高等数学在实际生活中的应用

1、高等数学知识在实际生活中的应用一、数学建模的应用数学建模的一般方法是理论分析的方法，即根据客观事物本身的 性质，分析因果关系，在适当的假设下用数学工具去描述其数量特征。（一）数学建模的一般方法和步骤（1）了解问题，明确目的。在建模前要对实际问题的背景有深 刻的了解，进行全面的、深入细致的观察。明确所要解决问题的目的 和要求，并按要求收集必要的数据。（2）对问题进行简化和假设。一般地，一个问题是复杂的，涉 及的方面较多，不可能考虑到所有的因素，这就要求我们在明确目的、 掌握资料的基础上抓住主要矛盾，舍去一些次要因素，对问题进行适 当的简化，提出几条合理的假设。不同的简化和假设，有可能得出不 同的

2、模型和结果。（3）建立模型。在所作简化和假设的基础上，选择适当的数学理 论和方法建立数学模型。在保证精度的前提下应尽量用简单的数学方 法，以便推广使用。（4）对模型进行分析、检验和修改。建立模型后，要对模型进 行分析，即用解方程、推理、图解、计算机模拟、定理证明、稳定性 讨论等数学的运算和证明得到数量结果，将此结果与实际问题进行比 较，以验证模型的合理性。一般地，一个模型要经过反复地修改才能 成功。5）模型的应用。用已建立的模型分析、解释已有的现象，并预测未来的发展趋势，以便给人们的决策提供参考。归纳起来，数学建模的主要步骤可以用下面的框图来说明:图1（二）数学建模的范例例 教室的墙壁上挂着一

3、块黑板，学生距离墙壁多远，能够看得 最清楚这个问题学生在实际中经常遇到，凭我们的实际经验，看黑板上、 下边缘的视角越大，看得就会越清楚，当我们坐得离黑板越远，看黑 板上、下边缘的视角就会越小，自然就看不清楚了，那么是不是坐得 越近越好呢先建立一个非常简单的模型：模型1：先对问题进行如下假设：1.假设这是一个普通的教室（不是阶梯 教室），黑板的上、下边缘在学生水平视线的 上方a米和b处。2.看黑板的清楚程度只与视角的大小有关设学生D距黑板x米，视黑板上、下边缘的的仰角分别为由假设知:a xta n b xta nxxa xta n1b xta nxxtana ,tanxtan tantan（）厂

4、矿需(a b)xa ba bx2 ab x ab2 abx所以，当且仅当x . ab时，tan（）最大，从而视角最大从结果我们可以看出，最佳的座位既不在最前面，也不在最后面。坐得太远或太近，都会影响我们的视觉，这符合我们的实际情况F面我们在原有模型的基础上，将问题复杂一些模型2：设教室是一间阶梯教室，如图所示。为了简化计算我们将阶梯面看成一个斜面，与水平面成 角，以黑板所在直线为y 轴，以水平线为x轴，建立坐标系（见图）。 则直线OE的方程（除原点）为：图y xta n (x 0)若学生D距黑板的水平距离为x，则D在坐标系中的坐标为(x,xtan )，则:tana x tan,tanb xta

5、 nx所以tan（tan tan1 tan tana bab (atanbtan )x tan2 x2xx）最大，只要设 f(x) x ab (atan btan )x tan2 X2，要使 tan(xf(x)最小就可以了。对f(x)求导得:f(x)(1 tan2 )x2ab当x ab2时，f(x) 0 ,则f(x)随x的增大而增大；当 1 tan20 x 巴 时，f(x) 0，则f (x)随x的增大而减小，由因为f(x)是 tan2连续的，所以当x ab2时，f(x)取最小值，也就是x ab2时, 1 tan2，和 tan2学生的视角最大。通过这两个模型，我们便可以解释为什么学生总愿意坐在中

6、间几 排。模型1和模型2所应用的基本知识都是相同的，只是因为假设的 教室的环境不同，建立的模型有些细微差别，所以结果不同，但这两 个结果都是基本符合实际的。在解题过程中，我们只考虑了一个因素, 那就是视角，其实我们还可以考虑更多的因素，比如：前面学生对后 面学生的遮挡，学生看黑板的舒适度(视线与水平面成多少度角最舒 服)，等。我们考虑的因素越多，所的结果就会越合理。但有时如果 考虑的因素过多、过细的话，解题过程就会相当繁琐，有时甚至得不 到结果。所以“简化假设”时就需要我们冷静的分析，在众多的因素 中抓住主要矛盾，作出最佳的选择。因此在建立模型时既要符合实际, 又要力求计算简便。二、矩阵在实际

7、生活中的应用(一)有关矩阵的乘法矩阵A= a b与a= x相乘cdyabXaXbyAa=JcdycXdyabXabXaXby aXbyA(a)=JJAacdycdycXdy cXdyA(ab)A a A bA( i a2 b)iAa2Ab二)矩阵应用的范例人口流动问题例 假设某个中小城市及郊区乡镇共有 40 万人从事农、工、商工 作，假定这个总人数在若干年内保持不变，而社会调查表明：(1) 在这40万就业人员中，目前约有 25万人从事农业，10万 人从事工业，5万人经商；(2) 在务农人员中，每年约有 10%改为务工，10%改为经商；(3) 在务工人员中，每年约有 10%改为务农，20%改为经

8、商；(4) 在经商人员中，每年约有 10%改为务农，20%改为务工。 现欲预测一、二年后从事各业人员的人数，以及经过多年之后， 从事各业人员总数之发展趋势。解：若用三维向量(Xi,yi,Zi)T表示第i年后从事这三种职业的人 员总数，则已知(Xo, yo, Zo)t=(25, 10, 5)t。而欲求(Xi, yi, Zi)T, (X2, y2, Z2)T并考察在nX时(Xn, yn, Zn)T的发展趋势。依题意，一年后，从事农、工、商的人员总数应为Xi o.8Xoo.iyoo.iZoYio.iXoo.7yoo.2ZoZio.iXoo.2yoo.7ZoXio.8o.io.iXoXo即Yio.io.7o.2yoAyoZio.io.2o.7ZoZo以(Xo,yo,Zo)T=(25, 10, 5)t代入上式，即得:X121.5Y110.5Z18即一年业人员的人数分别为万万、8万人以及X2Y2Z2X1A y1Z1X0A2 y0Z019.0511.19.85即两年后从事各业人员的人数分别为万、万、万人。进而推得：Xn