高等教育：分析01-误差

1、弟早第一章目录 1误差来源1.1模型误差观察误差13舍入误差1.4截断误差 2绝对误差、相对误差和有效数字XI绝对误差与相对误差有效数字3基本运算中的误差估计第一章误差数值计算方法就是“研究用于求得数学问题近似解 的方法和过程”，由于算法的实现必须在计算机上进行， 虽然计算机是非常准确且快捷的计算工具，但计算机并不 是象一般人想象哪样可以解决一切问题而不出差错。半个世纪以来计算机还给我们这个世界的诸多烦恼中, 误差问题最为突出。小到银行利率的错算，大到导弹的错误发射，除了操作人员的疏忽、机器的故障引起的过失误 差外，计算机在处理数据过程中还存在计算误差。这是计 算机机器数系所引起的，这一数系的

2、特点是有限、离散、 支离破碎；这和数学上常用的实数系无限、稠密、连续的 特点完全不同。机器数的表示方法通常采用浮点数形式， 即：土 O.ZX Z2 CLn X 1O误差（续丄）其中。1工0,且 仆勺，勺都是整数09中的任一个数。10称为尾数，尾数的位数兀是有限正整数；0.%。2中的加称为阶数，阶数也是有界的数。所以，机器数中有 最大的数，也有最小的数。用机器数表示实数时，很多情 况下都带有误差。在2400多年前，古希腊人提出了被称为几何三大问题的古典难题。这说明在历史上，人类就常 被误差所困扰。下面问题就是三大难题之一。例题例1 立方倍积问题。作一个立方体，使其体积 为已知立方体的二倍。解不妨

3、设已知立方体体积为1。要作的立方体体积为2,则所求方立体高度应该为h二近， 用计算机计算出V2 1.2599210498 9487,（15位数）。尽管精确度相当高，但仍是近 似值。下面的表M列出了对力取前有限位数时, 计算所得体积的误差。例1 （续）表立方倍积问题的计算位数高度体积误差21.21.7282.7200X10 131.251.9531254.6875 X IO241.2591.9956169794.3830 X10351.25991.9998997577991.0024 X10461.259921.999995000191494.9998 X10671.2599211.999999

4、762390492.3761 X10781.2599211.999999762390492.3771 X10791.259921041.999999952878604.7121 X108由上表可知，计算机机器数的有限位特点使这一问题只 能在满足一定的精度条件下解决，误差是无法消除的。 1误差来源一个物理量的真实值和我们算出的值往往不相等，其 差称为误差。引起误差的原因是多方面的。(1) 从实际问题转化为数学问题，即建立数学模型时, 对被描述的实际问题进行了抽象和简化，忽略了一些次 要因素，这样建立的数学模型虽然具有“精确”、“完 美”的外衣，其实只是客观现象的一种近似。这种数学 模型与实际问题

5、之间出现的误差称为漠型煤差(2) 在给出的数学模型中往往涉及一些根据观测得到的物理量，如电压、电流、温度、长度等，而观测难免不 带误差，这种误差称为观测饶差。方法误差与舍入误差(3) 在计算中常常遇到只有通过无限过程才能得到的结 果，但实际计算时，只能用有限过程来计算。如无穷级数 求和，只能取前面有限项求和来近似代替，于是产生了有 限过程代替无限过程的误差，蘇为截断误差,这是计 算方法本身出现的误差，所以也称方法煤君 这种误 差是需要特别重视的。(4) 在计算中遇到的数据可能位数很多，也可能是无 穷小数，如，兀乂 , 72,1/3等，由于计算机数系是 间断的宜有界,即计算时只能对有限位数进行运

6、算，因 此必须进行四舍五入，这样产生的误差称为舍入炭差舍入误差有时，带有误差的数据也被人们频繁使用。例如，在某次人口普查，经统计我国某省的人口数为7123万，这就是一个近似数，其舍入误差不超过05万。71用3.1415926来代替圆周率，其舍入误差为R二3.1415926在对收敛的无穷级数计算中，常取有限项代替无穷项。 如对于正弦函数：111丄3丄5丄7sinx = x x Hxx + 3!5!7!取g W”5,作近似计算，贝!J R = sinx-S为其截断误差。条件问题计算方法中有一类问题称为余的溜 条件问题是一个算法（公式）由于初始 数据或者中间某些数据微小摄动对计算结 果产生影响的敏感

7、性的问题。舍入误差、 观测误差都属初始数据的摄动。研究坏条件问题的计算方法是十分重要的课题，有 的时候，一些问题的条件并不坏，但由于算法不恰当，初始数据的微小摄动或舍入 误差在计算过程中不断被放大，而可能导 致计算结果的精度大大降低，甚至使计算丿、Ash o递推算法递推算法是解决实际问题中使用相当普遍的一种算法, 它的数学描述是带初值的递推关系式。例2小猴吃桃问题。有一天小猴摘下了若干个桃子，当 即吃掉了一半，还觉得不过瘾，又多吃了一个。第二天接 着吃了剩下的一半，又多吃了一个。以后每天都是吃掉尚 存的桃子的一半零一个。到第十天早上，小猴准备吃桃子 时，看到只剩下1个桃子了。问小猴第一天共摘下

8、了多少 个桃子？ 解设第k天的桃子数为必，则桃子数目变化规律为Pk = Pk-11-1递推算法（续1）这是正向递推的关系式，解之，可得逆向递推关系式Pk-i = 24 +1）, （k = 10,9,2）由初值pg = 1，根据上式设计算循环算法计算出P 1534即第一天的桃子数为1534o o上例中仅涉及整数序列递推，根据初值条件来选择正向递推或逆向递推使实际问题得以解决。尽管正向递推和 逆向递推公式在数学上完全等价，却导致两种完全不同的 算法。对于实数序列的递推由于初始误差的存在，可以一 种方向的递推会使误差扩大，而另一方向的递推会使得误 差逐步减小。在设计（选用）算法时要用使初始误差不增

9、长的算法。计算:dx n = 02 20 o 5 +(1-1)解：当曲） 时dx = ln(5 + x)| = In 6 In 5由此可得 出递推计 算公式：r “Hx +5X-1厶+ 5人=Jodx = f xnx dx = 乂 + 5n5 乙Hn(1 2)由于兀e (0,1),所以有|6 兀 + 556 x + 55所以有5(+ 1)1 r 11 6(+ 1)5(+ 1)dx dx =Jo x + 5 h 66(+ 1)于是可设计如下两种算法:两种算法人二5+丄(1-2)n取厶=LT = ln6-ln5 = lii- = lnl.2J。x + 55按式(1-2),对21,2,依次计算厶,厶

10、,的近似值。1算法2取厂-丄+亠2(6( + 1) 5(+ 1)丿_ 1z _ 5由(1-2)可得,(1 ) 厂以伙=仏一1.21) 丿依式(1-3)计算分别取7； =0.18232155(1-3).，厶,/。的近似值。1 1 、 +2(6x155x15丿 0.01222222按算法1、算法2的计算结果见下屏表1：说明为对任意必0均有：O 6（155(n + 1)以及ln /心且 23时，厶T 0。而按算法2计* 1算，尽管/口取值精度不高，其误差“尸275 _90? 0.0011但递推计算得到的o却有8位有效数字，为什么会出现 这样的现象？下面的分析说明,这是舍入误差在计算过程 中传播所引起

11、的后果。对算法忠*设/。有舍入误差（可能由计算机自动舍入引起）,假 定计算过程中不产生新的舍入误差，则由式（丄2）有議说明(续1)= /()_/* /1=_5厶+1/： = 5/；+1(1-2)厶 _ 厶=5(/0 -/0) = 5f4 -=-5(/-0 = (-5)(4-1)即原始数据的误差盔算法 1计算一次，误差就扩 大5倍，因而由算法计算出的/；误差是的5倍， 事实上由式(1-4)有_/：) = 8,这就是引起/ToolI表1-1中后面的计算值符号姑变换且绝对值愈来愈大并远远超过1的原因。说明（续2）而对算法2,以八计算应有1k -/；一1 二 gS -；(1 丫从而有：I :=-I 5

12、 Lo 0-Tn n*1EJ2绝对误差、相对误差和有效数字2.1绝对误差与相对误差设x *为准确值的近似值，记e = x-*- Xex er -XX分别称幺为近似值兀*的绝对误差或误差，匕为兀的相对误差O一般情况下，准确值是不知道的，从而也不能算出绝 对误差的准确值，但往往可以根据测量工具或计算的情 况估计出0的取值范围，即估计出绝对误差的一个上界 :这样的称为兀*的绝对误差限或误差限。 显然，误差限不是唯一的。误差限的意义兀* XX *+有误差限及近似值,，就巳可以得到准确值凌的范围蛊即准确值必定在区间X島h+可内，土总:営i己彳乍龙冷卷容易看出，经过四舍五入得端数，其误差必定不超过 被保留

13、的最后数位上的半个单位，即最后数位上的半个 单位为其误差限。例如若取兀的近似值为314,贝！I：|/r - 3.14| 0.0016 102 =0.005若取ttq3.142,贝Utt-3.142| 0.00041 IO 3 = 0.0005相对误差误差限的大小不能完全反映近似值的准确程度。例如 测量百米跑道长时，误差不超过10厘米，而测量黑板长时 得其长度为3米,误差不超过1厘米。就误差限而言，前者 为后者的10倍，但由于前者误差只占所量长度的千分之一, 而后者误差则占所量长度的三百分之一，显然测量百米跑 通的结果更为精确。ee -r兀*因此，要刻划近似值的精确程度，不仅要看绝对误 差的大小

14、，还必须考虑所测量值本身的大小，这就是相对 误差s由于准确值工未知，故一般取相对误差为：相对误差（续）是的高阶无穷小,可以证明当I即很小时，X X*可以忽略不计。所以，取绝对误差与近似值之比为相对误 差是合理的。同样.相对误差也只能估计其卜*1可作为疋的一个上限”如果存在正数务使得生 则称耳为疋的相对误差限，显然,相对误差限,，例如,由实验测得光速近似值为C*=2.997925 X105公里/秒，其误差限为01公里/秒，于是 三0.1,仆-7所以4X10砌2.997925x10 是C * 的_个相对误差限。一个数能表示大小，如果这个数是一个近似值当 然希望能指明它的精确程度，如8与8.000大

15、小一样，但若 作为近似值，在引进有效数字概念后，可知其精确程度不 一样。通常要将某个位数很多的数表示成一定的位数彦用 四舍五入的方法，如=344159265.,可表为3.14, 1416等，这种表示方法的特点是近似数的误差限为 其最末一位的半个单祓。即蛊71兀：| =片 一 3.14| = 0.00159265. -102 = 0.005, xx*=3.14为所有三位数中与兀相差最小的菱，不超过末位 （第三位，百分位）的半个单位,即0.5X10-2;而对； =3.1416,7i-x2 =0.00011 . 是所有五位数中与龙相差最小的数/不超过末位（第五位） 的半个单位即0.5X10七10 4

16、 *=0.00005 宀=3416 2有效数字的定义（续）剤如果近似值疋的误差限是它的某一位的半个单 义 位.就说工U准确”到这一位，并且从这一位 1直到前面第一个非零数字为止的所有数字均称按定义心*=314可称为准确到第三位或有三位有效数字,W x2*=34416称为准确到第五位，或有五位有效数字。申可以给出如下定义蛊记X*表示X的近似值，若X* = 0角。2為X10S a是0,1,.,9中的一个数字，严0),如果丄IO,则称/近似x时具有位有效数字。2x=3.14有三位有效数字，是因为巧=3.14=0.314X101，而:3.14| m = m n = 2 = n = 3同样，x3.141

17、6有五位有效数字，因为 兀*2=3.1416=0.31416 X IO】。而：兀7；=7T 3.1416| m = l,m n = 4 n n = 5按上述定义，有效数字的概念实际上是说：以疋近似兀, 如果T*从X依四舍五入规则得到，那么疋的每一位都是有 效数字。因此*实际应用时有效数字定义的进一步解释（续）因为由jv* = 土0.axa2 . .an x 10可得2ax x 10m_1 |x*| (a. + l)10m l若疋有M立有效数字，则x-X *乂* 10mn_2=ax xlCpT丄 10-+12d反之，由下式卜一兀*| =卜*1 n_n+11呵+叫厂 时r。心可知皿位有效数字如/

18、= 0.154,绝对误差限 = 0.005 =丄10一2（第二位小数的半个单位）, 2即0.00055 0.005,所以/虽然有三位小数，但只准确到第二位小数，只有二位有效数字。字（这是以后常会用到的），即要求误差限0.5X10,3记近似值工*=0皿皿2X103若要保留五位有效数则5；魚有效数字越多其绝对误差也越小相对误差同样也越小；10 n+1并且*若X有位有效数字，则其相对误差限为肓， 若疋的相对误差限为10”,贝忖有位有效数字;2（也 +1）5. 0.0023与0.002300不同，前者最多为二位有效数字, W0.002300则可能具有四位有效数字。例4取歼3141矽2653的近似值分别

19、为3J4, 3J41, 3442. 34妙时其有效数字位数分别为3、3、4、 6、6而作为数0.0509966.的近似值，其值分别为0.051、0.0510、0.05100、0.0509、0.05099时，其 例5有效数字位数分别为2、3、4、2、3。求君=0.052631578 的具有四位有效数字的近似值。解:丄=0.052631578. 0.0526319可表示为0.05263 = 0.5263 x 10其绝对误差g =丄0.0526-10_1_4BPm = -l,n = 419J 2而相对误 xio_4+1=丄 103=0.0001 = 0.01%r 2x510例3 (续)反之，要使丄的

20、近似值的相对误差不超过0.01%,19问要取几位有效数字？ 这即要求出满足： 丄xicr(T)-xl0(n_1) 1 ()TT)= 0.001 = - +1 = lg 0.001 = -3= 4因此，只要对丄= 0.052631578.的近似值取四位19有效数字为丄=0.0526S则其相对误差限就不超过0.01%。193基本运算中的误差估计这里主要讨论四则运算和常用函数的计 算中数据误差的传播情况设原始数据兀1，兀2，Xn,f V与七有关，是由兀计算 所得的解。若兀1，七弼丘似值为工坊 X/,那么相应的解也有一定的误差，记为y*,此时解的 绝対误差为：e（y） = y-y = f（xvx2,.,xj-q妙（兀1，兀2,，乙）= 芳丙：2乙）（兀.-X*）i=lOX：二审（坷，兀2,，）c（兀）i=lXj基本运算中的相对误差对误差为:我们可以利用这两个公式来估计按函数/的计算误差。给定/的具体形式，就可得到加减乘 除及开方这几种基本运算中数据误差与计算结果 误差间的关系:紧接下屏如：对加法：（P（X + x2） e（x） + e（x2）色（兀1 +兀2）Q -乞（兀1）+色（兀2） .兀+兀？Xl +兀2类似地有: 对乘法：e（Xj 乂2）Q x2e（Xj ） + 码 e（