毕业论文_浅谈中学数学中的反证法,审核通过

1、毕业论文学生XXX学号1610010XXX学院数学科学学院专业数学与应用数学题目浅谈中学数学中的反证法指导教师XXX副教授 /博士2014年5月摘 要 :反证法是从反面的角度来思考问题的证明方法. 在此文章中主要阐明了反证法的概念、证明的一般步骤、反证法的种类及其在中学数学中的应用.关键词： 反证法，适用围，假设Abstract: Proof by contradiction is a method to prove the problem from the opposite point of view. In this article, we mainly dicuessed the def

2、inition of proof by contradiction and the general steps of it. Furthermore, we applied it in Mathematics in middle school.Key word: Proof by contradiction, scope of application , hypothesis目录1 引言42 反证法的概述43 反证法的适用围 .54 运用反证法应该注意的问题10总结 .11参考文献 .12致131 引言1589 年，意大利的科学家伽利略登上了比萨斜塔，同时丢了两个不同质量的铁球. 用实验推翻了

3、古希腊科学家亚里士多德的“不同重量的物体从高处下落的速度与其重量成正比”的论断 . 而在此之前伽利略做了如下的推理论证：假设假设亚里士多德的断言是正确的. 设物体 a 比物体 b 的重量重很多，则a 应比 b 先落地 . 现在把物体 a 和 b 绑在一起成为物体 c ，则 c = a +b . 一方面，由于 c 比 a 要重，它应该比 a 先落地 . 另一方面，由于 a 比 b 落得快， a 、 b 一起的时候， b 应该是“拉了 a 的后腿”迫使 a 的下落速度减慢，所以， 物体 c 应该比 a 后落地 . 这样一来， c 应比 a 先落地又应比 a后落地，这样产生了矛盾，所以假设是不成立的

4、. 因此亚里士多德的断言是错误的.伽利略的论证是有力的，逻辑性极强的，而伽利略的这种方法就是我们现在将要介绍的反证法 . 反证法在初中高中数学学习中有很多的运用，乃至大学或者更高的学习中都会用到反证法 .它不仅是一种解题方法，更是一种锻炼学生逆向思维的手段 .本文重点总结了反证法的概念，反证法的一般步骤，以及反证法的种类和适用围等方面，同时指出了使用反证法时应该注意的问题 .2 反证法的概述2.1反证法的概念反证法就是指“证明某个命题时，先假设它的结论的否定成立，然后从这个假设出发.根据命题的条件和已知的真命题，经过推理论证得出与已知事实（条件，公理，定义，定理，法则，公式等）相矛盾的结果.这

5、样就证明了结论的否定是不成立的，从而间接的肯定了原命题的结论成立 .”这种证明方法叫做反证法.还有人将反证法总结为证明逆否命题的方法.他们认为证明原命题的真假，就是证明原命题的逆否命题是否成立.若一个命题为“若A则B”,当AB 为真，则BA（其中B表示命题B 的否定）为真，当AB 为假，则BA为假.2.2运用反证法的步骤运用反证法证题一般分为三个步骤：1）假设原命题不成立；2）从这个结论出发，经过推理论证得出矛盾；3）由矛盾判定假设不成立，从而肯定原命题的结论正确.即先提出假设，然后推出矛盾，最后肯定结论.2.3反证法的种类应用反证法的关键在于归谬，因此，反证法又称为归谬法.按照反设所涉及到的

6、情况多少，反证法可以分为归谬反证法和穷举反证法两种.1）若结论的反面只有一种情况，那么，反设单一只须驳倒这种情况便可以达到反设的目的，这叫归谬反证法 .2）若结论的反面不止一种情况，那么，要将各个反面情形都一一驳倒，最终才能肯定原命题正确，这叫穷举反证法.3 反证法的适用围我们知道，若一个数学命题形如“若A 则 B”式，一般都能够用反证法来证明.证题的实践告诉我们，下面几种命题用反证法来证明时，显得更加方便、有效.3.1否定性命题否定性命题即结论以“没有”、“不是”、“不能”等形式出现的命题 .这样的命题在用直接证法时一般不易入手，而此时使用反证法则能另辟蹊径，有望成功.例 1 设 an、 b

7、n 是公比不相等的两个等比数列. cnanbncn不是等比数列.证明 假设 cn 是等比数列 .则 cncn 2cn21 ,即anbnan 2bn 2an 1bn 12,整理得到anan 2an bn 2bn an 2bn bn 2 an2 12an 1bn 1bn2 1 .因为 an ， bn 是等比数列，所以 an an 2an21 ,bnbn 2bn21 .由式可得anbn 2bn an 22an 1bn 1 .设 an 1an q1 , bn 1bn q2 ，则an bn q22bn an q122an q1 bn q2 .因为 anbn0 ，所以q22q122q1 q2 .即q1q2

8、2q2 与已知条件两个等0 ，所以 q1比数列公比不相等矛盾 .所以 cn不是等比数列 .分析在这题中要求证明cn 不是等比数列，而直接证明一个数列不是等比数列并没有条件可寻，因此，在此时使用反证法，假设cn 是等比数列，一个数列是等比数列是有条件的，这使得证明变得有迹可循.3.2限定性命题限定性命题即结论中含有“至多” 、“至少”、“不多于”或“最多”等词语的命题.这类命题在证明时巧妙运用反证法会给证明带来意想不到的简便效果.例 2 把 44 位同学分成若干小组，使每组至少有1 人，且任意两组的人数不相等，则证明至多分成8 组.证明 假设 44 位同学分成n组，nN且n因为任意两组人数不相等

9、， 所以 n 个9 .小组的同学总共至少有人数为123+L+n=n n+12.因为 n 9 ，所以总共人数n n+191045 人，超过了已知的44 人，与已知矛盾 .所以22至多分成 8 组.例 3 设 a, b, c,0,则 a1 ， b1 ， c1 至少有一个不大于2 .bca证明 假设 a1 ， b1 ， c1 都大于2.即bc1ab 11a2,2,c2 .bca将三个式子相加，得a1 + b1 + c16 .（1）bca又因为 a12 , b12, c12.将 三个式子相加，得abca1 + b1 + c16 .（2）bca结合（ 1）（2）两式，发现相互矛盾,则假设是错误的.所以a

10、1， b1， c1至少有一个bca不大于2.3.3无穷性命题无穷性命题即涉及到各种“无限”结论的命题.证明无穷性命题时，直接证明故然能够得到结论，但运用反证法来证明可以简易很多.例 4 证明 质数的个数是无穷的 .证明 假设质数的个数是有限的.不妨设有 k 个质数，则可以将全体质数列举如下p1, p2, p3, .pk .令qp1. p2.p3 .pk +1，其中， q 是自然数 .且 q 不能被 p1, p2, p3, .pk 中任何一数整除， 所以 q 是质数 .这与假设只有k 个质数 p1, p2, p3, .pk 矛盾，因此质数的个数是无穷的.3.4唯一性命题唯一性命题即结论有“有且仅

11、有” ，“只有一个”等词语的论题 .由做题的实践经验告诉我们，在证明唯一性命题时，使用反证法最为直接有效 .例 5证明 过直线外一点，有且只有一条直线和这条直线平行 .已知点 p ，直线求证过点 p 和直线 l 平行的直线a有且只有一条 .l .证明 假设过点 p 还有一条直线 b 与直线 l 平行 . 因为 点 p 在直线 l 外,所以 点 p 和直线 l确定一个平面在平面过点 p 能作出一条直线与直线 l 平行 .（由平面几何知识得）.所以直线a存在 .因为直线 l /al / b 所以直线a/ b 这与直线a， b 共过 p 点矛盾，故假设,.不成立 ,所以直线 a 是唯一的 .故，过直

12、线外一点，有且只有一条直线和这条直线平行.3.5整除性命题整除性命题即结论有“能够整除”或者“能够被整除”等相近词语的论题.例 6 设 a ， b 都是整数， a2b2 能被 3 整除，证明a 和 b 都能被 3整除 .证明 分三种情况：1 a ， b 都不能被 3 整除 .因为 a 不能被 3 整除，故 a2 不能被 3 整除 .同理b2 不能被 3 整除 .所以a2b2 不能被 3整除，与已知相矛盾 .2 a 能被 3 整除， b 不能被 3整除 .由此可知， a2 能被 3 整除， b2 不能被 3整除 ,所以 a2b2 不能被 3 整除，与已知相矛盾 .3 a 不能被 3 整除， b

13、能被 3 整除 ,与 2同理， a2b2 不能被 3 整除，与已知相矛盾 .由 1、2、3与已知矛盾可知，假设不成立 .所以原命题成立 .3.6某些存在性命题某些存在性命题即某些结论有“存在使、“存在满足条件的”等词语的论题.这些命题在证明时需要更加灵活的运用反证法.例 7 设 m, n0,1 ，求证：对于 AR, BR ，存在有满足条件的m, n ，使得mnAmBn成立 .13证明 假设对于一切的 m, n0,1 ，使 mn Am Bn1恒成立 .13令 m0, n1，则 B.3令 m1,n0，则 A1 .31 .令 m n 1 ,得 1 A B3而 1A B1 AB 1111 , 则产生矛

14、盾 .所以假设不成立，原命题成立 .3333.7不等性命题不等性命题即如不等式等形式的论题. 在使用反证法时要注意结论的反面情况，若结论的反面情况有无穷多种，那么就不能够使用反证法.例 8当 p0, q 0, p3q32 ，证明 pq2.证明 假设 pq2 则 p38 ，即qp3q33pq( pq)8 ,因为 p3q32 ，故 pq ( p q)2 .于是pq( pq)2p3q3pqp2pqq2 .又因为 p0, q0 ，即 pq0 ,所以 pqp2pqq2 ，即p q20 , 此式不成立 .所以假设不成立，当 p0, q0, p3q32 时 pq2.例 9已知 a, b, c, dR ，且

15、adbc1 ，证明 a2b2c2d 2abcd 1.证明 假设a2b2c2d 2ab cd 1 .把 adbc1代入前式可得a2b2c2d 2ab bc ad cd 0 ,即a2b2c d2ad2bc0 .因为 a,b,c,dR ，所以 abb c cdad0 .因为 abc d ，则 ad bc0 与ad bc1 矛盾 .所以假设不成立，原命题成立 .3.8起始性命题学科中的起始性命题即是基本的定理、公理.此类命题因为已知条件和能应用的定理、公式、法则较少，或能推论出的结论很少，故用直接证明法较难，应用反证法来证明.例 10 证明 两条相交直线有且只有一个交点.已知直线 x ， y 相交于点

16、 P ，证明x ， y 只有 P 一个交点 .证明 假设直线 x ， y 相交不止一个交点 .则至少有两个交点 P ，Q .则直线 x 是由 P ， Q 两点确定的直线， 直线 y 是由 P ，Q 两点确定的直线 .即由 P ，Q 两点确定了两条直线， x ， y .与已知公理“两点只确定一条直线”矛盾 .所以 假设不成立，则两条相交直线有且只有一个交点 .例 11证明在一个三角形中，不能有两个钝角 .已知A,B,C 是 ABC 的三个角，求证A,B,C 中不能有两个钝角 .证明 假设A,B, C 中有两个钝角 .不妨设B90, C90 .则A BCA 180,A0 .则ABC180.与已知公

17、理“三角形的角和为 180 ”矛盾 .故假设不成立，即在一个三角形中，不能有两个钝角 .例 12 直线 PO与平面相交于O，过点O在平面引直线OA、 OB、OC 、POAPOBPOC ， 证明PO.（图1）证明 假设 PO 不垂直于平面.如图H 、O不重合，连接OH .由 P作PE1 所示，作 PH OA于E， PF并与平面相交于点 H ，此时OB 于 F ，根据三垂线定理知：HEOA, HF因为POAOH = OH ，所以同理， OH 是OB .POB ,PO 是 公共 边， 所以Rt POERt POF . 因 此 OE = OF . 又Rt OFHRt OEH .所以FOHEOH .因此

18、，OH 是AOC 的平分线 .AOC 的平分线 . 而 OB 和 OC 是两条不重合的直线，OH 不可能同时作为AOB 和AOC 的平分线 .产生矛盾 .所以假设不正确 .所以原命题成立，PO.分析 在证明此类基本命题时， 使用反证法证明比起直接证明有的好处是不必要再结合另外太多的定理，给论题的证明缩小了围，同时也带来了方便和新的开拓思路.4 运用反证法应该注意的问题4.1必须正确否定结论运用反证法证明命题的第一步就是：假设命题的结论不成立.即假设结论的反面成立.在这一步骤中，须注意反设的正确，如果错误的“否定结论”，即使推理再好也会前功尽弃.要做出正确的反设，必须注意以下几点：1）分清命题的

19、条件与结论、结论与反设间的逻辑关系.2）结论的反面常常不止一种，则需要反设后，分别就各种情况归谬，做到无一遗漏.3）一些常用词的否定形式列表词语词语的否定词语词语的否定是不是必有 1个1 个也没有一定是一定不是至少有 n 个至多 n 1个都是不都是至多有 1个至少有 2个大于小于或等于至多有 n 个至少有 n 1个小于大于或等于所有 x 都成立存在一个 x 不成立且或所有 x 不成立存在一个 x 成立4.2 必须明确推理特点否定结论从而导出矛盾是反证法的任务.但何时出现矛盾，出现什么矛盾是不可预测的，也没有一个机械标准.但一般总是在相关领域里考虑（相关的公理、定义、定理等），这是反证法的推理特

20、点 .因此，在推理前不必要先规定好要得出什么矛盾，只要正确的否定结论，严格遵循推理规则进行每一步有理有据的推理，总会出现矛盾.而矛盾一经出现，证明即告结束.4.3了解矛盾种类反证法推理过程中，出现的矛盾是多样的，推理导出的结果可能与题设或部分题设矛盾，也可能与已知的定义或公理，定理或性质相矛盾，可能与临时假设矛盾，也可能是推出一对相互矛盾的结果 .总结反证法在中学数学中占有重要的地位，是一种重要的证明方法.反证法在数学命题的证明中有着直接证明所起不到的作用，若恰当的使用反证法，就可以化繁为简、化难为易、化不可能为可能 .反证法在数学学习的很多方面有着特殊的、不可替代的作用.它用其独特的思维方式

21、和证明方法对培养学生的逻辑性思维能力和创造性思维能力有着重要意义.数学的证明时千变万化的，然而不变的是证明的步骤和证明的方法，反证法这种证明方法不仅可以在证明论题时单独使用，也可以结合其他的证明方法一起使用，在证明论题时灵活多变 .而在证明较为复杂的论题时，反证法可以多次使用，只要我们熟练的掌握了反证法，在证明时能够正确又灵活的运用反证法，就能够做到精巧、有力、方便直接、论证严谨、有理有据、巧解难题，提高我们解数学题的能力.然而，反证法却是数学学习中比较难教和难学的容 .如何有效的提高和改良反证法的教学， 是摆在中学数学教师面前的一个重要课题 . 我们要进行有效的数学教学，让学生真正的理解它、

22、掌握它，从而能够熟练而灵活的运用它.参考文献1蓝涧，南秀全，初中数学奥林匹克竞赛全真试题M ，：教育， 2012.2曲一线 . 五年高考三年模拟高考理数 M ，：首都师大学， 2013.3 高珑珑 . 反证法例说 J ，中学数学月刊， 1997,4:19-21.4 龙. 反证法的理论基础与适用围 J. 师专学报， 1999,2:3-4.5 程里春，庆毓 . 反证法 M. ：人民， 2001.6 刊. 常见反证法解题的几种类型 J. 中学数学教与学， 2002,12:16-19.7金敏 .浅谈数学证明中的反证法J.现代交际， 2010， 12:40-43.致在论文即将完成之际，我的心情十分激动，从论文的选题、资料的收集、容的排版到格式的规，我得到了来自身边的老师、朋友、同学以