心角 所对 弦长的表， 他成为西方三角学的最早奠基者 ，这个成就使他赢得了三角学之父的称谓。公元 2 世纪，希腊 天文学家数学家托勒密(Ptolemy)(85-165)继承希帕 霍斯的成就，加以整理发挥，着成天文学大成 13 卷，包括从0到 90每隔半度的弦表及若干等价于三角函数性质 的关系式，被认为是西方第一本系统

15、论 述三角学理论的著作。约同时代的梅内 劳斯（ Menelaus）写了一本专门论述球三角学的著作球面学，内容包球面三角 形的基本概念和许多平面三角形定理在球面上的推广，以及球面三角 形许多独特性质。他的工作使希腊三角学达到全盛时期。(二 )中国的发展我国古代没有出现角的函数概念，只用 勾股定理 解决了一些三角学范围内的实际问题。据周髀算经 记载，约与 泰勒斯 同时代的 陈子 已利用 勾股定理 测量太阳的高度， 其方法后来称为重差术。1631 西方三角学首次输入， 以德国 传教士邓玉函 、汤若望 和我国学者 徐光启 (p20)合编的大测为代表。同年徐光启 等人还编写了测量全义，其中有平面三角和球

16、面三角的论述。 1653 年薛风祚与波兰传教士穆尼 阁合编三角算法 ，以三角取代大测，确立了三角名称。1877 年华蘅煦等人对三角级数展开式等问题有过独立的探讨。现代的三角学主要研究角的特殊函数 及其在 科学技术 中的应用，如几何计算等，多发展于20 世纪 中。贰、 三角函数 的演进正弦函数 、余弦函数 、正切函数 、余切函数 、 正割函数 、余割函数 统称为三角函数（ Trigonometric function ）。尽管三角知识起源于远古，但是用线段的比来定义三角函数，是欧拉 (p16)（ 1707-1783）在无穷小 分析引论 一书中首次给出的。在欧拉 之前，研究三角函数大都在一个确定半

17、径的圆内进行的。 如古希腊的 托勒密 定半径为60；印度人阿耶波多（约 476-550 ）定半径为3438；德国 数学家 里基奥蒙 特纳 斯（ 1436-1476）为了精密地计算三角函数值 曾定半径600,000；后来为制订更精密的正弦表又定半径为107。因此，当时的三角函数实际上是定圆内的一些线段的长。意大利数学家利提克斯（ 1514-1574）改变了前人的做法，即过去一般称AB 为 的正弦，把正弦与圆牢牢地连结在一起（如下页图）， 而利提克斯却把它称为AOB 的正弦，从而使正弦值 直接与角挂勾，而使圆O 成为从属地位了。5.等比数列等比数列 源于古代的一些实际问题 古埃及国王拉阿乌斯有位能

18、干的文书阿默斯 他用象形文字写了一部算书 ，记录了公元前 2000 年 前 1700 年间数学研究的一些成果其中有这样一题，题中画了一个阶梯，其各级注数为 7， 49， 343， 2401， 16807并在数旁依次画了人、 猫、鼠、大麦和量器 原书上并无任何说明， 遂成为 数学史 上的一个难解之谜 2000 多年中无人能解释直到中世纪，意大利斐波那契在1202 年发表了算盘全书 ，书中这样一题：今有七老妇人同往罗马， 每人有七骡，每骡负七袋，每袋盛有七个面包，每个面包有七小刀随之，每小刀配有七鞘，问列举之物全数共有几何？显然这是一个 等比数列 的求和问题由此也基本解开了阿默斯之谜原来阿默斯问题

19、的意思是：今有七人，每人有七猫，每猫食七鼠， 每鼠食七只大麦穗，每穗可长成大麦七量器，由此可得之数列如何？当然这仅仅是推测我国古 代数学 家也早就研究过 等比数列 的问题孙子算经 中有一个有趣的题目 “出门望九堤 ”：今有出门重九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，维有九毛，毛有九色，问各几何？这并不是纯粹的互相传抄，而是反映了数学发展的内部规律6.坐标系的发展历史如果把坐标法理解为通过某一特定系统中的若干数量来决定空间位置的方法，那么战国时代魏人石申用距度 （或入宿度） 和去极度两个数据来表示恒星在天球上位置的星表，可以说是一种球面坐标系统的坐标法。古希腊的地理学家和天文学

20、家也广泛地使用球面坐标法。西晋人裴秀 （ 223 271）提出 “制图六体 ”，在地图绘制中使用了相当完备的平面网络坐标法。用坐标法来刻划动态的、 连结的点，是它沟通代数与几何而成为解析几何的主要工具的关键。阿波罗尼在 中，已借助坐标来描述曲线。十四世纪法国学者奥雷斯姆用“经度”和 “纬度 ”(相当于纵坐标和横坐标)的方程来刻划动点的轨迹。十七世纪， 费马和笛卡儿分别创立解析几何，他们使用的都是斜角坐标系：即选定一条直线作为X 轴，在其上选定一点为原点， y 的值则由那些与X 轴成一固定角度的线段的长表示。1637 年笛卡儿出版了他的著作 ，这书有三个附录，其中之一名为 ，解析几何的思想就包含

21、在这个附录里。笛卡儿在 中论述了正确的思想方法的重要性，表示要创造为实践服务的哲学。笛卡儿在分析了欧几里得几何学和代数学各自的缺点，表示要寻求一种包含这两门科学的优点而没有它们的缺点的方法。这种方法就是几何与代数的结合 - 解析几何。 按笛卡儿自己的话来说，他创立解析几何学是为了“决心放弃那仅仅是抽象的几何。这就是说， 不再去考虑那些仅仅是用来练习思想的问题。我这样作， 是为了研究另一种几何，即目的在于解释自然现象的几何”。关于解析几何学的产生对数学发展的重要意义，这里可以引用法国著名数学家拉格朗日的一段话：“只要代数同几何分道扬镳，它们的进展就缓慢， 它们的应用就狭窄。 但当这两门科学结合成

22、伴侣时，它们就互相吸取新鲜的活力，从而以快速的步伐走向完善”。十七世纪之后， 西方近代数学开始了一个在本质上全新的阶段。正如恩格斯所指出的，在这个阶段里 “最重要的数学方法基本上被确立了；主要由笛卡儿确立了解析几何，由耐普尔确立了对数， 由莱布尼兹， 也许还有牛顿确立了微积分”，而 “数学中的转折点是笛卡儿的变量。有了它，运动进入了数学，因而，辩证法进入了数学，因而微分和积分的运算也就立刻成为必要的了 ”。恩格斯在这里不仅指出了十七世纪数学的主要内容，而且充分阐明了这些内容的重要意义。解析几何学的创立， 开始了用代数方法解决几何问题的新时代。 从古希腊时起， 在西方数学发展过程中，几何学似乎一

23、直就是至高无上的。一些代数问题，也都要用几何方法解决。解析几何的产生， 改变了这种传统，在数学思想上可以看作是一次飞跃， 代数方程和曲线、曲面联系起来了。最早引进负坐标的英国人沃利斯， 最早把解析几何推广到三维空间的是法国人费马， 最早应用三维直角坐标系的是瑞士人约翰 贝努利。 “坐标 ”一词是德国人莱布尼兹创用的。牛顿首先使用极坐标， 对于螺线、心形线以及诸如天体在中心力作用下的运动轨迹的研究甚为方便。不同的坐标系统之间可以互换，最早讨论平面斜角坐标系之间互换关系的是法国人范斯库腾。我们今天常常把直角坐标系叫做笛卡儿坐标系， 其实那是经过许多后人不断完善后的结果。7.概率论的发展史概率论是一

24、门研究随机现象规律的数学分支。其起源于十七世纪中叶，当时在误差、人口统计、 人寿保险等范畴中， 需要整理和研究大量的随机数据资料， 这就孕育出一种专门研究大量随机现象的规律性的数学， 但当时刺激数学家们首先思考概率论的问题， 却是来自赌博者的问题。数学家费马向一法国数学家帕斯卡提出下列的问题： “现有两个赌徒相约赌若干局，谁先赢s 局就算赢了，当赌徒A 赢 a 局 a s，而赌徒B 赢 b 局 b s时，赌博中止，那赌本应怎样分才合理呢？”于是他们从不同的理由出发，在1654 年 7月 29 日给出了正确的解法，而在三年后，即1657 年，荷兰的另一数学家惠根斯1629-1695亦用自己的方法

25、解决了这一问题，更写成了论赌博中的计算一书，这就是概率论最早的论着，他们三人提出的解法中，都首先涉及了数学期望mathematical expectation这一概念，并由此奠定了古典概率论的基础。使概率论成为数学一个分支的另一奠基人是瑞士数学家雅各布-伯努利 1654-1705。他的主要贡献是建立了概率论中的第一个极限定理，我们称为“伯努利大数定理 ”，即 “在多次重复试验中， 频率有越趋稳定的趋势”。这一定理更在他死后， 即 1713 年，发表在他的遗著 猜度术中。到了 1730 年，法国数学家棣莫弗出版其著作分析杂论，当中包含了著名的“棣莫弗 拉普拉斯定理 ”。这就是概率论中第二个基本极

26、限定理的原始初形。而接着拉普拉斯在1812年出版的概率的分析理论中，首先明确地对概率作了古典的定义。另外，他又和数个数学家建立了关于 “正态分布 ”及 “最小二乘法 ”的理论。 另一在概率论发展史上的代表人物是法国的泊松。他推广了伯努利形式下的大数定律，研究得出了一种新的分布，就是泊松分布。概率论继他们之后，其中心研究课题则集中在推广和改进伯努利大数定律及中心极限定理。概率论发展到1901 年，中心极限定理终于被严格的证明了，及后数学家正利用这一定理第一次科学地解释了为什么实际中遇到的许多随机变量近似服从以正态分布。到了20 世纪的30 年代，人们开始研究随机过程， 而著名的马尔可夫过程的理论

27、在1931 年才被奠定其地位。而苏联数学家柯尔莫哥洛夫在概率论发展史上亦作出了重大贡献，到了近代， 出现了理论概率及应用概率的分支，及将概率论应用到不同范畴，从而开展了不同学科。因此， 现代概率论已经成为一个非常庞大的数学分支8.复数的发展史16 世纪意大利米兰学者卡当（Jerome Cardan1501 1576）在 1545 年发表的重要的艺术一书中，公布了三次方程的一般解法，被后人称之为“卡当公式 ”。他是第一个把负数的平方根写到公式中的数学家，并且在讨论是否可能把10 分成两部分，使它们的乘积等于40时，他把答案写成=40，尽管他认为和这两个表示式是没有意义的、想象的、虚无飘渺的，但他

28、还是把10 分成了两部分，并使它们的乘积等于40。给出 “虚数 ”这一名称的是法国数学家笛卡尔（ 1596 1650），他在几何学 （ 1637 年发表）中使“虚的数 ”与 “实的数 ”相对应，从此，虚数才流传开来。数系中发现一颗新星 虚数，于是引起了数学界的一片困惑，很多大数学家都不承认虚数。德国数学家莱布尼茨（ 1646 1716）在 1702 年说： “虚数是神灵遁迹的精微而奇异的隐避所，它大概是存在和虚妄两界中的两栖物”。瑞士数学大师欧拉（ 17071783 ）说； “一切形如，习的数学武子都是不可能有的，想象的数，因为它们所表示的是负数的平方根。对于这类数， 我们只能断言，它们既不是

29、什么都不是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都不是少些什么，它们纯属虚幻。”然而，真理性的东西一定可以经得住时间和空间的考验，最终占有自己的一席之地。法国数学家达朗贝尔（1717 1783 ）在 1747 年指出，如果按照多项式的四则运算规则对虚数进行运算，那么它的结果总是的形式 （ a、b 都是实数）（说明：现行教科书中没有使用记号i ，而使用 =一 1）。法国数学家棣莫佛（ 16671754 ）在 1730 年发现公式了， 这就是著名的棣莫佛定理。欧拉在1748 年发现了有名的关系式，并且是他在微分公式 （ 1777 年）一文中第一次用i 来表示一 1的平方根，首创了用符号i作为虚数的

30、单位。 “虚数 ”实际上不是想象出来的，而它是确实存在的。 挪威的测量学家成塞尔（ 17451818）在 1779 年试图给于这种虚数以直观的几何解释，并首先发表其作法，然而没有得到学术界的重视。德国数学家阿甘得（1777 1855 ）在 1806 年公布了虚数的图象表示法，即所有实数能用一条数轴表示，同样，虚数也能用一个平面上的点来表示。在直角坐标系中，横轴上取对应实数 a 的点 A ，纵轴上取对应实数b 的点 B ，并过这两点引平行于坐标轴的直线，它们的交点 C 就表示复数 a bi。象这样， 由各点都对应复数的平面叫做“复平面 ”，后来又称 “阿甘得平面 ”。高斯在 1831年，用实数组

31、（ a， b）代表复数a bi，并建立了复数的某些运算，使得复数的某些运算也象实数一样地“代数化 ”。他又在 1832 年第一次提出了 “复数 ”这个名词，还将表示平面上同一点的两种不同方法 直角坐标法和极坐标法加以综合。统一于表示同一复数的代数式和三角式两种形式中，并把数轴上的点与实数 一对应， 扩展为平面上的点与复数 一对应。 高斯不仅把复数看作平面上的点，而且还看作是一种向量，并利用复数与向量之间 一对应的关系， 阐述了复数的几何加法与乘法。至此，复数理论才比较完整和系统地建立起来了。经过许多数学家长期不懈的努力，深刻探讨并发展了复数理论， 才使得在数学领域游荡了 200 年的幽灵 虚数

32、揭去了神秘的面纱， 显现出它的本来面目， 原来虚数不虚呵。 虚数成为了数系大家庭中一员，从而实数集才扩充到了复数集。随着科学和技术的进步， 复数理论已越来越显出它的重要性， 它不但对于数学本身的发展有着极其重要的意义， 而且为证明机翼上升力的基本定理起到了重要作用，并在解决堤坝渗水的问题中显示了它的威力，也为建立巨大水电站提供了重要的理论依据。9.导数的发展史大约在 1629 年，法国数学家费马研究了作曲线的切线和求函数极值的方法；他写一篇手稿求最大值与最小值的方法 。在作切线时，他构造了差分1637 年左右，f(A+E)-f(A) ，发现的因子 E 就是我们所说的导数f(A) 。17 世纪生

33、产力的发展推动了自然科学和技术的发展，在前人创造性研究的基础上，大数学家牛顿莱布尼茨等从不同的角度开始系统地研究微积分。牛顿的微积分理论被称为“流数术”，他称变量为流量，称变量的变化率为流数，相当于我们所说的导数。牛顿的有关“流数术”的主要著作是 求曲边形面积 、运用无穷多项方程的计算法和流数术和无穷级数 ，流数理论的实质概括为：他的重点在于一个变量的函数而不在于多变量的方程；在于自变量的变化与函数的变化的比的构成；最在于决定这个比当变化趋于零时的极限。1750 年达朗贝尔在为法国科学家院出版的百科全书第四版写的“微分 ”条目中提出了关于导数的一种观点，可以用现代符号简单表示：1823 年，柯

34、西在他的无穷小分析概论中定义导数：如果函数y=f(x) 在变量x 的两个给定的界限之间保持连续，并且我们为这样的变量指定一个包含在这两个不同界限之间的值，那么是使变量得到一个无穷小增量。 19 世纪 60 年代以后，魏尔斯特拉斯创造了 -语言 2 ，对微积分中出现的各种类型的极限重加表达。导数的定义也就获得了今天常见的形式。微积分学理论基础， 大体可以分为两个部分。 一个是实无限理论， 即无限是一个具体的东西，一种真实的存在；另一种是潜无限，指一种意识形态上的过程，比如无限接近。就数学历史来看， 两种理论都有一定的道理。 其中实无限用了 150 年，后来极限论就是现在所使用的。光是电磁波还是粒

35、子是一个物理学长期争论的问题， 后来由波粒二象性来统一。 微积分无论是用现代极限论还是 150 年前的理论，都不是最好的方法。10.排列组合的历史虽然数数始于以结计数的远古时代，由于那时人的智力的发展尚处于低级阶段，谈不上有什么技巧。 随着人们对于数的了解和研究，在形成与数密切相关的数学分支的过程中，如数论、 代数、函数论以至泛函的形成与发展，逐步地从数的多样性发现数数的多样性，产生了各种数数的技巧。同时，在人们对于形有了深入的了解和研究的基础上，在形成与形密切相关的各种数学分支的过程中， 如几何学、 拓扑学以至范畴论的形成与发展，逐步地从形的多样性也发现了数形的多样性， 产生了各种数形的技巧

36、。 近代的集合论、 数理逻辑等反映了潜在的数与形之间的结合。 而现代的代数拓扑和代数几何等则将数与形密切地联系在一起了。这些，对于以数的技巧为中心课题的近代组合学的形成与发展都产生了而且还将会继续产生深刻的影响。由此观之， 组合学与其他数学分支有着必然的密切联系。它的一些研究内容与方法来自各个分支也应用于各个分支。当然，组合学与其他数学分支一样也有其独特的研究问题与方法，它源于人们对于客观世界中存在的数与形及其关系的发现和认识。例如，中国古代的 易经中用十个天干和十二个地支以六十为周期来记载月和年，以及在洛书河图中关于幻方的记载，是人们至今所了解的最早发现的组合问题甚或是架构语境学 。于 11

37、 和 12 世纪间，贾宪就发现了二项式系数，杨辉将它整理记载在他的续古抉奇法一书中。这就是中国通常称的杨辉三角。事实上，于12 世纪印度的婆什迦罗第二也发现了这种组合数。 13 世纪波斯的哲学家曾讲授过此类三角。而在西方，布莱士帕斯卡发现这个三角形是在 17 世纪中期。这个三角形在其他数学分支的应用也是屡见不鲜的。同时，帕斯卡和费马均发现了许多与概率论有关的经典组合学的结果。因此，西方人认为组合学开始于17 世纪。组合学一词是德国数学家莱布尼茨在数学的意义下首次应用。也许，在那时他已经预感到了其将来的蓬勃发展。然而只有到了18 世纪欧拉所处时代，组合学才可以说开始了作为一门科学的发展，因为那时， 他解决了柯尼斯堡七桥问题，发现了多面体（首先是凸多面体，即平面图的情形）的顶点数、边数和面数之间的简单关系，被人们称为欧拉公式。甚至，当今人们所称的哈密顿圈的首创者也应该是欧拉。这些不但使欧拉成为组合学的一个重要组成部分 图论而且也成为占据现代数学舞台中心的拓扑学发展的先驱。同时，他对导致当今组合学中的另一个重要组成部分 组合设计中的拉丁方的研究所提出的猜想，人们称为欧拉猜想，直到1959 年才得到完全的解决。于 19 世纪初，高斯提出的组合系数，今称高斯系数，在经典组合学中也占有重要地位。同时，他还研究过平面上的闭曲