八级数学下册 第一章《三角形的证明》1.3《线段的垂直平分线》教学课件 （新版）北师大版

1、线段的垂直平分线 知识点一知识点二 知识点一线段的垂直平分线的性质 定理:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 拓展归纳 理解线段的垂直平分线性质的要点:(1)这里的线段垂 直平分线上的点是指该直线上任意一点.(2)这里的距离是指线段垂 直平分线上的点与线段两个端点间线段的长度. 北京师范大学北京师范大学出版社出版社 八八年级年级 | 下册 知识点一知识点二 例1如图,在ABC中,线段BC的垂直平分线DE交AC于点D. (1)若AB=5,AC=8,求ABD的周长; (2)若ABD的周长为13,ABC的周长为20,求BC的长. 分析:(1)由DE垂直平分线段BCDB=DCABD的周

2、长等于 (AB+AC)的长度. (2)ABC的周长等于AB+AC+BCABC与ABD的周长之差 等于BC的长度. 北京师范大学北京师范大学出版社出版社 八八年级年级 | 下册 知识点一知识点二 解:(1)DE是BC的垂直平分线, DB=DC(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离 相等). ABD的周长为AB+BD+AD=AB+CD+AD=AB+AC=13. (2)由(1)知ABD的周长等于(AB+AC)的长度. ABC的周长为(AB+AC+BC)的长度, BC等于ABC的周长与ABD的周长之差,即BC=20-13=7. 北京师范大学北京师范大学出版社出版社 八八年级年级 | 下册 知识

3、点一知识点二 知识点二线段的垂直平分线的判定 定理:到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平 分线上. 拓展归纳 (1)判定一条直线是线段的垂直平分线必须说明该直 线上有两个点到线段两个端点的距离相等. (2)线段垂直平分线的判定与性质是题设与结论互换的两个命题. 线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的 集合. 北京师范大学北京师范大学出版社出版社 八八年级年级 | 下册 知识点一知识点二 例2如图所示,已知AD是ABC的角平分线,DEAB,DFAC, 垂足分别是E,F.求证:AD垂直平分EF. 分析:要证AD垂直平分EF,即证A,D分别在EF的垂直平分线上,即 证

4、AE=AF,DE=DF. 证明:AD是ABC的角平分线, BAD=CAD.DEAB,DFAC, AED=AFD=90. 又AD=AD,AED AFD(AAS). DE=DF,AE=AF. A,D在EF的垂直平分线上(线段垂直平分线的判定定理),即AD 垂直平分EF. 北京师范大学北京师范大学出版社出版社 八八年级年级 | 下册 知识点一知识点二 北京师范大学北京师范大学出版社出版社 八八年级年级 | 下册 拓展点一拓展点二 拓展点一三角形三边的垂直平分线 例1如图所示,已知ABC,你能找一点O,使它到其三个顶点的 距离相等吗?若能,请说明理由. 分析:由线段垂直平分线的性质知,这样的点O在边A

5、B,BC,AC的 垂直平分线上. 北京师范大学北京师范大学出版社出版社 八八年级年级 | 下册 拓展点一拓展点二 解:能找到.理由如下: 如图,设边AB,BC的垂直平分线交于点O,连接OA,OB,OC. 点O在线段AB的垂直平分线上, OA=OB(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离 相等). 同理OB=OC.OA=OB=OC. 故点O到ABC三个顶点的距离相等. 北京师范大学北京师范大学出版社出版社 八八年级年级 | 下册 拓展点一拓展点二 北京师范大学北京师范大学出版社出版社 八八年级年级 | 下册 拓展点一拓展点二 拓展点二线段的垂直平分线的有关作图 例2如图所示,A,B,C三个

6、村庄的干部商议合建一处村民文化活 动中心.为了使三个村的村民到该活动中心的距离相等,活动中心 应建在什么地方?请用尺规作图的方法在图上找出建活动中心的 位置.(不写作法,保留作图痕迹.) 分析:连接三点构成一个三角形,然后作出这个三角形的两边的 垂直平分线,相交于一点,该点所在的位置就是所要建活动中心的 位置. 北京师范大学北京师范大学出版社出版社 八八年级年级 | 下册 拓展点一拓展点二 作法:如图所示. (1)连接AB,BC; (2)分别作AB,BC的垂直平分线交于点P. 点P所在的位置,即建活动中心的位置. 北京师范大学北京师范大学出版社出版社 八八年级年级 | 下册 拓展点一拓展点二

7、北京师范大学北京师范大学出版社出版社 八八年级年级 | 下册 P22想一想 答案逆命题:到一条线段两端点距离相等的点,在这条线段的垂 直平分线上.这是个真命题. 证明思路,如:已知PA=PB, (1)过点P作已知线段AB的垂线段PC,再证明点C平分AB; (2)取AB的中点C,再证明PCAB; (3)作APB的平分线PC,证明PCAB,且AC=BC. 下面给出第(1)种思路的完整证明过程,其他证明过程由同学们自 己完成. 已知:如图所示,PA=PB.求证:点P在线段AB的垂直平分线上. 北京师范大学北京师范大学出版社出版社 八八年级年级 | 下册 证明过点P作PCAB,C为垂足,则PCA=PC

8、B=90. PC=PC,PA=PB, RtPCA RtPCB(HL). AC=BC(全等三角形的对应边相等). 点P在线段AB的垂直平分线上. 北京师范大学北京师范大学出版社出版社 八八年级年级 | 下册 P23问题 答案还有其他证法. 证明AB=AC,OB=OC,AO=AO, AOB AOC(SSS). BAO=CAO,即AO平分BAC. AO垂直平分BC(等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线 及底边上的高线互相重合). P23随堂练习 证明AB是CD的垂直平分线, EC=ED,FC=FD, ECD=EDC,FCD=FDC. ECD+FCD=EDC+FDC. ECF=EDF. 北京师范大学

9、北京师范大学出版社出版社 八八年级年级 | 下册 习题1.7 1.解AB=AC, AB的垂直平分线是EF, FA=FB.B=BAF=30. AFC=B+BAF=30+30=60. AFC=60. 2.解所有顶点都在AB的垂直平分线上(垂足除外). 3.解DE垂直平分AB,AE=BE. BEC的周长为BC+BE+EC=50, BC+EC+AE=50,即BC+AC=50. AC=27,BC=50-27=23. 北京师范大学北京师范大学出版社出版社 八八年级年级 | 下册 4.作法:如图,(1)连接AB; (2)作AB的垂直平分线交河岸于C点,则C点即为所求. P24议一议 答案(1)能;无数个;不

10、全等. (2)能. P25做一做 答案能.小明先作了PA=PB,然后作了线段AB的垂直平分线. 北京师范大学北京师范大学出版社出版社 八八年级年级 | 下册 P26议一议 作法:1.以P为圆心,以任意长为半径作弧,交直线l于A,B两点. 2.分别以A,B为圆心,以PA的长为半径作弧,两弧交于一点Q. 3.作直线PQ,直线PQ垂直于l. P26随堂练习 相等的线段有:AO=BO,AE=BE,AD=DC,AF=FC. CAEF=AE+EF+FA=BE+EF+FC=BC=2. AEF的周长为2. 北京师范大学北京师范大学出版社出版社 八八年级年级 | 下册 习题1.8 1.已知:线段a. 求作:ABC,使得AB=AC,BC=a,BC边上的高AD= a. 作法:如图,(1)作射线BM,在BM上截取BC=a; (2)作BC的垂直平分线l交BC于D点; (3)截取AD= a; (4)连接AB,AC,则ABC即为所求. 这个等腰三角形是一个等腰直角三角形. 北京师范大学北京师范大学出版社出版社 八八年级年级 | 下册 2.解(1)如图,过B作AC的垂线,交AC于点O,则BO即为AC边上的高. (2)延长CB,过A作CB延长线的垂线交延长线于F点.AF即为BC边 上的高. 3.提示(1)(2)作PQR的两边的垂直平分线,其交点即为体育中