概率论与数理统计知识点总结_4471

1、.概率论与数理统计第一章概率论的基本概念 2样本空间、随机事件1事件间的关系AB则称事件 B 包含事件 A，指事件 A 发生必然导致事件 B 发生AB x xA或 xB 称为事件 A 与事件 B 的和事件，指当且仅当A， B 中至少有一个发生时，事件A B发生AB x xA且 xB 称为事件 A 与事件 B 的积事件， 指当 A，B 同时发生时，事件AB 发生A B x xA且 xB 称为事件 A 与事件 B 的差事件，指当且仅当A 发生、 B不发生时，事件A B发生A B，则称事件 A 与 B 是互不相容的，或互斥的， 指事件 A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的A BS且

2、AB，则称事件 A 与事件 B 互为逆事件，又称事件 A与事件 B 互为对立事件2运算规则 交换律 AB BAABBA结合律 (AB)CA( BC )(A B)CA(B C)分配律 A （BC） (AB)( AC )A (B C) (A B)(A C)徳摩根律 ABAAB ABB 3频率与概率定义在相同的条件下， 进行了 n 次试验， 在这 n 次试验中，事件A 发生的次数 nA 称为事件 A 发生的 频数 ，比值 nAn 称为事件 A发生的 频率概率：设 E 是随机试验， S 是它的样本空间， 对于 E 的每一事件 A 赋予一个实数， 记为 P（A），称为事件的概率1概率 P( A) 满足下

3、列条件：（ 1）非负性 ：对于每一个事件A0 P(A)1（ 2）规范性 ：对于必然事件 SP(S)1.nn（ 3）可列可加性 ：设 A1 , A2 , An 是两两互不相容的事件，有 P(Ak )P( Ak )（ n 可k1k 1以取）2概率的一些重要性质：（ i ） P( )0nn（ n 可以取（ ii）若 A,A, A是两两互不相容的事件，则有P( Ak )P( Ak )）12nk 1k 1（ iii）设 A， B 是两个事件若 AB ，则 P(BA) P( B) P( A) ， P(B) P(A )（ iv ）对于任意事件A， P(A) 1（ v） P( A) 1 P( A)（逆事件的概

4、率）（ vi ）对于任意事件A，B有 P(AB) P( A)P( B) P( AB) 4 等可能概型（古典概型）等可能概型：试验的样本空间只包含有限个元素，试验中每个事件发生的可能性相同若 事 件 A 包 含 k个基本事件，即 A ei ei ei ， 里12ki 1， i 2,， i k是1,2， n中某 k个不同的数，则有kkA包含的基本事件数P( A)P ei j中基本事件的总数j 1nS 5条件概率（ 1）定义：设 A,B 是两个事件，且 P( A) 0 ，称 P(B | A)P( AB)为事件 A 发生的条P( A)件下事件B 发生的 条件概率（ 2）条件概率符合概率定义中的三个条件

5、1。非负性：对于某一事件B，有 P(B | A)02。规范性：对于必然事件S， P(S | A)13可列可加性：设 B1,B2,是两两互不相容的事件，则有P( Bi A )P( Bi A )i 1i 1（ 3）乘法定理设 P(A)0 ，则有 P( AB)P( B)P( A | B) 称为乘法公式.n（ 4）全概率公式：P(A)P( Bi ) P( A | Bi )i 1贝叶斯公式：P(Bk| A)P( Bk )P( A | Bk )nP(Bi ) P( A | Bi )i 1 6独立性定义设 A， B 是两事件，如果满足等式P( AB) P( A)P(B) ，则称事件 A,B 相互独立定理一设

6、 A， B 是两事件，且 P( A)0，若 A， B 相互独立，则P(B | A)P B 定理二若事件 A 和 B 相互独立，则下列各对事件也相互独立：A与 B，A 与B，A 与 B第二章随机变量及其分布 1 随机变量定义设随机试验的样本空间为Se.XX(e) 是定义在样本空间S 上的实值单值函数，称 XX(e) 为随机变量 2 离散性随机变量及其分布律1 离散随机变量：有些随机变量，它全部可能取到的值是有限个或可列无限多个，这种随机变量称为离散型随机变量P( Xxk )pk 满足如下两个条件（1） pk0 ，（ 2）Pk =1k 12 三种重要的离散型随机变量（ 1）(0 - 1)分布设随机

7、变量 X只能取 0与 1 两个值，它的分布律是P( X k )k1-k， k0,1（0p1) ，则称 X服从以 p 为参数的 ( 0 - 1)分布或两p（1 - p）点分布。（ 2）伯努利实验、二项分布设实验 E只有两个可能结果： A与 A ，则称 E为伯努利实验 . 设 P(A)p（0 p 1) ，此时 P(A )1- p . 将 E 独立重复的进行n 次，则称这一串重复的独立实验为n 重伯努利实验。P(Xk )n pk q n-k， k0,1,2， n 满足条件 （1） pk0 ，（2）Pk =1 注意到kk1.n kqn-k是二项式（ pnpk的那一项，我们称随机变量X 服从参数为pq）

8、 的展开式中出现kn， p 的二项分布。（ 3）泊松分布设随机变量 X所有可能取的值为0,1,2，而取各个值的概率为P( Xk)k e-0,1,2 , 其中0是常数，则称 X 服从参数为的泊松分布记为, kk!X（） 3 随机变量的分布函数定义设 X 是一个随机变量，x 是任意实数，函数F(x)PXx,-x称为 X 的分布函数分 布 函 数 F ( x)P( Xx) ， 具 有 以 下 性 质 (1)F (x) 是 一 个 不 减 函 数（ 2 ）0F ( x)1，且 F ()0, F ()1（ 3） F ( x0)F ( x),即 F ( x)是右连续的 4 连续性随机变量及其概率密度连续随

9、机变量：如果对于随机变量X 的分布函数F（ x），存在非负可积函数f ( x) ，使对xf（ t） dt,于任意函数 x 有 F( x)则称 x 为连续性随机变量，其中函数f(x) 称为 X 的-概率密度函数，简称概率密度1 概率密度 f ( x) 具有以下性质，满足（1） f ( x)0, (2)f (x)dx 1；-（ 3） P(x1X x2 )x2f (x)dx ；（ 4）若 f ( x) 在点 x 处连续，则有 F，( x) f (x)x12, 三种重要的连续型随机变量(1) 均匀分布1，a xb若连续性随机变量X 具有概率密度 f ( x)b - a，则成 X在区间 (a,b) 上服

10、0，其他从均匀分布 . 记为 X U（ a， b）(2) 指数分布若连续性随机变量1 e-x， x. 0其中0 为常数，则称 XX 的概率密度为 f ( x)0，其他服从参数为的指数分布。（ 3）正态分布.( x21）若连续型随机变量 X 的概率密度为e22 ，x，f ( x)-2其中，（0)为常数，则称 X服从参数为，的正态分布或高斯分布，记为XN（，2）特别，当0，1时称随机变量X 服从标准正态分布 5 随机变量的函数的分布定理设随机变量 X 具有概率密度f x(x ，x, 又设函数g( x)处处可导且恒有) -g, ( x) 0 ， 则 Y= g ( X )是连续型随机变量，其概率密度为

11、fY ( y)f X h( y) h, ( y) ,y0 ， 其他第三章多维随机变量 1 二维随机变量定义 设 E是一个随机试验，它的样本空间是Se.XX(e) 和 YY(e) 是定义在 S 上的随机变量，称 XX(e) 为随机变量，由它们构成的一个向量（X， Y）叫做二维随机变量设 （ X ， Y ） 是 二 维 随 机 变 量 ， 对 于 任 意 实 数 x ， y ， 二 元 函 数F（ x，y） P(Xx)(Yy) 记成 PXx， Yy 称为二维随机变量 （ X，Y）的分布函数如果二维随机变量 （ X，Y）全部可能取到的值是有限对或可列无限多对，则称（ X，Y）是离散型的随机变量。我们

12、称 P( Xxi，Y y j)pij ，i， j1,2， 为二维离散型随机变量（X，Y）的分布律。对于二维随机变量 （X，Y）的分布函数 F（ x， y），如果存在非负可积函数f（ x，y），使对于任意 x，y 有（，）yx（， ），Ffuxy-vdudv 则称（ X，Y）是连续性的随机变量，-函数 f（ x，y）称为随机变量 （ X，Y）的概率密度， 或称为随机变量X 和 Y的联合概率密度。 2 边缘分布二维随机变量（ X， Y）作为一个整体，具有分布函数F（ x， y）.而 X和 Y都是随机变量， 各自也有分布函数，将他们分别记为F（ x), （y）XFY，依次称为二维随机变量（ X，Y）

13、关于 X 和关于 Y 的边缘分布函数。.pi?pij PX x i ， i1,2，p? jpij PY y i ，j1,2，j 1i 1分别称 pi ? p? j 为（ X， Y）关于 X 和关于 Y 的边缘分布律。f X(x)f( , ）f Y(y)f( , ）分别称 fX( x) ，x y dyx y dxfY (y) 为 X， Y 关于 X 和关于 Y 的边缘概率密度 。 3 条件分布定义设（ X， Y）是二维离散型随机变量，对于固定的j ，若y j0,P Y则称 P X xi Yy j P Xxi ,Yy j pij, i1,2,为在 Yy j 条件下PYy j p? j随机变量 X

14、的条件分布律， 同样 PYy jXX i P Xxi ,Yy j pij, j1,2,P Xxi pi?为在 X xi条件下随机变量X 的条件分布律。设二维离散型随机变量（X，Y）的概率密度为f ( x, y) ，（ X，Y）关于 Y 的边缘概率密度为 fY ( y) ，若对于固定的y， fY ( y) 0，则称 f ( x, y) 为在 Y=y 的条件下 X 的条件概率密fY ( y)f (x, y)度，记为 f X Y ( x y) =fY ( y) 4 相互独立的随机变量定义 设 F（ x， y）及 FX ( x) ， FY ( y) 分别是二维离散型随机变量（X， Y）的分布函数及边缘

15、分布函数 . 若对于所有 x,y 有 P Xx,YyP XxPYy ，即F x, y FX ( x)FY (y) ，则称随机变量X 和 Y 是相互独立的。对于二维正态随机变量（X， Y）， X 和 Y 相互独立的充要条件是参数0 5 两个随机变量的函数的分布1，Z=X+Y的分布设 (X,Y) 是二维连续型随机变量，它具有概率密度f ( x, y) . 则 Z=X+Y仍为连续性随机变量，其概率密度为f X Yz)f(z y y dy或f X Yzfxz x）dx(,）( )( ,又若 X 和 Y 相互独立，设（ X， Y）关于 X， Y 的边缘密度分别为f X (x), fY ( y) 则.f(

16、 z)f( zy） f（y)dy 和 f( z)f( x） f (zx)dx 这两个公式称为XYXYXYXYf X , fY 的卷积公式有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布2， ZY 的分布、 ZXY的分布X设 (X,Y) 是二维连续型随机变量，它具有概率密度f (x, y) ，则 ZY ，ZXYX仍为连续性随机变量其概率密度分别为fY Xzx fxxz dx( )(, )f XY ( z)1 f ( x, z )dx 又若 X 和 Y 相互独立，设（ X， Y）关于 X，Y 的边缘密度分别为xxf X ( x), f Y ( y)则可化为 fz)fxfYxz dxf XY

17、(z)1f X (x) fYzY X (X ( )( )x( )dxx3 MmaxX ，Y 及 Nmin X ,Y的分布设 X， Y 是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为FX (x), FY ( y) 由于MmaxX ，Y 不大于 z 等价于 X 和 Y都不大于 z 故有 PMzPXz,Yz 又由于 X 和 Y 相互独立，得到MmaxX ，Y的分布函数为( )()()FmaxzFX z FYzNmin X ,Y 的分布函数为Fmin (z)11FX ( z) 1FY ( z)第四章随机变量的数字特征 1数学期望定义设离散型随机变量X 的分布律为 P Xxk pk ，k=1,2 ， 若

18、级数kpk 绝对xk 1收敛，则称级数kpk 的和为随机变量X 的数学期望，记为E(X)，即E(X )kpkxxk 1i设连续型随机变量X 的概率密度为f (x) ，若积分xf ( x) dx 绝对收敛，则称积分xf ( x)dx 的值为随机变量X 的数学期望，记为 E( X ) ，即 E(X )xf (x) dx定理设 Y 是随机变量 X的函数 Y= g( X ) (g 是连续函数 ).（ i ）如果 X 是离散型随机变量 ，它的分布律为 P X x k pk ，k=1,2 ， 若g( xk）pkk 1绝对收敛则有E(Y)E(g (X )k 1g( xk）pk（ ii）如果 X 是连续型随机

19、变量 ，它的分概率密度为f (x) ，若g( x) f ( x)dx 绝对收敛则有 E(Y)E( g( X )g( x) f ( x)dx数学期望的几个重要性质1设 C是常数，则有E(C)C2设 X 是随机变量， C 是常数，则有E(CX )CE(X)3设 X,Y 是两个随机变量，则有E( XY )E(X ) E(Y) ；4设 X， Y 是相互独立的随机变量，则有E( XY) E( X )E(Y)2方差定义设 X是一个随机变量， 若 EXE( X ) 2 存在，则称 E XE( X ) 2 为 X的方差，记为 D（ x）即 D（ x） =XEX)2 ，在应用上还引入量D(x)( x)E，记为，

20、称为标(准差或均方差。D(X) E(X E(X)2E(X 2) (EX )2方差的几个重要性质1设 C是常数，则有 D(C)0,2设 X 是随机变量， C 是常数，则有D(CX )C2D(X) ， D(XC )D(X)3 设 X,Y 是两个随机变量，则有D ( XY)D(X)D(Y)2E(X - E(X)(Y- E(Y) 特别，若 X,Y 相互独立，则有D ( XY )D(X) D(Y)4D(X)0 的充要条件是X 以概率1 取常数 E(X) ，即 P XE(X )1切比雪夫不等式：设随机变量X 具有数学期望 E( X )2，则对于任意正数，不等式2PX-2成立 3 协方差及相关系数.定义量

21、E XE( X ) YE(Y) 称为随机变量X 与 Y 的协方差为Cov( X , Y) ，即Cov ( X , Y)E( XE( X )(YE(Y )E( XY )E ( X )E(Y)而XYCov (X ， Y ）称为随机变量X 和 Y 的相关系数D(X)D(Y)对于任意两个随机变量X 和 Y， D ( XY)D ( X )D (Y)2Cov (X , Y)_协方差具有下述性质1 Cov ( X ,Y )Cov(Y , X ), Cov( aX , bY)abCov ( X ,Y )2(X1X 2,Y)(,Y)(X 2,Y)CovCov X 1Cov定理1XY12XY1的充要条件是，存在常数a,b使 PYa bx1当XY0 时，称 X和 Y 不相关附：几种常用的概率分布表分布参数分布律或概率密度数学期望两点分0p1P Xk)pk (1 p)1k , k0,1，p布二项式n1Cnkp k (1p) n k , knpP( Xk )0,1,n ，分布0p1泊松分0P( Xk)k e0,1,2,布, kk!几何分0p1P( Xk)(1p) k 1 p, k1,2,1布p均匀分f ( x)1, a x b ，a ba bb a布20，其他指数分0