相似三角形难题集锦

1、相似三角形1. 如图，在 Rt ABC中， ACB=90， AC=3，BC=4，过点 B 作射线 BB1AC动点 D 从点 A 出发沿射线 AC方向以每秒 5 个单位的速度运动，同时动点 E 从点 C 沿射线 AC方向以每秒 3 个单位的速度运动过点 D 作 DHAB于 H，过点 E 作 EF AC交射线 BB1于 F，G是 EF 中点，连接 DG设点 D 运动的时间为 t 秒（1）当 t 为何值时， AD=AB，并求出此时DE的长度；（ 2）当 DEG与 ACB相似时，求t 的值2. 如图，在 ABC中， ABC90， AB=6m，BC=8m，动点 P 以 2m/s 的速度从A 点出发，沿A

2、C向点 C 移动同时，动点Q以 1m/s 的速度从 C 点出发，沿 CB向点 B 移动当其中有一点到达终点时，它们都停止移动设移动的时间为t 秒（1）当 t=2.5s时，求 CPQ的面积；求 CPQ的面积 S（平方米）关于时间t （秒）的函数解析式；（2）在 P， Q移动的过程中，当CPQ为等腰三角形时，求出t 的值3. 如图 1，在 Rt ABC中， ACB90， AC 6，BC 8，点 D 在边 AB上运动， DE平分 CDB交边 BC于点 E，EM BD，垂足为 M，ENCD，垂足为 N（1）当 AD CD时，求证： DE AC；（ 2）探究： AD为何值时， BME与 CNE相似？4.

3、 如图所示，在ABC中， BA BC 20cm，AC30cm，点 P 从 A 点出发，沿着AB以每秒 4cm 的速度向 B 点运动；同时点Q从 C 点出发，沿CA以每秒 3cm 的速度向 A 点运动，当P 点到达 B 点时， Q点随之停止运动设运动的时间为x （1）当 x 为何值时， PQBC？（2） APQ与 CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能说明理由5. 如图，在矩形 ABCD中， AB=12cm，BC=6cm，点 P 沿 AB边从 A 开始向点 B 以 2cm/s 的速度移动；点 Q沿 DA边从点 D 开始向点 A 以 1cm/s 的速度移动如果 P、Q同时出发，用 t （ s

4、）表示移动的时间（ 0t 6）。（1）当 t 为何值时， QAP为等腰直角三角形？（2）当 t 为何值时，以点Q、 A、P 为顶点的三角形与ABC相似？6. 在平面直角坐标系xOy 中，点 A 的坐标为 (2 ，1) ，正比例函数y=kx 的图象与线段OA的夹角是45，求这个正比例函数的表达式7. 在 ABC中， AB=， AC=4，BC=2，以 AB 为边在 C 点的异侧作 ABD，使 ABD为等腰直角三角形，求线段CD的长8. 在 ABC中， AC=BC，ACB=90，点 M是 AC上的一点，点N 是 BC上的一点，沿着直线MN折叠，使得点C恰好落在边AB上的 P 点求证： MC：NC=A

5、P：PB9. 如图，在直角坐标系中，矩形 ABCO的边 OA在 x 轴上，边 OC在 y 轴上，点 B 的坐标为（ 1， 3），将矩形沿对角线 AC翻折 B 点落在 D 点的位置，且 AD交 y 轴于点 E那么 D 点的坐标为（）A. B. C. D.10. 已知，如图，直线 y= 2x 2 与坐标轴交于 A、B 两点以 AB 为短边在第一象限做一个矩形 ABCD，使得矩形的两边之比为 1 2。求 C、D两点的坐标。11. 如图： ABC中， D 是 AB上一点， AD=AC，BC边上的中线 AE交 CD于 F。求证：12. 四边形 ABCD中， AC为 AB、AD的比例中项，且AC平分 DA

6、B。求证：13. 在梯形 ABCD中， ABCD，ABb， CD a，E 为 AD边上的任意一点， EF AB，且 EF 交 BC于点 F，某同学在研究这一问题时，发现如下事实：(1)当时， EF=；(2) 当时， EF=；(3)当时， EF=当时，参照上述研究结论，请你猜想用a、 b 和 k 表示 EF 的一般结论，并给出证明14. 已知：如图，在 ABC中， M是 AC的中点， E、 F 是 BC上的两点，且 BEEFFC。求 BN： NQ： QM15. 证明：（1）重心定理：三角形顶点到重心的距离等于该顶点对边上中线长的 （注：重心是三角形三条中线的交点） . （2）角平分线定理：三角形

7、一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例16. 如图，在等边ABC中， M、N 分别是边 AB，AC的中点， D为 MN上任意一点， BD、 CD的延长线分别交AC、 AB于点 E、F求证：17. 已知：如图，梯形 ABCD中， AB/DC，对角线 AC、 BD交于 O，过 O作 EF/AB 分别交 AD、BC于 E、F。求证：18. 如图，在 ABC中，已知 CD为边 AB上的高，正方形 EFGH的四个顶点分别在 ABC上。求证：19. 已知，在 ABC中作接菱形CDEF，设菱形的边长为a求证：20. （ 1）如图 1，点在平行四边形ABCD的对角线 BD上，一直线过点P

8、 分别交 BA，BC的延长线于点Q， S，交于点求证：（ 2）如图 2，图 3，当点在平行四边形 ABCD的对角线或的延长线上时，是否仍然成立？若成立，试给出证明；若不成立，试说明理由（要求仅以图 2 为例进行证明或说明） ；21. 如图，在平行四边形 ABCD中，过点 A 作 AE BC，垂足为 E，连接 DE，F 为线段 DE上一点，且 AFE B.(1) 求证： ADF DEC(2)若 AB 4,AD33 ,AE 3, 求 AF的长 .22. 如图，已知等腰三角形ABC中， AD，BF 分别为 BC， AC边上的高，过 D 作 AB 的垂线交 AB于 E，交 BF于 G，交 AC延长线于

9、 H。求证：2DE=EG?EH23. 已知如图， P 为平行四边形 ABCD的对角线 AC上一点，过 P 的直线与 AD、BC、CD的延长线、 AB的延长线分别相交于点 E、F、 G、H.求证：24. 已知，如图，锐角ABC中， ADBC于 D，H 为垂心（三角形三条高线的交点）；在 AD上有一点P，且 BPC为直角 求证： PD2 AD DH 。25. 已知如图， CD是 Rt ABC斜边 AB上的高， E 为 BC的中点， ED的延长线交 CA于 F。求证：26 如图，在 Rt ABC中， CD是斜边 AB上的高，点M在 CD上， DHBM且与 AC的延长线交于点E.求证：（ 1） AED

10、 CBM；（ 2）27. 如图， ABC是直角三角形， ACB=90， CD AB于 D，E 是 AC的中点， ED的延长线与 CB的延长线交于点F.（1）求证： .（2）若 G是 BC的中点，连接 GD， GD与 EF垂直吗？并说明理由 .28. 如图，四边形 ABCD、DEFG都是正方形，连接 AE、 CG,AE与 CG相交于点 M，CG与 AD相交于点 N求证：29. 如图， BD、 CE分别是 ABC的两边上的高，过D 作 DG BC于 G，分别交CE及 BA的延长线于F、H。2求证：（ 1）DG BG CG；（ 2） BG CG GF GH30. ABC和 DEF是两个等腰直角三角形

11、， A= D=90， DEF的顶点 E 位于边 BC的中点上（1）如图 1，设 DE与 AB交于点 M， EF 与 AC交于点 N，求证： BEM CNE；（2）如图 2，将 DEF绕点 E 旋转，使得 DE与 BA 的延长线交于点 M，EF 与 AC交于点 N，于是，除（ 1）中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论31. 如图，四边形ABCD和四边形 ACED都是平行四边形，点R 为 DE的中点， BR分别交 AC、CD于点 P、QACE FBE；（1）请写出图中各对相似三角形（相似比为1 除外）；（ 2）求 BP： PQ： QR32. 如图，在 ABC中， ADBC于

12、 D，DEAB于 E，DFAC于 F。求证：33. 如图， Rt AB C（ 1）证明：（ 2）设 ABC=是由 RtABC绕点 A 顺时针旋转得到的，连结 CC交斜边于点E， CC的延长线交 BB于点 F，CAC= ，试探索、满足什么关系时，与是全等三角形，并说明理由ACEFBEBFBCECA34. 在直角梯形 OABC中， CBOA， COA90o， CB3，OA6，BA3 5分别以 OA、OC边所在直线为 x 轴、 y 轴建立如图 1 所示的平面直角坐标系（ 1）求点 B的坐标；（ 2）已知 D、E 分别为线段 OC、OB上的点， OD5，OE2EB，直线 DE交 x 轴于点 F求直线

13、DE的解析式；（ 3）点 M是（ 2）中直线 DE上的一个动点，在 x 轴上方的平面是否存在另一个点N使以 O、D、 M、N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点 N的坐标；若不存在，请说明理由yMDMBC2DEAOBN1N O图 15-1AFxMD2AOB1C35. 在图 15-1 至图 15-3中，直线与线段相交于点，1 = 2 =45（1）如图15-1 ，若=MNABOAO，请写出与BD的数量关系和位置关系；OBAOAO =N图 15-2（2）将图 15-1 中的绕点顺时针旋转得到图15-2 ，其中求证：=， ；MNOOBACBD ACBDM（ 3）将图15-2 中的拉长为的k倍得到图

14、15-3 ，求 BD 的值OBAOACD2AOB1CN图 15-336. 如图，在正方形中，E是上的一点 , 连结，作，垂足为, 交于, 作 , 交BF于 .ABCDBCAEBFAEHCDFCG AEG(1) 求证 = ; (2)2;FC 2GF=(3)=.CG BHFC BFGFAB 2GBAD37. 卫同学在一次课外活动中， 用硬纸片做了两个直角三角形，见图、 图中， B=90， A=30，BC=6cm；图中， D=90，E=45，DE=4cm图是卫同学所做的一个实验：他将 DEF的直角边 DE与 ABC的斜边 AC重合在一起，并将 DEF沿 AC方向移动 在移动过程中，D、E 两点始终在

15、G AC边上 ( 移动开始时点 D 与点 A 重合 ) (1)FF、C 两点间的距离逐渐 在 DEF沿 AC方向移动的过程中，卫同学发现：H(填“不变”、“变大”或“变小” )BC(2)卫同学经过进一步地研究，编制了如下问题：E问题：当 DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时， F、C 的连线与 AB平行 ?问题：当 DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，以线段 AD、 FC、 BC的长度为三边长的三角形是直角三角形?问题：在 DEF的移动过程中，是否存在某个位置，使得FCD=15?如果存在，求出 AD的长度；如果不存在，请说明理由请你分别完成上述三个问题的解答过程38. 已知 ABC中

16、， AB25 ， AC 45 ，BC6（1）如图 1 点 M为 AB的中点，在线段AC上取点 N，使 AMN与 ABC相似，求线段MN的长；（2）如图 2, 是由 100 个边长为1 的小正方形组成的1010 正方形网格，设顶点在这些小正方形顶点的三角形为格点三角形，请你在所给的网格中画出格点A1 B1 C1 ，使得 A1B1 C1 与 ABC全等（画出一个即可，不需证明）试直接写出在所给的网格中与ABC相似且面积最大的格点三角形的个数，并画出其中的一个（不需证明）39. 已知直角坐标系中菱形 ABCD的位置如图， C，D两点的坐标分别为 (4,0) ，(0,3). 现有两动点 P, Q分别从

17、 A, C同时出发，点 P 沿线段 AD向终点 D 运动，点 Q沿折线 CBA向终点 A 运动，设运动时间为 t 秒.(1) 填空：菱形ABCD的边长是、面积是、高 BE的长是；(2) 探究下列问题：若点P的速度为每秒1 个单位，点Q的速度为每秒 2个单位 . 当点Q在线段上时，求的面积S关于t的函数关系式，以及S的最大值。BAAPQ若点P的速度为每秒1 个单位，点Q的速度变为每秒k个单位，在运动过程中, 任何时刻都有相应的k值，使得沿它的一边翻折，翻折前APQ后两个三角形组成的四边形为菱形. 请探究当 t =4 秒时的情形，并求出k 的值 .40. ABC中， AB=AC， D为 BC的中点，以 D 为顶点作 MDN=B（1）如图（ 1）当射线 DN经过点 A 时， DM交 AC边于点 E，不添加辅助线，写出图中所有与ADE相似的三角形（2）如图（ 2），将 MDN绕点 D 沿逆时针方向旋转，DM， DN分别交线段AC， AB于 E， F 点（点 E 与点 A 不重合），不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论（3）在图（ 2）中，若 AB=AC=10， BC=12，当 DEF的面积等于 ABC的面积