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文档简介

1、圆锥曲线的焦点弦长公式到定点F的距离与到定直线I的距离之比等于常数e的动点 轨迹称为圆锥曲线，当01时轨迹是双曲线，当e=1时轨迹是抛 物线。定点F称为圆锥曲线的焦点，定直线I称为圆锥曲线的准线， 定点到准线的距离称为焦准距（记为p），常数e称为离心率。（椭圆和双曲线都有两个焦点和对应的两条准线）如下图1所示，P为某圆锥曲线上任意一点，则 P1是P到 准线的射影，则 =e过焦点的直线与圆锥曲线交于两个点 A、B,这两点之间的 线段成为圆锥曲线的焦点弦， 当直线绕焦点转动起来时， 焦点弦 的倾斜角和长度都在变化。当焦点弦与准线平行时称为圆锥曲线的通径。 一、抛物线的焦点弦长公式例 1. 如下图

2、2，已知抛物线的方程是 y2=2px（ p0）， AB 是过焦点 F 的弦。（ 1 ）若 A（ x1 ， y1 ）， B（ x2， y2） ，求焦点弦长；（2）若焦点弦的倾斜角是？兹，求焦点弦长。解：焦点弦AB被焦点F截成两段，为了方便，我们分别记 m=|AF|、n=|BF| 则 |AB|=m+n（1）记A1、B1分别为A、B在准?l上的射影，根据抛物线的定义， m=|AA1|，n=|BB1| 则焦点弦长为：三、圆锥曲线的焦点弦长公式例3.如下图6,某圆锥曲线的焦点为 F,准线为I，焦准距 为P,过焦点F的弦AB与对称轴（过焦点与准线垂直的直线） 夹角为？兹，求焦点弦 AB的长。解：记m=|A

3、F|、n=|BF|，如图7 作A1、B1分别为A B在 准I线上的射影，作FC丄AA1于C,作BDL于对称轴于 D,则在 Rt ADC中,要注意到，以上解题并不严密，还得继续考查其他图像情况，当点F在焦点弦外（此时的圆锥曲线为双曲线）类似可得|AB|=综上所述，无论是椭圆、双曲线还是抛物线，它们有相同的 焦点弦长公式，其公式为|AB|=，其中p指焦准距。四、焦点弦中通径最短例4.当焦点弦AB与准线平行时，称为通径，求通径的长， 证明通径是最短的焦点弦。解：如上图 7所示|AB|=2|AF| ，且=e,即 |AF|=e|AA1|=ep所以通径 |AB|=2ep如图8,我们取弦AB的中点为E,作A1、E1、B1分别为AE、B在准线上的射影则梯形 AA1B1B中 |AA1|+|BB1|=2|EE1|贝U|AB|=|AF|+|BF|=e|AA1|+e|BB1|=e（|AA1|+|BB1| ） =e（ 2|EE1| ）=2e|EE1|从图8中容易看出|EE1| p所以 |AB|=2e|EE1|

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