线性代数行列式经典例题22998(20201226022112)

1、.线性代数行列式经典例题例 1 计算元素为 aij= | i j | 的 n 阶行列式 .解方法 1由题设知，a11 =0， a12 1，, a1 nn 1,，故01n101n 1Dn10n2riri 1111i n ,n 1,2n1n 20111c jcnj 1,n 1n 1nn 1021( 1)n 1 2n 2 (n1)020001其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行第二步用的每列加第n 列01n1111方法 2D n10n2ri ri1111i 1,2,n 1n1n 20n 1n 20100c jc1120= ( 1)n 12n 2 ( n 1)j 2,nn12n3n1例 2. 设

2、 a, b, c 是互异的实数 , 证明 :的充要条件是a +b +c =0.证明 :考察德蒙行列式 :=.行列式 即为 y2 前的系数 . 于是=所以 的充要条件是a +b + c = 0.x100例 3 计算 Dn =0x10anan 1an 2x a1解：方法1递推法按第 1 列展开，有1x1Dn = x D n 1+（ 1） n 1 a nx1= x D n 1+ a nx1 n 1由于 D1 = x + a 1 ， D2x1，于是 Dn = x Dn 1 + a n =x（ x Dn 2+a n 1 ） + a n =x 2 Dn 2 +a2x a1a n 1x + a n = =

3、x n 1 D1 + a 2 x n 2 + + a n 1 x + a n = xna1xn 1an 1x an方法 2第 2 列的 x 倍，第 3 列的 x 2 倍，第 n 列的 x n 1 倍分别加到第1 列上0100cxc2x2x101D n00x0anxan 1an 1an 2x a101000cx2c30x1001x30x10anxan 1 x2an 2 an 1an 2an 3x a1011x1按rn展开=x1( 1) n 1 fx=1fxx1 n 1xna1 xn 1an 1x an.方法 3利用性质，将行列式化为上三角行列式1c2xc11c3xc2Dnx0000x0000x0

4、c1 cnxn 1anan 1ananan 1an 2knxxx2按c n展开x n 1k n = x n1 (an+an 1+ a2+a 1 +x)xn1xn2x= anan 1 xa1 xn 1xn1000按 r展开x10 0方法 4D nn( 1)n 1 an+00x1x000x100( 1)n 2 an 1010 0+ +( 1)2n 1a20 x0 000x10001x100+ ( 1)2 n (a1x)0 x0 0000x=（ 1） n 1 （ 1） n 1 a n +（ 1） n 2 （ 1） n 2 a n 1 x+（ 1） 2 n 1 （ 1） a 2 x n 2 + （ 1

5、） 2n ( a 1 +x) x n 1=an an 1 xa1x n 1x n例 4 计算 n 阶行列式：a1 b1a2ana1a2 b2an(bb12bn 0 )Dna1a2an bn解采用升阶（或加边）法该行列式的各行含有共同的元素a1 , a2, , an ，可在保持.原行列式值不变的情况下，增加一行一列，适当选择所增行（或列）的元素，使得下一步化简后出现大量的零元素1a1b1a2an1 a1a2an0 a1a2anr2r11 b100升阶r3r1Dn0a1a2 b2anrn1 r11 0 b200a1a2anbn1 0 0bn1a1a1a1a2anb1b1c1c1bj1j0b100a

6、1an)j2,n1= b1b2 bn (100b20b1bn000bn这个题的特殊情形是a1xa2ana1a2xan= xn 1( xnDnai )i 1a1a2an x可作为公式记下来例 5 计算 n 阶“三对角”行列式Dn =解 方法 1递推法000100010000010000按c1展开100Dn() Dn 1 0001(n 1)按r1展开() Dn 1 Dn 2即有递推关系式Dn = () Dn 1 Dn 2(n3)故DnD n 1 ( Dn 1Dn 2 )递推得到DnD n 1 ( Dn 1Dn 2 ) 2 ( D n 2D n 3).n 2 (D 2D1 )而D1 ()， D2 +

7、 22 ，代入得 DnDn 1n1+ D nD n 1n（2.1 ）由递推公式得D nD n 1n ( D n 2n 1)n 2 D n 2n 1n n1n 1，当时n n 1 n 1n ，当时 (nn 1 1)方法 2把 Dn 按第 1 列拆成2 个 n 阶行列式0000001001000100Dn = 010000010000001上式右端第一个行列式等于Dn1 ，而第二个行列式00010001000000ci1000aci 1100= ni02, ,n00000010001于是得递推公式 D nn，已与（ 2.1 ）式相同D n 1方法 3在方法1 中得递推公式Dn =() Dn 1 D

8、n 222又因为当时D1 =33D21= () 2=22 =.0D3 =1= ()3-2()0144= () (22 ) =n 1n 1于是猜想 D n，下面用数学归纳法证明当 n=1 时，等式成立，假设当n k 时成立当 n=k+1 是，由递推公式得Dk 1 = () Dk Dk 1k 1k 1kkk 2k 2= ()=所以对于nN ，等式都成立例 6 计算 n 阶行列式：1 a111Dn11a21111 an其中 a1a2an0 解 这道题有多种解法方法 1化为上三角行列式1a111b11rrc1a1 cja1a2a j0a2Dn ii12,nj2,na1an0an其中 b 1a1n1a1

9、1n 1，于是 Dna1a2an 1n 1a1aii 1 aii 2i 1 ai方法 2升阶（或加边）法.111101a111升阶Dn011 a211111ri1a100r1i 2,3,10a20, n 10111 an1 0 0ann11111c1ci 1a j1a jj 1a1a1a2n1j 1,2,n1a2an 1aii 1an方法 3递推法将D n 改写为1a111011a210Dn111an1a1111 a110按cn 拆开11a2111 a20+111 a11111 a21由于111111ana1rirna2a1a2an 1i 1,n 11111 a11011 a20按cn展开anD n 111an因此 Dn =