孪晶电子衍射图的分析

1、第第 3 3 章章 孪晶电子衍射花样的分析孪晶电子衍射花样的分析 孪晶的概念孪晶的概念： 按形成方式分为按形成方式分为： 几种材料中的孪晶照片几种材料中的孪晶照片 照片照片1 1: (a) : (a) Ni, (b) Ni, (b) 不锈钢，不锈钢， Si Si 照片照片3838：普通结构钢中的孪晶马氏体：普通结构钢中的孪晶马氏体 结构相同的两部分晶体按一定的取向关系呈对称排列在一起。结构相同的两部分晶体按一定的取向关系呈对称排列在一起。 生长孪晶；形变孪晶生长孪晶；形变孪晶 (a) (a) NiNi A A、B B、C C为等倾条纹；为等倾条纹；S S、Y Y等孪晶共格界面处，等倾条纹因等孪

2、晶共格界面处，等倾条纹因s s符号改变而改变符号改变而改变 方向；方向； T T、P P为非共格孪晶界，在为非共格孪晶界，在P P处显示近似垂直膜面的处显示近似垂直膜面的End-onEnd-on位错列位错列 P P孪晶中高密度位错孪晶中高密度位错 (b) (b) 不锈钢不锈钢 Si 孪晶斑点孪晶斑点T1T1、T2T2；P P处在孪晶马氏体周围高密度位错处在孪晶马氏体周围高密度位错 3.1.2 3.1.2 孪晶倒易点阵的对称关系孪晶倒易点阵的对称关系 3.1 3.1 孪晶的晶体几何特征及倒易点阵孪晶的晶体几何特征及倒易点阵 3.1.1 3.1.1 孪晶的晶体几何特征孪晶的晶体几何特征 3.2 3

3、.2 二次旋转孪晶的指数变换公式二次旋转孪晶的指数变换公式 3.3 3.3 立方晶系孪晶电子衍射图的分析立方晶系孪晶电子衍射图的分析 3.3.1 3.3.1 立方晶系孪晶指数变换公式立方晶系孪晶指数变换公式 3.3.2 3.3.2 面心立方晶体孪晶倒易阵点的分布特征面心立方晶体孪晶倒易阵点的分布特征 3.3.3 3.3.3 体心立方晶体孪晶倒易阵点的分布特征体心立方晶体孪晶倒易阵点的分布特征 3.3.4 3.3.4 立方晶体孪晶电子衍射图的标定立方晶体孪晶电子衍射图的标定 本章内容 3.1 3.1 孪晶的晶体几何特征及倒易点阵孪晶的晶体几何特征及倒易点阵 3.1.1 3.1.1 孪晶的晶体几何

4、特征孪晶的晶体几何特征 1. 孪晶的基本要素：孪晶的基本要素： 孪晶面和孪生方向是用以描述孪晶特性的特征晶面和特征方向，合称孪晶系统，孪晶面和孪生方向是用以描述孪晶特性的特征晶面和特征方向，合称孪晶系统， 亦称为孪晶的基本要素。亦称为孪晶的基本要素。 f.c.c.f.c.c.、b.c.c.b.c.c.、hcphcp结构金属晶体中，孪晶比较常见结构金属晶体中，孪晶比较常见 f.c.c.f.c.c.晶体中，孪晶系统为：晶体中，孪晶系统为：111111 b.c.c.b.c.c.晶体中，孪晶系统为：晶体中，孪晶系统为：112112 HcpHcp晶体中，孪晶系统为：晶体中，孪晶系统为：10121012

5、（2 2）旋转孪晶）旋转孪晶 以孪晶轴为轴的旋转对称以孪晶轴为轴的旋转对称 以孪生方向为轴的旋转对称以孪生方向为轴的旋转对称 旋转角度有旋转角度有60600 0、90900 0、1201200 0、1801800 0，其中以，其中以1801800 0最常见。最常见。 2. 孪晶按对称操作分类孪晶按对称操作分类 （1 1）反映孪晶）反映孪晶 以孪晶面为镜面的反映对称以孪晶面为镜面的反映对称 以垂直于孪生方向的晶面为镜面的反映对称以垂直于孪生方向的晶面为镜面的反映对称 孪晶倒易矢量的对称操作孪晶倒易矢量的对称操作 3. Bcc晶体孪晶的几何对称特征晶体孪晶的几何对称特征 (a) (a) 以孪晶面为

6、镜面的反映对称和以孪生方向为轴的二次旋转对称以孪晶面为镜面的反映对称和以孪生方向为轴的二次旋转对称 (b) (b) 以孪晶轴为轴的二次旋转对称和以孪生方向垂直的晶面为镜面的反映对称以孪晶轴为轴的二次旋转对称和以孪生方向垂直的晶面为镜面的反映对称 体心立方晶体孪晶的点阵对称关系体心立方晶体孪晶的点阵对称关系 010 001 100 111 110 112 (110) (11 2) 体心立方晶体孪晶的点阵对称关系体心立方晶体孪晶的点阵对称关系 a) a)以孪晶面为镜面的反映对称和以以孪晶面为镜面的反映对称和以 孪生方向为轴的二次旋转对称孪生方向为轴的二次旋转对称 b)b)以孪晶轴为轴的二次旋转对称

7、和以孪晶轴为轴的二次旋转对称和 以孪生方向垂直的晶面为镜面的以孪生方向垂直的晶面为镜面的 反映对称反映对称 3.1.2 3.1.2 孪晶倒易点阵的对称关系孪晶倒易点阵的对称关系 晶体的正、倒点阵互为倒易，正点阵中存在的孪晶关系，在相应的倒易点 阵也一定存在孪晶关系。因此，有 正点阵中基体和孪晶正点阵中基体和孪晶同名指数的晶面具同名指数的晶面具有对称关系，有对称关系， 相应的倒易矢量相应的倒易矢量之间也一定有对称关系之间也一定有对称关系 正点阵中基体和孪晶正点阵中基体和孪晶同名的晶向同名的晶向有对称关系，有对称关系，相应的相应的 倒易平面倒易平面之间也一定有对称关系之间也一定有对称关系 孪晶晶体

8、点阵所存在的四种对称关系可以用孪晶的倒易矢量之间的关系孪晶晶体点阵所存在的四种对称关系可以用孪晶的倒易矢量之间的关系 来表达。见下图，来表达。见下图， 因为电子衍射图反映的是倒易点阵的某二维倒易截面， 所以，孪晶电子衍射图中衍射斑点的排列也反映孪晶的 上述四种关系。 上述四种关系可简化为孪晶轴和孪生方向的两种旋转对 称关系。这样，只要将基体的倒易阵点绕孪晶轴或孪生 方向旋转1800即可得到同名的孪晶倒易阵点，这是衍射分 析的基础。 3.2 3.2 二次旋转孪晶的指数变换公式二次旋转孪晶的指数变换公式 二次旋转孪晶基体与孪晶倒易矢量的对称关系如图所示。二次旋转孪晶基体与孪晶倒易矢量的对称关系如图

9、所示。 符号规定： * 3 * 2 * 1 a lakahg M * 3 * 2 * 1 alakahg ttt T g gM M指数为指数为(hkl)(hkl)M M的基体倒易矢量的基体倒易矢量 g gT T指数为指数为(hkl)(hkl)T T的孪晶倒易矢量，的孪晶倒易矢量， h ht tk kt tl lt t是其在基体倒易点阵中的指数是其在基体倒易点阵中的指数 * 3 * 2 * 1 aLaKaHg A g gA A孪晶面所对应的倒易矢量，其指数为孪晶面所对应的倒易矢量，其指数为HKLHKL* * r rA A孪晶轴，其指数为孪晶轴，其指数为UVWUVW 321 aWaVaUrA 建立

10、建立hkt与与ht tkt tlt t之间的关系之间的关系,并求并求 解解 h ht tk kt tl lt t ？ ？ 下面的问题是: ATAM rgrg )()( )()( 321 * 3 * 2 * 1 321 * 3 * 2 * 1 aWaVaUalakah aWaVaUalakah ttt WlVkUhlWkVhU ttt 由几何关系，有： （3-13-1） 如何求解如何求解 h ht tk kt tl lt t ？ ？ 由g gM、g gT和g gA三个倒易矢量共面，有： ATM gmgg * 3 * 2 * 1 * 3 * 2 * 1 )()()(amLamKamHallakka

11、hh ttt lmLl kmKk hmHh t t t （3-23-2） 将式（3-2）代入（3-1），有： )()(2LWKVHUmlWkVhU LWKVHU lWkVhU m )(2 （3-33-3） llWkVhU LWKVHU L l klWkVhU LWKVHU K k hlWkVhU LWKVHU H h t t t )( 2 )( 2 )( 2 将上式代入（3-2），有： （3-43-4） 该式适用于任意晶系二次旋转孪晶的晶面指数变换公式。该式适用于任意晶系二次旋转孪晶的晶面指数变换公式。 可以求出与基体倒易阵点可以求出与基体倒易阵点(hkl)(hkl)M M同名的孪晶倒易阵点同

12、名的孪晶倒易阵点 (hkl)(hkl)T T在在基体倒易点阵中的坐标基体倒易点阵中的坐标。 因为基体与孪晶互为孪晶，也适用于把基体倒易阵点指因为基体与孪晶互为孪晶，也适用于把基体倒易阵点指 数变换为孪晶点阵中的指数数变换为孪晶点阵中的指数 wwLvKuH WLVKUH W w vwLvKuH WLVKUH V v uwLvKuH WLVKUH U u t t t )( 2 )( 2 )( 2 （3-53-5） 同理，可得到任意晶系二次旋转孪晶的晶向指数变换公式同理，可得到任意晶系二次旋转孪晶的晶向指数变换公式 llWkVhU LWKVHU L l klWkVhU LWKVHU K k hlWk

13、VhU LWKVHU H h t t t )( 2 )( 2 )( 2 （3-43-4） l k h I L K H UVW UVW L K H l k h t t t 2 w v u I W V U HKL HKL W V U w v u t t t 2 （3-43-4）和（）和（3-53-5）的矩阵形式为）的矩阵形式为 （3-63-6） （3-73-7） I L K H UVW UVW L K H T 2 晶面 I W V U HKL HKL W V U T 2 晶向 孪晶晶面指数变换矩阵孪晶晶面指数变换矩阵 孪晶晶向指数变换矩阵孪晶晶向指数变换矩阵 3.3 3.3 立方晶系孪晶电子衍射图

14、的分析立方晶系孪晶电子衍射图的分析 3.3.1 3.3.1 立方晶系孪晶指数变换公式立方晶系孪晶指数变换公式 在立方晶系中，孪晶的晶面指数（在立方晶系中，孪晶的晶面指数（HKL）和孪晶面的法向指数）和孪晶面的法向指数UVW相同，因相同，因 此，可以用此，可以用pqr代替代替HKL和和UVW，则立方晶系孪晶指数变换公式为：，则立方晶系孪晶指数变换公式为： llrkqhp rqp r l klrkqhp rqp q k hlrkqhp rqp p h t t t )( 2 )( 2 )( 2 222 222 222 （3-83-8） I r q p pqr pqr r q p T 2 变换矩阵为变

15、换矩阵为 （3-93-9） 3.3.2 3.3.2 面心立方晶体孪晶倒易阵点的分布特征面心立方晶体孪晶倒易阵点的分布特征 llrkqhprl klrkqhpqk hlrkqhpph t t t )( 3 2 )( 3 2 )( 3 2 （3-103-10） 面心立方晶体，孪晶面指数为面心立方晶体，孪晶面指数为111111，p p2 2 + q + q2 2 + r + r2 2 = 3 = 3，则有，则有 讨讨 论：论： （1）当）当hp + kq + lr = 3n (n = 0, 1, 2, .整数整数)时，时，(3-10)为为 lnrl knqk hnph t t t 2 2 2 l k

16、 h r q p n l k h t t t 2或或 此时，孪晶的(hkl)T倒易阵点（或衍射斑点）与基体的某一倒易阵点相重，其 位置是从基体的(hkl)倒易阵点出发，经过2n的位移。 （3-123-12） （3-113-11） 例例1 1：在在fccfcc结构中，若孪晶面为结构中，若孪晶面为(111)(111)，求孪晶，求孪晶(31(311 1) )倒易阵倒易阵 点在基体倒易点阵中的位置。点在基体倒易点阵中的位置。 由由 (pqr) = (111)(pqr) = (111)，（，（hklhkl）= = （31311 1） 得得 hp + kq + lr = 3hp + kq + lr = 3

17、，即，即 n = 1n = 1，代入（，代入（3-123-12） 3 1 1 1 1 3 1 1 1 2 t t t l k h 孪晶的孪晶的(31(311 1) )倒易阵点与基体（倒易阵点与基体（1 11313）倒易阵点重合。）倒易阵点重合。 l k h r q p n l k h t t t 2 （2）当）当hp + kq + lr = 3n 1 (n = 0, 1, 2, .整数整数)时，时，(3-10)为为 rrnllrnl qqnkkqnk ppnhhpnh t t t 3 1 ) 12() 3 1 (2 3 1 ) 12() 3 1 (2 3 1 ) 12() 3 1 (2 r q

18、 p r q p n l k h r q p lnr knq hnp l k h t t t 3 1 ) 12( 3 2 2 2 2 （3-143-14） （3-133-13） 或或 由此可见，孪晶倒易阵点与基体倒易阵点不相重，孪晶倒易阵点的位置是从 基体某一倒易阵点出发，再作位移2/3或1/3 例例1 1：在在fccfcc结构中，若孪晶面为结构中，若孪晶面为(111)(111)，求孪晶，求孪晶(311)(311)T T倒易倒易 阵点在基体倒易点阵中的位置。阵点在基体倒易点阵中的位置。 由由 (pqr) = (111)(pqr) = (111)，（，（hklhkl）= = （311311） 得

19、得 hp + kq + lr = 5hp + kq + lr = 5，即，即3n 3n 1 1 = 5 = 5，n =2, n =2, 代入（代入（3-143-14） 孪晶的孪晶的(311)(311)T T倒易阵点与基体倒易阵点不重合，而位于基体（倒易阵点与基体倒易阵点不重合，而位于基体（177177）倒易阵点）倒易阵点 的的1/31/3处。处。 7 7 1 3 1 1 1 1 3 2 3 3 1 1 1 1 3 2 14 14 34 t t t l k h 3.3.3 3.3.3 体心立方晶体孪晶倒易阵点的分布特征体心立方晶体孪晶倒易阵点的分布特征 体心立方晶体，孪晶面指数体心立方晶体，孪晶

20、面指数112112， p p2 2 + q + q2 2 + r + r2 2 = 6 = 6，则有，则有 llrkqhprl klrkqhpqk hlrkqhpph t t t )( 3 1 )( 3 1 )( 3 1 （3-153-15） 讨讨 论：论： （1）当）当hp + kq + lr = 3n (n = 0, 1, 2, .整数整数)时，时，(3-15)可写可写为为 或 此时，孪晶的(hkl)T倒易阵点（或衍射斑点）与基体的某一倒易阵点相重，其 位置是从基体的(hkl)倒易阵点出发，经过n的位移。 （3-173-17） （3-163-16） lnrl knqk hnph t t t

21、 l k h r q p n l k h t t t （2）当）当hp + kq + lr = 3n 1 (n = 0, 1, 2, .整数整数)时，时，(3-15)可写可写为为 或或 此时，孪晶的(hkl)T倒易阵点（或衍射斑点）与基体的某一倒易阵点不重合， 而是位于基体某一倒易阵点的1/3处。 （3-193-19） （3-183-18） lrnl kqnk hpnh t t t ) 3 1 ( ) 3 1 ( ) 3 1 ( r q p lnr knq hnp l k h t t t 3 1 3.3.4 3.3.4 立方晶体孪晶电子衍射图的标定立方晶体孪晶电子衍射图的标定 立方晶系立方晶系

22、 当当hp + kq + lr = 3n时，孪晶与基体斑点重合；时，孪晶与基体斑点重合； 当当hp + kq + lr = 3n 1时，时，孪晶与基体斑点孪晶与基体斑点不重合，孪晶不重合，孪晶 斑点出现在基体某一斑点的斑点出现在基体某一斑点的1/3处。处。 下面来分析可能出现的几种情况：下面来分析可能出现的几种情况： （1 1）入射电子束方向与孪晶轴平行（与孪晶面垂直）入射电子束方向与孪晶轴平行（与孪晶面垂直） 如图所示，如图所示， 孪晶轴为晶带轴孪晶轴为晶带轴uvwuvw 由晶带定律由晶带定律 hu + kv + lw = 0 孪晶斑点与基体斑点全部重合孪晶斑点与基体斑点全部重合 (ghkl

23、)M(ghkl)T uvw (pqr) B 由于孪晶和基体为二次旋转对称，孪由于孪晶和基体为二次旋转对称，孪 晶与基体斑点指数符号相反，即晶与基体斑点指数符号相反，即 hklM* = hklT* （2 2）入射电子束方向与孪晶轴垂直（与孪晶面平行）入射电子束方向与孪晶轴垂直（与孪晶面平行） (pqr) O* gT gM gT gM gpqr gpqr uvw B 孪晶面（孪晶面（pqrpqr）为基体与孪晶共有，基体）为基体与孪晶共有，基体 和孪晶的其他同名指数斑点均以和孪晶的其他同名指数斑点均以pqrpqr* *为轴，为轴， 呈二次旋转对称。呈二次旋转对称。 在分析孪晶晶体几何关系时，通常要获

24、得在分析孪晶晶体几何关系时，通常要获得 这种取向的孪晶电子衍射图。这种取向的孪晶电子衍射图。 孪晶轴孪晶轴 孪晶面孪晶面 （3）入射电子束方向与孪晶面即不垂直，也不平行，但电子衍 射图看起来似乎只有一套斑点（仅在特殊情况下出现） 例例1 1：面心立方（：面心立方（111111）孪晶，）孪晶，110110M M与与114114T T平行，则孪晶平行，则孪晶114114T T晶带斑点晶带斑点 全部与基体全部与基体110110M M晶带斑点重合晶带斑点重合 注意：基体和孪晶的重合斑点强度较高。注意：基体和孪晶的重合斑点强度较高。 010 001 100 35.260 111 110M/B 114 3

25、5.260 (111) 例例2 2：体心立方（：体心立方（112112）孪晶，）孪晶，110110M M与与 111144T T平行，则孪晶平行，则孪晶 114114T T晶带斑点全部与基体晶带斑点全部与基体110110M M晶带斑点重合晶带斑点重合 （4）入射电子束方向与孪晶面即不垂直，也不平行，电子衍 射图存在两套斑点（最常见的情况）（最常见的情况） 部分斑点重合，其余孪晶斑点位于基体斑点的部分斑点重合，其余孪晶斑点位于基体斑点的1/31/3处处 在衍射图中出现在衍射图中出现1/31/3位置的斑点是立方晶系孪晶电子衍射图的一个重要特征。位置的斑点是立方晶系孪晶电子衍射图的一个重要特征。 （

26、5 5）孪晶衍射花样标定示例）孪晶衍射花样标定示例 例例1 1：已知图：已知图3-7(a)3-7(a)是是fccfcc金属的孪晶，当孪晶面与入射束平金属的孪晶，当孪晶面与入射束平 行时获得的电子衍射图，试标定其指数。行时获得的电子衍射图，试标定其指数。 孪晶面孪晶面 孪晶轴孪晶轴 标定步骤：标定步骤： 1) 1) 在衍射图中分离出两套衍射斑点在衍射图中分离出两套衍射斑点； 2) 2) 标定基体的斑点标定基体的斑点。把其中的一套作为基体的衍射，并按。把其中的一套作为基体的衍射，并按 已知的单晶花样的标定方法进行标定斑点指数，确定基已知的单晶花样的标定方法进行标定斑点指数，确定基 体的晶带轴指数为

27、体的晶带轴指数为101101M M，标定结果见图 ，标定结果见图(b)(b) 3) 3) 标定孪晶的斑点标定孪晶的斑点。由衍射图中孪晶和基体斑点的对称关。由衍射图中孪晶和基体斑点的对称关 系，标定孪晶各衍射斑点。孪晶和基体的斑点以孪晶轴系，标定孪晶各衍射斑点。孪晶和基体的斑点以孪晶轴 1 11111 为轴，呈二次旋转对称。孪晶斑点标定结果见图为轴，呈二次旋转对称。孪晶斑点标定结果见图(b)(b)； 4) 4) 孪晶晶带轴的确定孪晶晶带轴的确定。用已标定的孪晶斑点指数确定；用已标定的孪晶斑点指数确定； 根据孪晶与基体的对称关系确定，显然应该与基体相根据孪晶与基体的对称关系确定，显然应该与基体相

28、反，即反，即 1 10 01 1 T T。 例例2 2：图：图3-83-8为为bccbcc晶体的孪晶电子衍射图，试完成其指数标定。晶体的孪晶电子衍射图，试完成其指数标定。 标定步骤：标定步骤： （1 1）基体标定与方法）基体标定与方法 标定基体衍射斑点，见图标定基体衍射斑点，见图 确定基体晶带轴，确定基体晶带轴，001001M M 由衍射花样可见，基体与孪晶的点完全由衍射花样可见，基体与孪晶的点完全 重合重合 （2 2）孪晶标定与方法）孪晶标定与方法 确定孪晶面与孪晶晶带轴确定孪晶面与孪晶晶带轴 根据斑点强度找出孪晶斑点的位置，根据斑点强度找出孪晶斑点的位置， 即花样中强度高的点即花样中强度高

29、的点 据重合斑点确定孪晶面和孪晶晶带轴据重合斑点确定孪晶面和孪晶晶带轴 已知已知A A为重合斑点，指数为为重合斑点，指数为(1(11 10)0)M M，应满足，应满足 hp + kq + lr = 3n 则可能的孪晶面为则可能的孪晶面为 (112)(112)、 (11(112 2) )、 (2(21 11)1)、 ( (2 211)11)、 (1(12 21)1)、 ( (1 121)21) wwLvKuH WLVKUH W w vwLvKuH WLVKUH V v uwLvKuH WLVKUH U u t t t )( 2 )( 2 )( 2 （3-5） 从确定是否为从确定是否为112112

30、孪晶这一目的出发，可选任意结果作为孪晶面。孪晶这一目的出发，可选任意结果作为孪晶面。 此时，利用式（此时，利用式（3-53-5）计算对应的孪晶晶带轴）计算对应的孪晶晶带轴 221221T T、 222211T T、 221212 T T、 2 21 12 2 T T、 112222 T T、 1 12 22 2 T T 注意：这里取注意：这里取 UVW=112；HKL=112；uvw = 001 确定孪晶斑点确定孪晶斑点 假定孪晶面为（假定孪晶面为（112112），利用公式（），利用公式（3-153-15）计算得）计算得A A和和B B斑点的指数分别为斑点的指数分别为 ( (1 110)10)

31、T T和和( (11114) 4)T T。 lnrl knqk hnph t t t （3-15） hp + kq + lr = 3n A A对应的对应的n=0n=0 B B对应的对应的n=2n=2 llrkqhprl klrkqhpqk hlrkqhpph t t t )( 3 1 )( 3 1 )( 3 1 例例3 3：标定图：标定图3-93-9所示的面心立方晶体的孪晶电子衍射图。所示的面心立方晶体的孪晶电子衍射图。 （1 1）在衍射图中分离出两套斑点，在衍射图中分离出两套斑点， 将其中一套作为基体，如图将其中一套作为基体，如图 标定结果为标定结果为012012M M （2 2）根据可能的

32、孪晶面，并利用）根据可能的孪晶面，并利用 式（式（3-53-5）求出与基体晶带轴）求出与基体晶带轴 方向平行的孪晶晶带轴方向平行的孪晶晶带轴 wwLvKuH WLVKUH W w vwLvKuH WLVKUH V v uwLvKuH WLVKUH U u t t t )( 2 )( 2 )( 2 从花样的分布特征可以看出，孪晶与基体属于同一晶向族，由上表可以判断，从花样的分布特征可以看出，孪晶与基体属于同一晶向族，由上表可以判断， 孪晶面为孪晶面为(111)(111)和和( (1 111)11)二者之一二者之一 （3 3）利用重合斑点确定孪晶面指数。）利用重合斑点确定孪晶面指数。 已知，重合已

33、知，重合A A斑点为斑点为(2(24 42)2)M M，由，由 hp + kq + lr = 3n hp + kq + lr = 3n 确定孪晶面为（确定孪晶面为（111111），）， 相应孪晶晶带轴为相应孪晶晶带轴为210210。 （4 4）标定重合斑点的孪晶指数。）标定重合斑点的孪晶指数。 l k h r q p n l k h t t t 2 A A斑点指数为斑点指数为(2(24 42)2)M M，由满足，由满足 hp + kq + lr = 3nhp + kq + lr = 3n知，知，n=0n=0。利用下式计算对应。利用下式计算对应 的孪晶斑点指数为（的孪晶斑点指数为（2 24 42

34、 2）。）。 （5 5）标定其它孪晶衍射斑点的指数）标定其它孪晶衍射斑点的指数 已知孪晶的晶带轴为已知孪晶的晶带轴为210210T T，由晶带定律知，由晶带定律知，(002)(002)T T属于此晶带属于此晶带 hp + kq + lr = 3-1，即，即 n=1 r q p r q p n l k h r q p lnr knq hnp l k h t t t 3 1 ) 12( 3 2 2 2 2 由由(pqr)=(111)(pqr)=(111)，(hkl)(hkl)T T=(002)=(002)T T，有，有 则则(002)(002)T T斑点在基体衍射图中的位置用下式计算斑点在基体衍射

35、图中的位置用下式计算 2 4 4 3 1 1 1 1 3 2 0 2 2 3 2 2 2 2 r q p lnr knq hnp l k h t t t 即即(002)(002)T T斑点位于基体斑点位于基体(44(442 2) )M M斑点的斑点的1/31/3处。处。 孪晶倒易矢量的对称操作孪晶倒易矢量的对称操作 * 3 * 2 * 1 aLaKaHg A g gA A孪晶面所对应的倒易矢量，其指数为孪晶面所对应的倒易矢量，其指数为HKLHKL* * r rA A孪晶轴，其指数为孪晶轴，其指数为UVWUVW 321 aWaVaUrA 建立建立hkt与与ht tkt tlt t之间的关系之间的

36、关系,并求并求 解解 h ht tk kt tl lt t ？ ？ 下面的问题是: wwLvKuH WLVKUH W w vwLvKuH WLVKUH V v uwLvKuH WLVKUH U u t t t )( 2 )( 2 )( 2 （3-53-5） 同理，可得到任意晶系二次旋转孪晶的晶向指数变换公式同理，可得到任意晶系二次旋转孪晶的晶向指数变换公式 llWkVhU LWKVHU L l klWkVhU LWKVHU K k hlWkVhU LWKVHU H h t t t )( 2 )( 2 )( 2 （3-43-4） 讨讨 论：论： （1）当）当hp + kq + lr = 3n (n = 0, 1, 2, .整数整数)时，时，(3-10)为为 lnrl knqk hnph