高等教育：几种常见的曲面及其方程

1、第四节曲面及其方程几种常见的曲面及其 方程 二次曲面 曲线afe JzS bw lElJ oS/ yX特别，当M在原点时，球面方程为%2 + y2 + z2 = R2高等数学V一.几种常见的曲面及其方程*1 球面动点为M（兀，y，z）,定点为Mo （x0，丁o, Zo）定值为R由两点间距离公式得J(x-jVo)2 +(y-y()2 +(z Zo)2 = R (兀一兀0 尸 + (y - j0)2 + (z - z0)2 = R2 z = +ylR2-x2-y2 表示上(下)球面.町 bw lElJ例1方程x2 + /+?-4x + 2z = 0表示怎样的曲面.解通过配方，把原方程写成(x-2)

2、2 + /+(z + 1)2=5.高等数学!对比(1)式知.它表示球心在点(2,0,-1) 半径为 V5的球面.三.柱面引例分析方程宀宀F表示怎样的曲面平行z轴的直线I,对任意乙点M (x, y, z)的坐标也满足方程x2 + y2解:在w面上f x2+y2 =疋表示圆C, 在圆Ch任取一点M1 (x, y, 0),过此点作沿曲线C平行于Z轴的一切直线所形成的曲面称为圆柱面其上所有点的坐标都满足此方程,故在空间x2 + y2 = R2表示圆柱面JzS bw lElJ线并沿定曲线U移动的直线/形成定义3平行定1的轨迹叫做柱面.C叫做准线I叫做母线. J2 = 2x表示抛物柱面，母线平行于z轴；准

3、线为xoy面上的抛物线.s+=1表示母线平行于/ b2z轴的椭圆柱面.y = 0表示母线平行于z轴的平面.高等数学FtIyyy可斷 ai Jzw Fw 5ElJ oS（且z轴在平面上）兀般地，在三维空间方程F(x, y) = 0表示 柱面/母线平行于z轴；准线xoy面上的曲线II.方程G(y, z) = 0表示 柱面/母线平行于x轴；准线yoz面上的曲线12.方程H(z,x) = 0表示柱面/母线平行于y轴；准线XOZ面上的曲线13.3 旋转曲面定义2_条平面曲线绕其平面上一条定直线旋转周所形成的曲面叫做旋转曲面该定直线称为旋转Jom Tw lElJ建立J/ON面上曲线G绕N轴旋转所成曲面的方

4、程: 给定yoz面上曲线C: /(y, z)=。若点MQjmJwC,则有f(M，% )=。当绕Z轴旋转时，该点转到M(x,y,z),则有W &$ +,2 =| x故旋转曲面方程为于（+,2 =0思考：当曲线U绕y轴旋转时,方程如何？c：/ z) = 0y/(y, + z2 ) = 0afe JzS bw lElJ oSy z丹i分别绕乙例2将wz面上的椭y轴旋转,求所形成的旋转曲面方程。解绕轴旋转而成的旋转曲面方程为2 2 2a ZrX2 y2 z2 _P + P + 币 i a a b戦旋转而成的旋转曲面方程为N/ b222 2斗与+1trcrZr例3求 xoy面上的抛物线 x = ay (

5、a 0)纠只轴 旋转所形成的旋转抛物面(图7-28 )的方程。解 方程% =中的X不变,换成卜+乙2便得到旋转抛物线的方程为x = a(y2 + z2)例4求y%面上的直线z = ky(k 0)绕z轴 旋转一周而成的圆锥面的方程。解所求圆锥面的方程为即z = 土心+ y2z2=kx2 + y2)高等数学F二二次曲面 三元二次方程Ax2 + By2 + Cz2 + Dxy + Eyx + Fvc+Gx + Hy + Iz + J = 0匚次项系数不全为0 )的图形通常为二次曲面其基本类型有：椭球面.抛物面.双曲面.锥面适当选取直角坐标系可得它们的标准方程下面仅 就几种常见标准型的特点进行介绍.研

6、究二次曲面特性的基本方法:截痕法1.椭球面二+与+ = 1 (abc为正数) a b c范围：x| a. | b. |z| cx2z2/ +(2)与坐标面的交线：椭圆(2 2Xy1? + 9 1 cT b,绿,红;z = 0X.兀=0、y = 0afe JzS bw lElJ oSX2 y截痕:与z =石c x22 2+ 一二 13,b,c 为正数）c_（k|y1（|y1|Z7）及 =西（不a ）的截痕也为椭圆.当a = b时为旋转椭球面;当a = b = c时为球面.f Q【X】S JzS Rw lElJ2.椭圆抛物面x2 y2亦+石同号）特别，当p = q时为绕z轴的旋转抛三.曲线例如方程

7、组1曲线方程空间曲线可视为两曲面的交线其一般方程为方程组IF(x,y,z) = 0G(兀,y, z)二 0I %2 +=12 兀 + 3z = 6表示圆柱面与平面的交线C.又如,方程纟了JzS bw lElJ oSx = acosd y = a sin 9 z = bO空间曲线的参数方程将曲线c上的动点坐标x, y, z表示成参数 t的函数：心V称它为空间曲线的v=y：参数方程.z = z(t)例如圆柱螺旋线的参数方程为x = a cos cotymsinm令 e = t,b 丄Z = Vt69当0 = 2龙时，上升咼度h = 2兀b,称为螺距.S JzS lElJ oS例5设一动点 在圆柱面

8、疋+尸二/上以角速度血| 喙z轴旋转,同时又以线速度v沿平行于z轴的正為向上升（卿是常数）则点M的几何轨迹叫做螺旋 （图774 ）,试图建立賽参数方程。解取时间t为参数,设 时动点在Ad。，。）处 动点在点M（x,筒处,过点 作xoy面的垂线,则 垂足的坐标为（出0）由于厶OM是动点在时间t 内转过的角度,而线段MM的长呵是时间t内动 点上升的高度,所以经过时间t ,得ZAOMr = cot. MM = vt从而x = a cos ZAOM = a cos a)t, y = asin ZAOM = a sin cot. Z = MM = vt.因此螺旋线的参数方程为x = a cos co笊挺onH - x 0H(z3Mj isiss ZOAttioe x 出魏0H2 1s 密ffi诫怒gEox田u邑 oh(？)h n- Z出洪 Silsu黑祖叵糾強例如,兀2 +y2 +” = l* + (yl)2+(z1)2在xoy面上的投影曲线方程为x2 -b2y2-2y = 0