山东省平邑县高中数学 第一章 三角函数 1.4.2 正、余弦函数的性质课件2 新人教A版必修4

1、1.4.2 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质正弦函数、余弦函数的性质 第二课时第二课时 问题提出问题提出 1.1.周期函数是怎样定义的？周期函数是怎样定义的？ 对于函数对于函数f(xf(x) )，如果存在一个非，如果存在一个非 零常数零常数T T，使得当，使得当x x取定义域内的每一取定义域内的每一 个值时，都有个值时，都有f(x +T)=f(xf(x +T)=f(x),), 那么函那么函 数数f(xf(x) )就叫做周期函数，非零常数就叫做周期函数，非零常数T T就就 叫做这个函数的周期叫做这个函数的周期. . 2.2.正、余弦函数的最小正周期是多少？正、余弦函数的最小正周期是多少？ 函

2、数函数 和和 的最小正周期是多少？的最小正周期是多少？ si n()yAxwj=+cos()yAxwj=+ (0,0)Aw 3.3.周期性是正、余弦函数所具有的一个周期性是正、余弦函数所具有的一个 基本性质，此外，正、余弦函数还具有基本性质，此外，正、余弦函数还具有 哪些性质呢？我们将对此作进一步探究哪些性质呢？我们将对此作进一步探究. . 探究（一）：正、余弦函数的奇偶性和单调性探究（一）：正、余弦函数的奇偶性和单调性 思考思考1 1：观察下列正弦曲线和余弦曲线的观察下列正弦曲线和余弦曲线的 对称性，你有什么发现？对称性，你有什么发现？ y y -1 x O 1 2 3 4 5 6 -2 -

3、3 -4 -5 -6 - y=sinxy=sinx x y O 1 -1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 y=cosxy=cosx 思考思考2 2：上述对称性反映出正、余弦函数上述对称性反映出正、余弦函数 分别具有什么性质？如何从理论上加以分别具有什么性质？如何从理论上加以 验证？验证？ 正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数. . 思考思考3 3：观察正弦曲线，正弦函数在哪些观察正弦曲线，正弦函数在哪些 区间上是增函数？在哪些区间上是减函区间上是增函数？在哪些区间上是减函 数？如何将这些单调区间进行整合？数？如何将这些单调区间进行整合？ y y

4、-1 x O 1 2 3 4 5 6 -2 -3 -4 -5 -6 - y=sinxy=sinx 正弦函数在每一个闭区间正弦函数在每一个闭区间 上都是增函数；在每一个闭区间上都是增函数；在每一个闭区间 上都是减函数上都是减函数. 22 2 kk 22 2 kk 思考思考4 4：类似地，余弦函数在哪些区间上类似地，余弦函数在哪些区间上 是增函数？在哪些区间上是减函数？是增函数？在哪些区间上是减函数？ 余弦函数在每一个闭区间余弦函数在每一个闭区间 上都是增函数；在每一个闭区间上都是增函数；在每一个闭区间 上都是减函数上都是减函数. . 22kk 22kk x y O 1 -1 2 2 2 2 2

5、2 2 2 2 2 2 2 y=cosxy=cosx 思考思考5 5：正弦函数在每一个开区间正弦函数在每一个开区间 （2k2k， 2k2k） (kZ(kZ) )上都是增函上都是增函 数，能否认为正弦函数在第一象限是增数，能否认为正弦函数在第一象限是增 函数？函数？ 2 探究（二）：正、余弦函数的最值与对称性探究（二）：正、余弦函数的最值与对称性 思考思考1 1：观察正弦曲线和余弦曲线，正、观察正弦曲线和余弦曲线，正、 余弦函数是否存在最大值和最小值？若余弦函数是否存在最大值和最小值？若 存在，其最大值和最小值分别为多少？存在，其最大值和最小值分别为多少？ 思考思考2 2：当自变量当自变量x x

6、分别取何值时，正弦分别取何值时，正弦 函数函数y=sinxy=sinx取得最大值取得最大值1 1和最小值和最小值1 1？ 正弦函数当且仅当正弦函数当且仅当 时取最大时取最大 值值1, 1, 当且仅当当且仅当 时取最小值时取最小值-1 -1 2xk 2xk 思考思考3 3：当自变量当自变量x x分别取何值时，余弦分别取何值时，余弦 函数函数y=cosxy=cosx取得最大值取得最大值1 1和最小值和最小值1 1？ 余弦函数当且仅当余弦函数当且仅当 时取最大值时取最大值1, 1, 当且仅当当且仅当 时取最小值时取最小值-1. -1. 2xk (21)xk 思考思考4 4：根据上述结论，正、余弦函数

7、的根据上述结论，正、余弦函数的 值域是什么？函数值域是什么？函数y=Asinxy=Asinx（A0A0） 的值域是什么？的值域是什么？ 思考思考5 5：正弦曲线除了关于原点对称外，正弦曲线除了关于原点对称外， 是否还关于其它的点和直线对称？是否还关于其它的点和直线对称？ 正弦曲线关于点正弦曲线关于点（kk，0 0）和直线和直线 对称对称. . () 2 xkkZ p p=+ -|A|-|A|，|A|A| 思考思考6 6：余弦曲线除了关于余弦曲线除了关于y y轴对称外，轴对称外， 是否还关于其它的点和直线对称？是否还关于其它的点和直线对称？ 余弦曲线关于点余弦曲线关于点 和直线和直线x=kx=k

8、 对称对称. . (,0) 2 k p p+ 理论迁移理论迁移 例例1 1 求下列函数的最大值和最小值，并求下列函数的最大值和最小值，并 写出取最大值、最小值时自变量写出取最大值、最小值时自变量x x的集合的集合 （1 1） y=cosxy=cosx1 1，xRxR； （2 2）y=y=3sin2x3sin2x，xRxR. . 例例3 3 求函数求函数 ， xx22，22的单调递增区间的单调递增区间. . 1 sin() 23 yx 例例2 2 比较下列各组数的大小比较下列各组数的大小: : (1) sin()sin(); 1810 与 2317 (2) cos()cos(). 5 与 小结作业小结作业 1. 1. 正、余弦函数的基本性质主要指周期正、余弦函数的基本性质主要指周期 性、奇偶性、单调性、对称性和最值，性、奇偶性、单调性、对称性和最值， 它们都是结合图象得出来的，要求熟练它们都是结合图象得出来的，要求熟练 掌握掌握. . 2.2.正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函 数数. .一般地，一般地，y=Asinxy=Asinx是奇函数，是奇函数， y=Acosxy=Acosx（A0A0）是偶函数）是偶函数.