高中数学完整讲义——排列与组合8.排列组合问题的常用方法总结2

1、高中数学讲义排列组合问题的常用方法总结 2知识内容1基本计数原理加法原理分类计数原理：做一件事，完成它有n 类办法，在第一类办法中有m1 种不同的方法，在第二类办法中有 m2 种方法，在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法那么完成这件事共有N m1 m2 L mn 种不同的方法又称加法原理乘法原理分步计数原理：做一件事，完成它需要分成 n 个子步骤，做第一个步骤有 m1 种不同的方法，做第二个步 骤 有 m2 种 不 同 方 法 ， ， 做 第 n 个 步 骤 有 mn 种 不 同 的 方 法 那 么 完 成 这 件 事 共 有N m1 m2 L mn 种不同的方法又称乘法原理加法原理与乘法

2、原理的综合运用如果完成一件事的各种方法是相互独立的， 那么计算完成这件事的方法数时， 使用分类计数原理 如果完成一件事的各个步骤是相互联系的， 即各个步骤都必须完成， 这件事才告完成， 那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理分类计数原理、 分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用2 排列与组合排列：一般地，从n 个不同的元素中任取m(m n) 个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个排列 （其中被取的对象叫做元素）排列数：从 n 个不同的元素中取出m(m n

3、) 个元素的所有排列的个数，叫做从 n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号A mn 表示排列数公式：A mn全排列：一般地，n 的阶乘：正整数由n(n 1)(n 2) L (n m 1) ， m，n N，并且 m n n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的一个全排列1到 n 的连乘积，叫作 n 的阶乘，用n! 表示规定： 0! 1 组合：一般地， 从 n 个不同元素中， 任意取出 m (m n) 个元素并成一组，叫做从n 个元素中任取思维的发掘能力的飞跃1高中数学讲义m 个元素的一个组合组合数：从 n 个不同元素中，任意取出m (m n) 个元素的所有组合的个数，叫做从

4、n 个不同元素中，任意取出 m 个元素的组合数，用符号Cnm 表示组合数公式： Cnmn( n1)(n 2)L( nm1)n!， m,n N ，并且 m n m!( n m)!m!组合数的两个性质：性质mn mmmm 101： CnCn；性质 2： Cn 1CnCn（规定 Cn 1 ）排列组合综合问题解排列组合问题， 首先要用好两个计数原理和排列组合的定义，即首先弄清是分类还是分步，是排列还是组合，同时要掌握一些常见类型的排列组合问题的解法：1特殊元素、特殊位置优先法元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；2分类分步法

5、： 对于较复杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算，一定要做到分类明确，层次清楚，不重不漏3排除法，从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法4捆绑法： 某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一个 ”元素，与其它元素进行排列，然后再给那 “一捆元素 ”内部排列5插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空6插板法： n 个相同元素， 分成 m(m n) 组，每组至少一个的分组问题 把 n 个元素排成一排，从 n 1个空中选 m 1 个空，各插一个隔板，有 Cnm 11 7分组、分配法：分组问题（分成几堆，无序）有等分、不等分、部分等分之别一般地平

6、均分成 n 堆（组），必须除以n ！，如果有m 堆（组）元素个数相等，必须除以m ！8错位法：编号为1 至 n 的 n 个小球放入编号为1 到 n 的 n 个盒子里，每个盒子放一个小球，要求小球与盒子的编号都不同，这种排列称为错位排列，特别当n2 ，3，4，5 时的错位数各为1，2，9，44关于 5、6、7 个元素的错位排列的计算，可以用剔除法转化为2 个、 3 个、 4 个元素的错位排列的问题1排列与组合应用题，主要考查有附加条件的应用问题，解决此类问题通常有三种途径：元素分析法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；位置分析法：以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其

7、他位置；间接法：先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题；再通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；然后分析题目条件，避免“选取 ”时重复和遗漏；最后列出式子计算作答2思维的发掘能力的飞跃高中数学讲义2具体的解题策略有：对特殊元素进行优先安排；理解题意后进行合理和准确分类，分类后要验证是否不重不漏；对于抽出部分元素进行排列的问题一般是先选后排，以防出现重复；对于元素相邻的条件，采取捆绑法；对于元素间隔排列的问题，采取插空法或隔板法；顺序固定的问题用除法处理；分几排的问题可以转化为直排问题处理；对于正面考虑太复

8、杂的问题，可以考虑反面对于一些排列数与组合数的问题，需要构造模型典例分析挡板法（名额分配或者相同物品的分配问题）【例 1】某市植物园要在30 天内接待 20 所学校的学生参观， 但每天只能安排一所学校，其中有一所学校人数较多，要安排连续参观2 天，其余只参观一天，则植物园30 天内不同的安排方法有种【例 2】某校准备组建一个由12 人组成篮球队，这12 个人由 8 个班的学生组成，每班至少一人，名额分配方案共种【例 3】abcd 15 有多少项？【例 4】有 20 个不加区别的小球放入编号为 1，2， 3 的三个盒子里，要求每个盒子内的球数不少编号数，问有多少种不同的方法？思维的发掘能力的飞跃

9、3高中数学讲义【例 5】 不定方程x1x2x3.x50100 中不同的正整数解有组，非负整数解有组【例 6】 5 个人参加秋游带10 瓶饮料，每人至少带1 瓶，一共有多少种不同的带法【例 7】 将 7 个完全相同的小球任意放入4 个不同的盒子中，共有多少种不同的放法？【例 8】 一个楼梯共 18 个台阶 12 步登完，可一步登一个台阶也可一步登两个台阶，一共有多少种不同的走法【例 9】 有 10 个三好学生名额，分配到高三年级的6 个班里，要求每班至少1个名额，共有多少种不同的分配方案【例 10】某中学准备组建一个18 人的足球队，这18 人由高一年级10 个班的学生组成，每个班至少一个，名额

10、分配方案共有_种4思维的发掘能力的飞跃高中数学讲义【例 11】 10 个优秀指标名额分配到一、二、三3 个班，若名额数不少于班级序号数，共有多少种不同的分配方法？插空法（当需排的元素不能相邻时）【例 12】从 1，2 ，3，L ，1000 个自然数中任取10 个互不连续的自然数，有多少种不同的取法【例 13】某会议室第一排共有8 个座位，现有3 人就座，若要求每人左右均有空位，那么不同的坐法种数为（）A 12B 16C24D 32【例 14】三个人坐在一排8 个座位上，若每个人左右两边都有空位，则坐法种数为_【例 15】要排一张有 6 个歌唱节目和 4 个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目

11、不得相邻，排法种数有 _ 种思维的发掘能力的飞跃5高中数学讲义【例 16】马路上有编号为 l ，2， 3， ， 10 十个路灯，为节约用电又看清路面，可以把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，在两端的灯也不能关掉的情况下，求满足条件的关灯方法共有_种（用数字作答）【例 17】为配制某种染色剂，需要加入三种有机染料、两种无机染料和两种添加剂，其中有机染料的添加顺序不能相邻现要研究所有不同添加顺序对染色效果的影响，总共要进行的试验次数为（用数字作答）【例 18】 一排 9 个座位有 6 个人坐，若每个空位两边都坐有人，共有_种不同的坐法【例 19】 某班班会准备从甲、乙等7 名学生中

12、选派 4 名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加当甲乙同时参加时， 他们两人的发言不能相邻那么不同发言顺序的种数为（）A 360B 520C 600D 7206思维的发掘能力的飞跃高中数学讲义【例 20】 在一个含有 8 个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，有多少中插入方法？【例 21】某人连续射击 8 次有四次命中，其中有三次连续命中，按 “中 ”与 “不中 ”报告结果，不同的结果有多少种捆绑法（当需排的元素有必须相邻的元素时）【例 22】 4 名男生和 3 名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有多少种？【例 23】 四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中，若使

13、每个盒子不空，则不同的放法有种【例 24】 某市植物园要在30 天内接待 20 所学校的学生参观， 但每天只能安排一所学校，其中有一所学校人数较多，要安排连续参观2 天，其余只参观一天，则植物园30 天内不同的安排方法有思维的发掘能力的飞跃7高中数学讲义【例 25】停车站划出一排 12 个停车位置， 今有 8 辆不同型号的车需要停放， 若要求剩余的 4 个空车位连在一起，则不同的停车方法共有 _ 种【例 26】 四个不同的小球放入编号为1，2，3，4 的四个盒中，则恰有一个空盒的放法共有_种（用数字作答）除序法（平均分堆问题， 整体中部分顺序固定，对某些元素有顺序限制的排列，可以先不考虑顺序限

14、制排列后，再除去规定顺序元素个数的全排列）【例 27】 6 本不同的书平均分成三堆，有多少种不同的方法？【例 28】 6 本书分三份， 2 份 1 本， 1 份 4 本，则有不同分法？8思维的发掘能力的飞跃高中数学讲义【例 29】 用 1，2，3， 4， 5，6，7 这七个数字组成没有重复数字的七位数中，若偶数 2， 4， 6 次序一定，有多少个？若偶数 2， 4， 6 次序一定，奇数1，3， 5， 7 的次序也一定的有多少个？【例 30】 一天的课程表要排入语文，数学，物理，化学，英语，体育六节课，如果数学必须排在体育之前，那么该天的课程表有多少种排法？【例 31】甲、乙、丙3 位志愿者安排

15、在周一至周五的5 天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面不同的安排方法共有（）A 20种B 30种C 40种D 60 种【例 32】 某考生打算从 7 所重点大学中选3所填在第一档次的 3 个志愿栏内，其中A 校定为第一志愿，再从 5 所一般大学中选3 所填在第二档次的 3个志愿栏内，其中B，C 校必选，且 B 在C 前，问此考生共有种不同的填表方法（用数字作答） 思维的发掘能力的飞跃9高中数学讲义递推法【例 33】 一楼梯共 10 级，如果规定每次只能跨上一级或两级，要走上这10 级楼梯，共有多少种不同的走法？用转换法解排列组合问题【例 34】 某人连续射击 8 次有四次命中，其中有三次连续命中，按“中”与“不中”报告结果，不同的结果有多少种【例 35】 6 个人参加秋游带10 瓶饮料，每人至少带1 瓶，一共有多少钟不同的带法【例 36】 从 1， 2， 3， ， 1000 个自然数中任取10 个不连续的自然数，有多少种不同的取法10思维的发掘能力的飞跃高中数学讲义【例 37】 某城市街道呈棋盘形，南北向大街 5 条，东西向大街 4 条，一人欲从西南角走到东北角，路程最短的走法有多少种【例 38】