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1、第十二章无穷级数一、常数项级数1、 常数项级数：1) 定义和概念：无穷级数：n， un 0unu u uu部分和：S正项级数：nuk u1 u2 u3un123nnun 1k 1n 1级数收敛：若 lim SnS 存在，则称级数un 收敛，否则称级数un 发散nn 1n12) 性质：? 改变有限项不影响级数的收敛性；如级数收敛 , 各项同乘同一常数仍收敛?两个收敛级数的和差仍收敛，级数an ，bn 收敛，则( nn ) 收敛；注：一敛、一散之和必发散；两散和、差必发散 .abn 1n 1n1?去掉、加上或改变级数有限项不改变其收敛性级数an收敛，则任意加括号后仍然收敛；n 1?若级数收敛则对这

2、级数的 任意项加括号 后所成的级数 仍收敛，其和不变，且 加括号后 所成的级数发散则原来级数 也发散注：收敛级数去括号后未必收敛 .?必要条件： 级数un 收敛lim un0. （注意：不是充分条件！唯一判断发散条件）n1n3)审敛法：（条件： 均为正项级数表达式：un ， un0） lim SnS 前 n 项和存在极限 则收敛；un 收敛Sn有界；n1nn 1?比较审敛法：且 unv n( n1,2,3, )，若vn 收敛，则un 收敛；若un 发散，则vn 发散 .n1n 1n 1n1?比较法的极限形式： lim unl(0l) ，而vn 收敛，则un 收敛；若 lim un0 或 lim

3、 un，而vn发散，则un 发散.nvnn 1n1nv nnv nn 1n 1?比值法： limun1l，当： l1时，级数un 收敛； l1时，级数un发散； l1 时，级数un 可能收敛也可能发散 .unnn 1n1n12、 交错级数：莱布尼茨审敛法：交错级数：n， u0满足： uu(n1,2,3,)，且 limun0，则级数n收敛。un( 1) unnn 1nn( 1)n 1n 1条件收敛 ：un收敛，而un发散； 绝对收敛 ：收敛。u 绝对收敛，则un收敛。unn 1nn1n 1n1n1其他级数： 等比级数：n收敛，q1；调和级数：1收敛， p1n 0aq发散，q1n 1 np发散， p1二、函数项级数（幂级数：an x n ）n 01a n1，则收敛半径1（缺项级数用比值审敛法求收敛半径）、 limR,0; R,0; R 0 ,.na n2、()的性质：在收敛域I上连续 ; 在收敛域(R, )( )在收敛域I上可积分，且可逐项和函数 s xR 内可导，且可逐项求导; 和函数 s x积分 .(R 不变 , 收敛域可能变化 ).第 1 页 共 2 页( n)f( n 1)n 13、泰勒级数： f ( x)f ( x0 )(

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