圆锥曲线之椭圆题库_含详解_高考必备

1、椭圆题库31 E、F 是椭圆 x2 2y2 4的左、右焦点，l 是椭圆的右准线，点 P l ，过点 E 的直线m n 41解：（1）22SAEFmn2mn82AEAF4（2）因ABAFBFBEBF4则AFBF5.1) 设 P(2 2,t)(t 0) tan EPF tan(8，FPM )交椭圆于 A、 B两点.1 ） 当 AE AF 时，求 AEF 的面积；2） 当 AB 3 时，求 AF BF 的大小；3） 求 EPF 的最大值 .32 t(1 3 2t2 2)2 2tt2 622t 6t 1当 t6 时， tan EPF 33EPF 30222 已知椭圆 x2 y2 1（a b 0）的左、

2、右焦点分别是 F1（ c，0）、F2（c，0），Q 是 a2 b2椭圆外的动点，满足|F1Q | 2a. 点 P 是线段 F1Q 与该椭圆的交点，点T 在线段 F2Q 上，并且满足 PT TF2 0,|TF2 | 0.（ 1）求点 T 的轨迹 C 的方程；（ 2）试问：在点 T 的轨迹 C 上，是否存在点 M， 使 F1MF 2的面积 S= b 2 .若存在，求 F1MF2 的正切值；若不存在，请说明理由 .（1）解 ：设点 T 的坐标为 （x,y）.当|PT | 0时，点（ a ，0）和点（ a ，0）在轨迹上当|PT| 0且|TF2| 0时，由 |PT| |TF2| 0，得 PT TF2.

3、又|PQ| |PF2 |，所以 T为线段 F2Q的中点 .1在 QF 1F 2中， | OT |F1Q| a，所以有 x2 y2 a2.2综上所述，点 T 的轨迹 C 的方程是 x2 y2 a2.2）解：C 上存在点 M（ x0, y0）使 S= b 2的充要条件是222x0 y0 a ,122c|y0 | b2.2由得 | y0 |a ，由得| y0 |b2 . 所以，当 ca b 时，c存在点M，使 S= b2；2当a b2 时，c当 a b 时， cMF1(cx0, y0 ),MF2 (c x0, y0 )，由 MF1 MF22x02 c2 2 2 2 y0 a c b ，MF1 MF2

4、 |MF1 |MF2 |cos F1MF2 ，1S|MF1 |2|MF2|sin2F1MF2 b2 ，得 tan F1MF2 2不存在满足条件的点M.23 已知椭圆 C1 的方程为y2 1，双曲线 C 2的左、右焦点分别为 C1 的左、右顶点，4而 C 2的左、右顶点分别是 C1 的左、右焦点 .（）求双曲线 C2 的方程；（）若直线 l :y kx 2与椭圆 C 1及双曲线 C 2都恒有两个不同的交点，且 l与 C2的两个交点 A 和 B 满足 OA OB 6 （其中 O 为原点），求 k 的取值范围 .22解：（）设双曲线 C 2的方程为 x y 1，则 a2 4 1 3,再由a2 b2

5、c2得b2 1. a2 b22故 C2 的方程为y2 1.32II)将 y kx 2代入 xy2 1得(1 4k 2)x2 8 2kx 4 0.由直线 l 与椭圆 C1 恒有两个不同的交点得1 (8 2)2k2 16(1 4k2) 16(4k 2 1) 0,即 k 2 1. 42x 2 2 2将y kx2代入y2 1得(1 3k2)x2 6 2kx 9 0.由直线 l 与双曲线 C2恒有两个不同的交点 A，B 得21 3k2 0,2 ( 6 2k)2 36(1 3k2) 36(1 k2 ) 0. 即k 2 1 且k 2 1.36 2kxB2 ,xA xBB 1 3k 2 A B6,而93k2设

6、A(xA,yA),B(xB,yB),则xA 由OA OB 6得xAxB yA yBxAxByA yBxAxB (kxA 2)(kxB 2)(k 2 1)xAxB2k(xA xB) 229(k21)213k23k27.3k21.2k6 2k1 3k 2于是3k2276,即15k22133k213k21k213或k21.153.由、得1k21或13 2k 1.4315故 k 的取值范围为 （ 1, ） （0.解此不等式得4已知某椭圆的焦点是 F1（ 4， 0）、F2（4， 0），过点 F2，并垂直于 x 轴的直线与椭圆的 一个交点为 B，且 F1B F2B 10椭圆上不同的两点 A（x1，y1）、

7、 C（ x2， y2）满足 条件： F2A、 F2B、 F2C成等差数列 .（ 1）求该椭圆的方程；（ 2）求弦 AC中点的横坐标；（ 3）设弦 AC的垂直平分线的方程为 y kxm，求 m的取值范围 .（1）解：由椭圆定义及条件知2a F1B F2B 10，得 a5. 又 c4， 所以 b a2 c2 3 x2故椭圆方程为 x2 y2 192）解：由点 B4， yB）在椭圆上，得 F2B yB方法一：因为椭圆右准线方程为25 4x 25 ，离心率为 45425 x1），4根据椭圆定义，有 F2A 45由 F2A、 F2B、 F2C成等差数列，得4 25（ x1）54F2C25 x2）4设弦

8、AC的中点为25 x2）4x0，y0），9 2 9 由此得出5x1 x2则 x0 1 22x1x28842x1，3）解法一：由229x1 25y1 9 25， 92522 ）229x2225y22 *由得 9（ x12 *x2即 9（ x1 x2 ） 252将 x1 2x2 x0=4， y1y1）， 25y1C（ x2， y2）在椭圆上，得22（y1 y2 ） 0， y2 ）2y1 y2 ） 0（x1x2）. x1 x2y1 y2x1 x2y22 y0，219425y0（ ） 0（k0）k25 由上式得 k 25 y0（当 k0 时也成立） .36由点 P（4， y0）在弦 AC的垂直平分线上

9、，得 y0 4k m，25 16 所以 m y0 4k y0y0y09911 （ k 0）代入上式， k2559 y0 .59由 P（4，y0）在线段 BB（ B与 B关于 x 轴对称）的内部，得 样的直线 l ，使得四边形 OAPB是矩形？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，试说明理 5所以 16 m 16 55由.1）解： a=xi+（y+2） j，b=xi+（y 2） j ，且|a|+|b|=8，点 M（x，y）到两个定点 F1（0， 2），F2（ 0，2）的距离之和为 8.轨迹 C 为以 F1、 F 2为焦点的椭圆，方程为22x2 + y212 16=1.272） l 过 y 轴上

10、的点（ 0，3），若直线 l 是 y 轴，则 A、B 两点是椭圆的顶点 OP=OA+OB=0，P与 O重合，与四边形 OAPB是矩形矛盾直线 l 的斜率存在 .设 l 方程为 y=kx+3，A（x1，y1），B（ x2，y2）， y=kx+3，x2 y2 消 y得（4+3k2）x2+18kx 21=0.此时， =（18k2）4（4+3k2） + =1 ，12 1618k 21（ 21） 0 恒成立，且 x1+x2=2 ， x1x2=2 .4 3k 24 3k 2 OP = OA + OB ，四边形 OAPB 是平行四边形 .若存在直线 l，使得四边形 OAPB 是 矩形，则 OAOB，即 OA

11、 OB=0. OA=（ x1， y1）， OB=（ x2， y2）， OA OB=x1x2+y1y2=0，即（ 1+k2）x1x2+3k（x1+x2）+9=0 ，即（ 1+k2）（ 21 ） +3k（ 18k ）+9=0 ，即 k2= 5 ，得 k= 5 .4 3k 24 3k 2 16 4存在直线 l： y= 5 x+3，使得四边形 OAPB 是矩形 .42 x26 设 F1、 F2 分别是椭圆y 1 的左、右焦点 .4A、B ，且 AOB为锐角（其中 O（）若 P是该椭圆上的一个动点，求 PF1 PF2的最大值和最小值 ;）设过定点 M （0,2）的直线 l 与椭圆交于不同的两点 为坐标原

12、点） ，求直线 l 的斜率 k 的取值范围解：（）：易知 a 2,b 1,c 3所以 F13,0 ,F2 3,0 ，设 P x, y ，则2 x3 1 3x2 8因为 x2,2 ，故当 x 0，即点 P 为椭圆短轴端点时，PF1 PF2有最小值当 x 2，即点 P 为椭圆长轴端点时，PF1 PF2 有最大值 1联立 x1又 00显然直线kxx24kx 0 不满足题设条件，2，消去1y，整理得：k24k1 ,x1x23k2 14可设直线k2A0B900cos4k2 3A0Bl: y kx 2,A x1,y2 ,B x2,y2 ，x2 4kx 30得： k3 或 k200x1x2又 y1y2y1y

13、2 0kx2 2k2x1x22k x1 x23k221 k48k221k4k2 121k4321k4k2k211 0 ，即 k2 4故由、得2k33 或227 如图，直线2 x y kxb 与椭圆41交于 A、B 两点，记 AOB的面积为S(I)求在 k0，0b8 已知椭圆C：或y6 或 y 2 x2226或2x2 aby221ab0）的左右焦点为F1、 F2 ，离心率为e 直线 ,l：yexa与 x轴 y轴分别交于点 A、B，M 是直线 l与椭圆C的一个公共点，P 是点 F1 关于直线 l 的对称点，设 AM AB ）证明： 1 e2；3 ）若， MF1F2的周长为 6；写出椭圆 C的方程；

14、（理科无此问）4 ）确定的值，使得 PF1F2 是等腰三角形 ）证法一：因为 A、B分别是直线 l： y ex a与 x 轴、y 轴的交点，所以 A、Byex a,xc,a的坐标分别是 （ ,0）, （0, a）.由2x2y2 得b2 这里 c a2b2 e21,2y.abab2所以点 M 的坐标是（ c,b ） a由 AM2AB得( c a,b )ea(ae,a)即 be2解得 1 e2 34时，c112，所以2c.由MF1F2的周长为 6，得 2a 2c 6.所以 a2,c 1,b222 ac3.x22 y 椭圆方程为431.)因为PF1 l，所以 PF1F2=90 1 必有| PF1|=

15、| F1F2| ，即 |PF1 | c.+BAF1 为钝角，要使PF1F2 为等腰三角形，设点 F1到 l的距离为 d，由12 | PF1 |e( c) 0 a| |ae2ec|c,1 e2得 1 e2e. 所以e21 e21, 于是3e2即当2时, PF1F2为等腰三角形3229 如图 , 椭圆 Q: x2 y2 1(ab0) 的右焦点为abF(c,0) , 过点 F 的一动直线 m 绕点 F转动,并且交椭圆于 A、 B两点,(1) 求点 P 的轨迹P 为线段 AB 的中点H 的方程 ;2(2) 若在 Q的方程中 ,令 a221 cos sin ,b sin (02). 确定 的值 ,使原点

16、距椭圆 Q的右准线 l最远此时设 l与x轴交点为 D,当直线 m绕点F转动到什么位置时 ,三角形 ABD 的面积最大 ? 解：如图x(1)设椭圆 Q : 2ay2 1上的点 A(x1,y1)、B(x2,y2),又设 P点坐标为 P(x,y)，则 b22b x122 b x222 a y122 a y222ab22 ab2111 当 AB 不垂直 x 轴时， x1 x2,由得b2(x1 x2)2x a2(y1 y2)2y 0,y1y2b2xy,x1x22a y xc22 bx2 a22 y b cx0,(*)2 当 AB 垂直于 x 轴时，点 P 即为点 F ，满足方程( *)故所求点 P的轨迹

17、 H 的方程为： b2x2 a2y2 b2cx 022 aa (2)因为,椭圆 Q右准线 l 方程是 x,原点距椭圆 Q的右准线 l 的距离为 ,cc由于 c2 a2 b2,a2 1 cos2sin ,b sin (0 0）到相应准线 l 的距离为 3，过焦点 F的直线与椭圆交于 A、B 两点。 （1）求椭圆的标准方程；（2）设 M 为右顶点， 则直线 AM、BM 与准线 l 分别交于 P、Q 两点，（P、Q 两点不重合） ， 求证： FP?FQ 0c1解：（1）由题意有a2ac2 解得c32322椭圆的标准方程为 x y 1432）若直线 AB与 x 轴垂直，则直线 AB的方程是 x 1 该

18、椭圆的准线方程为 x 4, P(4, 3) ， Q(4,3) ， FP (3, 3)，FQ (3,3) FP FQ 0 当直线 AB 与 x 轴垂直时，命题成立。 若直线 AB与 x 轴不垂直，则设直线 AB 的斜率为 k ，直线 AB的方程为 y k（x 1）,k 0又设 A(x1,y1),B(x2,y2),P(x3,y3),Q(x4,y4)y k(x 1)联立 x2 y2消 y 得 (3 4k2)x2 8k2x 4k2 12 01438k24k2 12x1 x2 3 4k2 ,x1x2 3 4k2 y1y22k2(x1 1)(x2 1)9k23 4k2又 A、M、P三点共线， y32y1

19、同理 y4 2y2x1 2x2 2 FP (3,2y1x12)，FQ (3,2y2x2 2 FP FQx1x24y1y22(x1 x2) 4综上所述：FPFQ2 x18 设椭圆 C： 2a2 y b21(a b0) 的左焦点为F，上顶点为 A，过点 A 作垂直于 AF 的直线交椭圆C 于另外一点 P，交 x 轴正半轴于点 Q ，且 AP8 PQ51)2)求椭圆 C 的离心率；若过 A、Q、F 三点的圆恰好与直线 l：解：x 3y 5 0 相切，求椭圆 C的方程 .设 Q(x0，0)，由 F( -c，0)A(0，b)知 FA (c,b), AQ(x0, b)2FA AQ, cx0 b2 0,x0

20、b2 2分c8设 P(x1,y1),由APPQ ，得 x158b213c , y15b13(81b3c ) 2因为点 P 在椭圆上，所以 13c2 a2(153b)2b26分整理得 2b 2=3ac，即 2( a2 c2)=3ac，2e2 3e2 0,故椭圆的离心率1e28分由知 2b2 3ac，得 bc32a ；又ca2，得c1a，213于是 F( 2a，0)， Q( a,0)221 AQF 的外接圆圆心为(a，20)，半径r=21|FQ|= a|12a 5|所以 2a，解得 a=2，c=1，b= 3 ，2 x 所求椭圆方程为2y2 124325219 已知椭圆 C :yb21(a0）过点

21、（1,23），且离心率1）求椭圆方程；）若直线 l: y kx m（k 0） 与椭圆交于不同的两点 MN ，且线段 MN 的垂1直平分线过定点 G（ ,0），求 k 的取值范围。8由题意椭圆的离心率c1ea2a 2cb23c2椭圆方程为2x4c22y3c23又点 （1, ） 在椭圆上22椭圆的方程为 x4即k14c2(32)23c2c2 11 4 分)设 M (x1, y1),N(x2,y2)消去 y 并整理得 (3 4k2)x2 8kmx直线 y kx m 与椭圆有两个交点2 2 2(8km)2 4(3 4k2)(4m2 12)8km3 4k 2又 x1 x2MN 中点设 MN 的垂直平分线

22、 l 方程： yp 在 l 上3m123 4k 2k12m(4k2 3) 11 分8k(4k 2 23)2 4k2 3 64k2将上式代入得105或k51020 已知椭圆 C：2x2ay4m2y3kx m1220 ，即 m2P 的坐标为1 k 4km31(x 1)84k 2 18)k 的取值范围为 （0 6 分4k2 38 分4km 3m2 , 2 )3 4k2 3 4k 29分即 4k28km 3 0k21205510) (102 y2 1（ ab 0）的离心率为 b26 ，过右焦点 F 且斜率为 1 的直线交椭圆 C于 A，B两点， N为弦 AB的中点。（1）求直线 ON（ O为坐标原点）

23、的斜率 KON ；2）对于椭圆 C上任意一点 M ，试证：总存在角 （ R）使等式： OM cos OA327sin OB 成立。解： (1)设椭圆的焦距为 2c,因为 c6 ，所以有a322ab2a2 ，故有 a233b2 。从而椭33圆 C的方程可化为： x2 3y2 3b2易知右焦点 F的坐标为( 2b,0 )，据题意有 AB 所在的直线方程为： y x2b由，有： 4x2 6 2bx 3b2 0设 A(x1, y1), B( x2 , y2 ) ，弦 AB的中点 N ( x0 , y0 ) ，由及韦达定理有：x1 x2 3 2b 2x0,y0 x02b b.2 4 4所以 KON y0

24、1 ，即为所求。ON 3x0(2)显然 OA与OB 可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量OM ，有且只有一对实数 , ，使得等式 OMOAOB 成立。设(x,y)(x1,y1)(x2,y2) ，所以x x1x2,yy1y2。又点在椭 圆 C上，所以有2 2 2( x1x2)2 3( y1 y2 )2 3b2 整理为22222222(x123y12)2(x223y22)2 (x1x2 3y1y2) 3b 。3 2b3b2由有：x1 x2,x1 x2。所以24x1x2 3y1y2x1x23(x12b)(x22b) 4x1x2 3 2b(x1 x2 ) 6b23b2 9

25、b26b2 0又 AB 在椭圆上，故有(x1223y12)3b2,(x22 3y22 ) 3b2M (x, y) ，由1)中各点的坐标有：将，代入可得：221。对于椭圆上的每一个点 M ，总存在一对实数，使等式 OMOA OB 成立，而在直角坐标系 x o y 中，取点 P（），设以 x 轴正半轴为始边，以射线 OP 为终边的角为 ，显然cossin 。也就是： 对于椭圆 C上任意一点M ，总存在角R）使等式： OM cos OA sin OB 成立。x2 y221 已知方向向量为 v 1， 3 的直线 l 过椭圆 C： xa2 by2 1（a b0）的焦点以及点 （0，2 3），椭圆 C的中

26、心关于直线 l 的对称点在椭圆 C的右准线上。求椭圆 C 的方程。过点 E（-2，0）的直线 m交椭圆 C于点 M、N，且满足 OM ON 4 6 cot MON 0， 3（O 为坐标原点 ） ，求直线 m 的方程。解：直线 l: y 3x 2 3 ，过原点垂直于 l的直线方程为 y 3 x 3解得a2c直线3，椭圆中心 O（0，233，2l 过椭圆焦点，该焦点坐标为220）关于直线 l 的对称点在椭圆 C 的右准线上，22(2，0)， c 2, a2 6, b2 2 ，故椭圆 C 的方程为 x y62当直线 m 的斜率存在时，设12k2(3k2 1)x2 12k2x12k2 ,3k2 1,则 x1 x2x1x2m: y6 0 ， 12k2 3k2k（x 2） ，代入并整理得 设 M（x1, y1），N（x2, y2）， MN1 k2x1x21 k2x2)2 4x1x22