解三角形专题高考题练习附答案

1、解三角形专题1、在ABC 中，已知内角A，边BC2 3 .设内角Bx ,面积为y .3(1)求函数yf ( x)的解析式和定义域；(2)求y 的最大值.3、在 ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别是 a，b，c，且 a 2c 2b2 1 ac.2（ ）求sin2 A Ccos2B的值；（2）若 b=2，求 ABC 面积的最大值124、在 ABC 中，已知内角 A 、B、C 所对的边分别为 a、b、c，向量 m 2sin B,3 ，n cos2B, 2cos 2 B1 ，且 m / n 。2（I ）求锐角 B 的大小； （II ）如果 b2 ，求 ABC 的面积 S ABC 的最大值。5、在

2、 ABC 中，角 A，B， C 的对边分别为 a，b，c，且 b cosC3a cosBc cosB.（I）求 cosB 的值；（II ）若 BA BC2，且 b22 ，求 a和 c b 的值 .6、在 ABC 中， cos A5 ， cos B10.510（）求角 C ；（）设 AB2，求ABC 的面积 .ur(1,2sin A) ，7、在 ABC 中， A 、B、C 所对边的长分别为 a、b、c，已知向量 mrur r3a. （ I）求 A 的大小；（II ）求 sin( B6)的值.n(sin A,1 cos A), 满足 m / n,b c8、 ABC中， a，b，c 分别是角A，B，

3、C 的对边，且有sin2C+3 cos（A+B ）=0，.当 a4, c13 ，求 ABC的面积。9、在 ABC 中，角 A 、 B、 C 所对边分别为 a，b，c，已知 tan A1,tan B1 ，且最长23边的边长为 l.求：（I）角 C 的大小；（II ）ABC 最短边的长 .10、在 ABC中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c. 已知 a+b=5，c =7 ，且4sin 2 A Bcos2C7 .22(1) 求角 C 的大小；（ 2）求 ABC 的面积 .11、已知 ABC 中， AB=4,AC=2, S ABC2 3 .（1）求 ABC 外接圆面积 .（2）求 cos(2B

4、+)的值 .312、在ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ，m(2bc, a) ，n(cos A,cosC ) ，且 m n 。求角 A 的大小；当 y2sin 2 Bsin(2 B) 取最大值时，求角B 的大小613、在 ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若 AB ACBA BCk( kR).（） 判断 ABC 的形状；（）若 c2,求 k 的值 .14、在 ABC 中， a、b、c 分别是角 A、 B、 C 的对边，且 cos Bb.cosC2ac（I ）求角 B 的大小；（ II ）若 b13， a c4 ，求ABC 的面积 .15、（ 2009 全

5、国卷理）在ABC 中，内角 A 、B、 C 的对边长分别为 a 、 b 、 c ，已知 a2c22b ，且 sin A cosC3cos Asin C ,求 b16、（ 2009 浙江）在ABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b, c ，且满足 cos A2 5 ，25uuur uuur3 AB AC（ I）求ABC 的面积；（II ）若 b c6 ，求 a 的值17、6.（ 2009 北京理）在ABC 中，角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, B，4 ,b3 。3cos A5（）求 sinC 的值；（）求 ABC 的面积 .18、（ 2009 全国卷文）设 ABC

6、的内角 A 、 B、C 的对边长分别为a、b、c，cos( AC )cos B3 ,b 2 ac ，求 B.219、（ 2009 安徽卷理）在ABC 中， sin(CA)1 ,sinB= 1 .3（I ）求 sinA 的值 ， (II) 设 AC=6 ，求ABC 的面积 .20、（ 2009 江西卷文）在 ABC 中， A, B, C 所对的边分别为 a,b, c ， A，6(1 3) c 2b uuur uuur3 ，求 a , b ， c （1）求 C ； （2）若 CB CA 121、（ 2009 江西卷理） ABC 中， A, B, C 所对的边分别为 a,b,c ，tan Csin

7、Asin B , sin( B A) cosC .cos Acos B（1）求 A, C ；（2）若 S ABC 33 , 求 a, c . 21 世纪教育网22、（ 2009 天津卷文）在ABC 中， BC5, AC 3, sin C 2sin A（）求 AB 的值。（）求 sin(2 A) 的值。423、(2010年高考天津卷理科7) 在 ABC 中，内角 A 、B、 C 的对边分别是 a、b、c，若 a2b23bc ，sinC=2 3sinB，则 A=（A）30（ B） 60（C）120（D）15024(2010 年高考全国 2 卷理数 17）（本小题满分10 分）ABC 中， D 为边

8、 BC 上的一点， BD 33 ， sin B5 ， cos ADC3，求 AD13525（ 2010 年高考浙江卷理科18）在 VABC 中，角 A，B,C 所对的边分别为 a，b，c，已知 cos2C= - 1 。4（）求sinC的值；（）当a=2，2sinA=sinC，求b 及 c的长。26、（ 2010 年高考广东卷理科16）已知函数 f (x) Asin(3 x)( A 0, x(,),0在 x时取得最大值 412(1)求 f ( x) 的最小正周期； (2)求 f ( x) 的解析式；(3)若 f ( 2 +)= 12 , 求 sin312527、（ 2010 年高考安徽卷理科16

9、）（本小题满分 12 分）设ABC 是锐角三角形， a, b, c 分别是内角 A, B, C 所对边长，并且sin2 A sin(B) sin(B)sin 2 B 。33()求角 A的值；uuur uuur2 7 ，求 b, c （其中 bc ）。()若 ABgAC 12, a答案：1. 解：（1） ABC 的内角和 ABCA0B233QQ ACBC sin B4sin xsin Ay1 AB AC sin A 4 3sin x sin( 2x)(0x2)23343 sin x sin( 2x)43 sin x(3 cos x1 sin x)（ 2） Q y3226sin x cos x2x

10、2 3 sin(2 x)3,(2x7 )2 3 sin66662xx3 时， y 取得最大值33当6 2 即|BC|1|AB|2、解：（ 1）由正弦定理有： sinsin 1200sin( 60 0) ；|BC|1sin，|AB|sin(600)sin 1200sin1200； f ( ) AB? BC4 sinsin(600)12 ( 3 cos1 sin ) sin32 3 221 sin(2)1 (0)36630253666 ；（ 2）由1sin( 2)1(0, 1 26； f ()613、解： (1) 由余弦定理： conB=42 AB1sin2+cos2B= -4cos B1 , 得

11、 sin B15 .b=2，（ 2）由4422181153 (a=c 时取等号 )a + c= ac+42ac,得 ac 3,SABC= acsinB2215故 SABC 的最大值为3B4、(1)解： mn2sinB(2cos221) 3cos2B2sinBcosB 3cos2Btan2B 3 0 2B ,2B23 ,锐角 B 35(2)由 tan2B3B3或6当 B 3 时，已知 b2，由余弦定理，得：4a2c2ac2acac ac(当且仅当 a c 2 时等号成立 ) ABC 的面积 SABC 132acsinB4 ac 3 ABC 的面积最大值为 31 分5当 B 6 时，已知 b2，由

12、余弦定理，得：4a2c23ac 2ac3ac (23)ac(当且仅当ac62时等号成立) ac4(23)1分 ABC的面积11SABC 2 acsinB 4ac 23 ABC 的面积最大值为23注：没有指明等号成立条件的不扣分.5、解：（ I）由正弦定理得 a2R sin A,b 2R sin B, c 2R sin C ，则2Rsin B cosC 6Rsin AcosB 2RsinC cosB,故 sin B cosC3sin A cosBsin C cosB,可得 sin B cosCsin C cosB3sin A cosB,即 sin(B C) 3sin AcosB,可得sin A又

13、3sin A cosB. sin A 0,cos B1 .因此3（ II ）解：由 BA BC 2, 可得 a cosB 2 ，又 cosB1 ,故ac6,3由 b 2a2c 22ac cosB,可得 a 2c212,所以(ac) 20,即ac,所以 ac 6cos A5cos B10A、 B0，6、（）解：由5，10，得2 ，所以sin A2， sin B35.10cosCcos( AB)cos( AB)cos Acos B2sin Asin B因为2C .且0C故4（）解：ABACACAB sin B6根据正弦定理得 sin Csin Bsin C10 ，1AB ACsin A6 .所以

14、ABC 的面积为 257、解：（ 1）由 m/n 得 2sin 2 A1cos A 02 分即 2 cos 2 Acos A 10cos A1 或 cos A12A是 ABC 的内角 , cos A1舍去A3（ 2） bc3asin Bsin C3 sin A32由正弦定理，BC2sin B sin( 2B)33323cos B3sin B3 即 sin( B6)322228、解：由 sin 2C3 cos( AB)0且ABC2sin C cosC3 cosC0所以 ,cosC30或 sin C有2a 4, c13, 有 ca,所以只能 sin C3 ,则C3 ，由2由余弦定理 c 2a 2b

15、22abcosC有 b 24b3 0, 解得 b1或 b3b3时, S1 absin C33当 b1时,S1 absin C3.当2211tan Atan B21311 tan A tan B119、解：（ I）tanCtan（ A B） tan（ A B）23C3 0C4， （ II ） 0tanBtanA， A 、B 均为锐角 , 则 BA ，又 C 为钝角，最短边为 b，最长边长为 ctan B110sin B10由3 ，解得c sin B1105b10bsinC25c由 sin Bsin C ，210、解： (1) A+B+C=180 4sin 2 ABcos2C7 得 4cos2 C

16、cos2C7由22224 1cosC(2cos2 C1)722整理，得 4cos2 C 4 cosC1 0cosC125 分解 得： 0C180 C=60（ 2）解：由余弦定理得： c2=a2+b22abcosC，即 7=a2+b2 ab 7( ab) 23ab由条件 a+b=5 得 7=253abab=6S ABC1 ab sin C1633 3222211、解：依题意，SV ABC1 ABAC sin A1 4 2sin A 2 3,sin A3222 ，A2A3所以3 或A3 时， BC=23 ,ABC 是直角三角形，其外接圆半径为2，(1)当面积为 224A2BC 2AB2AC 22A

17、B gAC cos 2164828当3时，由余弦定理得3，BC221BC=27,ABC 外接圆半径为 R= 2sin A3 ，28面积为3AA23（ 2）由（ 1）知3 或，AB216 , cos(2B+ 3 )=cos 3当3 时 , ABC 是直角三角形，22272 ,sin B21A3sin B143 时,由正弦定理得，2,当cos(2B+ 3 )=cos2Bcos 3 -sin2Bsin 3(1 2 21)1221 5731=(1-2sin2B)cos 3 -2sinBcosBsin 3 =142214142712、解：由 mn ，得 mgn 0 ，从而 (2bc)cos Aa cos

18、C0由正弦定理得 2sin B cos Asin C cos Asin A cosC02sin B cos Asin( AC )0,2sin B cos A sin B0sin B1AQ A,B (0,) ，0,cos A（62，3分）y2sin 2 Bsin(2 B)(1 cos 2B)sin 2B coscos2 Bsin66613 sin 2B1 cos2B1sin(2 B)2260 B27,由 (1),2B2 时，得，36666B即3 时， y 取最大值 213、解：（ I）AB AC cbcos A, BA BC ca cosB又AB AC BA BCbc cos Aac cosBs

19、in B cosAsin A cosB即 sin A cosBsin B cosA0sin( AB)0ABABABC 为等腰三角形 .（ II ）由（ I）知 abABAC bc cos Abc b2c2a2c 22bc2c2k 1abc14、解：（ I）解法一：由正弦定理 sin A sin B2Rsi nC得a2R sin A， b2R si n B， cR 2sin CcosBb得 cos Bsi n B将上式代入已知 cosC2accosC2 sin A sin C即 2sin Acos Bsin C cos BcosC si n B 0即 2sin A cos Bsin(B C )

20、0ABC， sin( BC) sin A， 2 sin A cosBsin A 0sin A 0， cos B1，2B2B 为三角形的内角，3 .cosBa2c2b2， cosCa 2b2c 2解法二：由余弦定理得2ac2abcos Bb得a 2c 2b22abb将上式代入 cosC2ac2aca 2b2c22ac整理得 a 2c2b2aca 2c2b 2ac1cosB2ac2ac2B2B 为三角形内角，3b13， a c24， B代入余弦定理 b2a2c22ac cos B 得（II）将3b 2(ac) 22ac2ac cosB ，13162ac(11)， ac32SABC1 ac si n

21、 B3324.15、分析 :此题事实上比较简单 ,但考生反应不知从何入手 .对已知条件 (1) a2c22b 左侧是二次的右侧是一次的 ,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件 (2)sin A cosC3cos Asin C , 过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差 ,导致找不到突破口而失分 .解法一：在ABC 中Q sin AcosC3cos A sin C, 则由正弦定理及余弦定理aga2b2c23 b2c2a2gc,222有 :2ab2bc化简并整理得： 2(ac ) b.又由已知a2c22b 4b b2 .解得 b4或 b0(舍）.解法二 :

22、由余弦定理得 :a2c2b22bc cos A .又 a2c22b , b0 。b2c cos A2sin A cosC3cos Asin Csin A cosCcos Asin C4cos Asin Csin( AC )4cos Asin Csin B4cos Asin Csin Bb sin C4c cos Acbb 416Icos A25cos A2cos 2 A13,sin A4uuur uuur325255ABACS ABC1bc sin A 2bc cos A3,bc5221IIbc5bc6b5, c1 b 1,c5a2b2c22bc cos A20a25 2117B4,cos A

23、ABCABC35C23A,sin A53sin C sin2A3 cos A1 sin A34332210.sin A3343,sin C510B, b3ABC3ab sin A6sin B5 .S1 ab sin C1633 4 336 93 ABC 的面积2251050.18、解析：本题考查三角函数化简及解三角形的能力，关键是注意角的范围对角的三3角函数值的制约，并利用正弦定理得到sinB= 2 (负值舍掉 )，从而求出B=3 。3解：由cos（ AC）+cosB= 2及B=（A+C ）得3cos（ AC）cos（A+C ）=2，3cosAcosC+sinAsinC（cosAcosC si

24、nAsinC ） = 2 ,3sinAsinC= 4 .又由 b2 =ac 及正弦定理得 21 世纪教育网sin2 Bsin A sin C ,sin2 B3故4 ，sin B332sin B或2 （舍去），2于是B= 3或 B=3 .又由b2ac 知 ba 或 b c所以 B= 3。19、本小题主要考查三角恒等变换、正弦定理、解三角形等有关知识，考查运算求解能力。本小题满分12 分C A2，且C AABsinA sin(B)2 (cosBsinB)解：（）由B，4 2，42222 ，sin2 A1 (1 sin B)130，sin A23 ，又 sinA3CABACBC（）如图，由正弦定理得sin B sin AAC sin A6 ?3BC332sin B1，又 sin Csin( A B)sin A cos Bcos Asin B332261633333S ABC1AC ? BC ? sin C16 3263222320、解：（1）由 (13) c2bb13sin B得 c22sin Csin(6C )sin 5