经济数学基础作业1(电大)

1、下载可编辑经济数学基础作业1（微分学部分第1 章函数第2 章极限、导数与微分）知识要点：1函数概念：函数yf (x), xD 的两个要素定义域和对应关系。要求：会求函数的定义域和函数值；会判断两函数是否相同。2函数的性质：了解函数的四个性质，掌握函数奇偶性的判别。3基本初等函数和函数的复合运算：记住五类基本初等函数的表达式，知道它们的图形特征。掌握函数的复合与“分解”。4 极限的概念：知道 lim f (x)A 的意义；x x0知道 limf ( x) A 的充分必要条件是 limf ( x) A 且 limf( x )Ax x0x x0xx 05 . 无穷小量的概念和性质：了解无穷小量的概念

2、：在某个变化过程中，以0 为极限的函数。例如若limf (x) 0 ，x x0则称当 xx0 时， f ( x) 为无穷小量。了解无穷小量与无穷大量的关系：无穷大量的倒数为无穷小量；非零的无穷小量的倒数为无穷大量。知道无穷小量的性质：无穷小量与有界变量的乘积为无穷小量。例如lim x0,x 0sin 11 ，因此 lim x sin 10xx 0x6 函 数 连 续 的 概 念 和 性 质 ： 了 解 函 数 yf ( x) 在 点 x0 处 连 续 的 概 念 ：lim f (x)f ( x0 ) ；了解“初等函数在定义区间连续”的结论；会判断函数在某点的连续x x0性，会求函数的间断点。7

3、导数的概念：牢记导数定义的极限表达式f (x0 )limy；知道函数在某点导数的x 0x几何意义：f ( x0 ) 表示曲线 yf ( x) 在点 ( x0 , f ( x0 ) 处的切线的斜率；会求曲线的切线方程，曲线 yf (x) 在 x0 处的切线方程： y f ( x0 ) f(x0 )( xx0 ) 。了解导数的经济意义。8微分的概念：函数 y f ( x) 的微分： dyy dx.专业 .整理 .下载可编辑9高阶导数的概念，特别是二阶、三阶导数的概念，比如二阶导数y( y )10函数极限、连续、可导与可微的关系：可微可导连续极限存在。11掌握求简单极限的常用方法求极限的常用方法有（

4、 1）利用极限的四则运算法则；（ 2）利用重要极限第一重要极限： lim sin x1x0x特点：当 x0 时，）分子、分母的极限为0；）分子或分母中有一个含有正弦函数关系式。第一重要极限的扩展形式：sin( x)lim1( x) 0(x)（ 3）利用无穷小量的性质（有界变量乘以无穷小量还是无穷小量）；（ 4）利用连续函数的定义。12熟练掌握求导数或微分的方法。具体方法有：（ 1）利用导数（或微分）的基本公式；（ 2）利用导数（或微分）的四则运算法则；（ 3）利用复合函数求导或微分法；（ 4）利用隐函数求导法则。作业解答：一填空题1 lim xsin x.x 0xsin x解：当 x0 时，分

5、子、分母的极限均为0，且 lim1x 0xx sin xsin x )因此 limlim (11 10x 0xx 0x2设 f ( x)x21, x00 处连续，则 kk,x在 x0解：由函数的连续定义知：若y f ( x) 在 x0 处连续，则 lim f ( x) f (0) 。x 0.专业 .整理 .下载可编辑因为lim f ( x)lim (x21)1x0x0f (0)k因此，若f ( x) 在 x0 处连续，则 k1。3曲线 yx1 在（ 1，2）的切线方程是解：根据导数的几何意义有，曲线yx1 在（ 1， 2）的切线方程是：y2y (1)( x1)而y (1)1122x x 1故切

6、线方程是：y 21 ( x1) ，即 y1x32224设 f ( x 1)x22x5, 则 f (x)。解：先求 f ( x)的表达式令 tx1，则 xt1 ，因为 f (x1)x22x5,则 f (t)(t1)22(t1) 5t 24则f (x)x24f( x)2x5 设 f ( x)x sin x, 则 f()2解： f()f( x) x22f ( x)x sin xx(sin x)sin xx cos x,f(x)(sin x)x cos x x(cos x) cos xcos x x sin x,=2 cos xxsin x,.专业 .整理 .下载可编辑f () 2 cos2sin22

7、22二单项选择题：1当 x时，下列变量为无穷小量的是（）A.ln( x1)B.x2x 11sin xC.e xD.x解：无穷小量的概念：在某个变化过程中，以0 为极限的函数。A 中：因为x时， ln( x1)，故 x时， ln( x1) 不是无穷小量；B 中：因为C中：因为D 中：因为x时， x2，故 x时，x2不是无穷小量x 1x1111x时，0 ， e x1 ，故 x时， e x 不是无穷小量。xx时， sin x1sin x0 ，故当 x时， sin x 是无穷小量。xxx因此正确的选项是D。2 下列极限计算正确的是（）。A. limx1 ，B.limx1x 0xx 0xC. lim x

8、 sin 11,D.lim sin x1,x0xxx解： A不正确。注意到：xx, x0x, x，0因此： limxlimx1， limxlimx1x 0 xx 0 xx 0 xx 0xlimx不存在。x0xB正确。.专业 .整理 .下载可编辑C不正确。因为lim x0,sin11 ，由无穷小量的运算质量得：x0xlim xsin 10,x 0xD不正确。因为lim sin xlim1 sin x0xxxx因此正确的选项是B。3设 ylg 2 x, 则 dy（） .A .1 dxB.1dx2xx ln 10C ln 10 dxD 1 dxx1x1解：因为 dyy dx(2x) dxdx2x l

9、n 10x ln 10因此正确的选项是 B。4 函数 f ( x) 在点 x0 处可导，则（）是错误的 .A .函数 f (x) 在点 x0 处有定义B limf ( x) A, 但 Af ( x0 )x 0C 函数 f ( x) 在点 x0 处连续D函数 f ( x) 在点 x0 处可微。解：注意到函数极限、连续、可导与可微的关系：可微可导连续极限存在。正确的选项是 B。5 若 f ( 1 )x ，则 f ( x)（） .xA .1B1x2x2C 1D1xx解：令 t11，则 xtx因为 f ( 1 )x ，则 f (t)1，xtf (x)1f( x)1xx2因此正确的选项是B。三解答题1.

10、 求下列极限：.专业 .整理 .下载可编辑x23x2（ 1） limx21；x 1解：该极限属 0 型，先因式分解消去零因子，再利用四则运算法则计算0li mx 2x 23 x2=lim (x1)( x2)x11x 1 (x 1)( x1)=lim x2 =1x 1 x12（2） limx25x6x 2x26x8解：该极限属 0 型，先因式分解消去零因子，再利用四则运算法则计算0x25x6lim(x2)(x3)lim6x 8x 2 x2x 2 ( x 2)( x 4)x3231lim4242x2 x（ 3） lim1 x1 ；x 0x解：该极限属 0 型，分子有理化消去零因子，再利用四则运算法

11、则计算0lim1 x1 lim (1x1)(1x 1)x 0xx 0x(1x 1)=1x1= lim11lim1 x 12x 0 x( 1 x 1)x 0（ 4） lim2x23x53x22x4x解：该极限属 型，注意到 lim10(0)xx分子、分母同除以x2 ，再利用四则运算法则计算3522lim2x3x 5= limxx2=20 0 2x3x22x 4 x2430 0 33x2x.专业 .整理 .（ 5） lim下载可编辑sin 3xx0 sin 5x解：该极限属 0 型，注意到：limsin( x)10( x) 0( x)分子、分母分别除以3x,5x ，利用重要极限公式计算sin 3x

12、3x = 3limsin 3x = lim3x.x 0 sin 5xx0 sin 5x5x55x（ 6） limx242)x 2 sin(x解：该极限属 0 型，利用重要极限公式计算0limx24= lim ( x2)( x 2)x2 sin(x2)x2sin( x2)= lim1.( x2) =4sin( xx22)x21b,x0x sin2 设 f (x)xx0a,sin xx0x,问：（ 1）当 a,b 为何值时，f ( x) 在 x0处有极限存在？（ 2）当 a,b 为何值时，f ( x) 在 x0处连续？解：（ 1）因为要使f ( x) 在 x0处有极限存在，则要limf (x) 和

13、 lim f (x)x0x0存在且相等，因为limf (x)lim(x sin1)bx0x0x=limf (x)limsin x =1x0x0x因此当 b1， a 取任意实数时，函数f ( x) 在 x0处有极限存在。（ 2）因为要使f ( x) 在 x0 处连续，则要 limf (x)lim f (x) =f (0)x0x0f (0)= a.专业 .整理 .下载可编辑结合（ 1）知：当 ab1时， f ( x) 在 x0 处连续。3求下列导数或微分：（ 1） yx22xlog2x22 ，求 y ；解：利用导数代数和运算法则知识要点：导数的基本公式：y(x2)(2x )(logx2)(22 )

14、2x 2x ln 21xln 2axb（ 2） y, 求 y ；cxd解：( axb) (cxd)(axb)(cxy(cxd )2a(cxd )(axb)cadbc=(cxd ) 2=d )2( cx1求 y；（ 3） yc0( x )x(a )(log ax )(ln x)d )(sin x)cos xx 1(cos x )sin xax ln a(tan x)1excos 2 x1(cot x)1sin 2 xx ln a1x知识要点：uu v uv()vv23x51解： y(3x5) 21 (3x11=5)2(3x 5)23 (3x3=5)22（ 4） yxxex , 求 y ；解： y

15、 (x )x exx(ex )1= 1 x 2 ( exxex )2知识要点：( x )x1yf ( x), u( x)yxf(u)( x)知识要点：1xx 2 ,( x )x1(ex) ex(uv)u vuv.专业 .整理 .下载可编辑=1(exxex )2 x（ 5） y eax sin bx ，求 dy ；解： y(eax ) sin bxeax (sin bx)= aeax sin bxeax cosbx b=eax (a sin bxb cosbx)dyy dxeax ( a sin bxb cosbx)dx1（ 6） y exxx ，求 dy ；13解： yexx2，1311y(e

16、x ) (x 2 ) = ex ( 1)3 x2x21131=exx2x2211dy y dx (1ex3 x 2 )dxx22（ 7） ycosxe x2，求 dy ；解： y(cosx)(e x2)=sinx(x )e x2(x2 )=1sinx2xe x22 xdy y dx (1xsinx2xe x2)dx2（ 8） ysinn xsin nx ，求 y ；解： y(sin n x)(sin nx)= nsin n 1 x (sin x)cos nx (nx)知识要点：(ex )ex(sin x)cosx知识要点：13x x x x 2x21 x 1x( x )x 1(ex)ex知识要

17、点：(cos x)sin x11( x )(x 2 )2x知识要点：sinn x(sin x) n( x )x 1.专业 .整理 .下载可编辑= n sin n 1 x cos xn cos nx（ 9） yln( x1x2 ), 求 y ；解： yx1(x1x2 )知识要点：1x21(ln x)11x=1(1 x2 )1x1 x22 1 x21x2(12)2x=1111(x)x11 x22x =x2 1 x21 x2（ 10） y 2113x22 x ,求 y 。xsinx解：sin 111知识要点：1y 2 xx 2x 621,x 2=y(2sin 11x )(x 2 )sin1(sin

18、1)x ln 22x1cos 1( 1sin2x ln 2xx1x(x 6 ) (2 )3x2211x32x 635x1 x 21 x 6026(ax ) ax ln a35)1 x 21 x 626=1221ln 2cos 135x1 x 21 x 6sinxx264 下列各方程中y 是 x 的隐函数，试求y 或 dy（1）x2y2xy31,求 dyx解： 方程两边对 x 求导数得： ( x2 )( y2 ) ( xy) (3x) 1 ,2x 2y y (x y xy ) 3 02x2 yyyxy3 0yy2x32yxdyy dxy2 x3 dx2 y x.专业 .整理 .下载可编辑（2） sin( xy) exy4x ，求 y解：方程两边对x 求导数：sin(xy)xy( 4 )excos(xy)( xy)exy (xy)4cos(xy)(1y )exy ( x yxy )4cos(xy)(1y )exy ( yxy )4cos( xy)xexyy4 yexycos(x y)