高一数学下册 第5章 三角比 5.6 正弦定理 余弦定理和解斜三角形 5.6.1 正弦定理课件 沪教版

1、5.6.1正弦定理正弦定理 Cabsin 2 1 h A BC aABC haS 2 1 （三角形面积公式）（三角形面积公式） 证明方法一：证明方法一： Bac sin 2 1 同理可证：同理可证：CbaAbcS ABC sin 2 1 sin 2 1 CbaBacAbcS ABC sin 2 1 sin 2 1 sin 2 1 C c B b A a sinsinsin （正弦定理）（正弦定理） A BC h 证明方法二：证明方法二： 作出作出ABC的外接圆的外接圆 O， 连接连接BO交交 O于于A，连连CA， 则则ACB为直角三角形，为直角三角形， sin A， 2R a ，AA BA B

2、C Asin 同理可证：同理可证： .R A a 2 sin ，2 sin R B b .R C c 2 sin .R C c B b A a 2 sinsinsin （R为为ABC外接圆半径外接圆半径） AB C . O A 正弦定理：正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比 相等，即相等，即 C c B b A a sinsinsin 注意：注意： （1）正弦定理适合于任何三角形）正弦定理适合于任何三角形. （2） (R为为ABC外接圆外接圆半径半径） （3）结构特点：每个等式可视为一个方程）结构特点：每个等式可视为一个方程(知三求一知三求

3、一) （4）公式变形）公式变形: 2 sinsinsin abc R ABC A BC CBAcbasin:sin:sin: C c B b A a sinsinsin 正弦定理正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比 相等，即相等，即 正弦定理可以解什么类型的三角形问题？正弦定理可以解什么类型的三角形问题？ 已知两角和任意一边，可以求出其他两边和一角；已知两已知两角和任意一边，可以求出其他两边和一角；已知两 边和其中一边的对角，可以求出三角形的其他的边和角。边和其中一边的对角，可以求出三角形的其他的边和角。 解三角形解三角形: : 已知三角形

4、的几个元素求其他元素的过程已知三角形的几个元素求其他元素的过程. . 例题讲解例题讲解 【例例1】在在 0 3,60 ,1,ABCbBaA C中，求和c 解：解： 0 sin1 sin601 ,sin sinsin23 baaB A BAb 000 ,60 ,30 ,90ba BAB AAC为锐角， 22 2cba 例题讲解例题讲解 【例例2】在在 0 3,1,60 ,.ABCabBA中，求 解：解： 0 sin3 sin603 ,sin1 sinsin12 baaB A BAb 这样的三角形是不存在的这样的三角形是不存在的. . 通过对例通过对例1 1、例、例2 2、例、例3 3的解答，我们

5、可以发现，的解答，我们可以发现，已知两边和其已知两边和其 中一边的对角解三角形时中一边的对角解三角形时，可能出现两解、一解和无解的情况。，可能出现两解、一解和无解的情况。 如何从几何的角度对这一数学现象作出解释呢？如何从几何的角度对这一数学现象作出解释呢？ 例题讲解例题讲解 【例例3】 0 6,45 ,2,ABCbAaB Cc中，求和 解：解： 0 sin6sin453 ,sin sinsin22 abbA B ABa 00 60120B或 0 00 0 sin6sin75 6075 ,31 sinsin60 bC BCc B 当时， 0 00 0 sin6sin15 12015 ,31 si

6、nsin60 bC BCc B 当时， 00 60 ,7531BCc,或 00 120 ,15 ,31BCc 三角形解的个数问题三角形解的个数问题 （1 1）若）若A A为锐角时为锐角时: : ? b ? a ? b ? a ? b ? a ? b ? a ? a ? 已知边a,b和 ? A ? 仅有一个解 ? 有两个解 ? 仅有一个解 ? 无解 ? a ? b ? CH=bsinAab ? a=CH=bsinA ? a B 课堂练习：课堂练习： ABC （4）在）在 中，若中，若 ，则，则 是是( ) A等腰三角形等腰三角形 B等腰直角三角形等腰直角三角形 C直角三角形直角三角形 D等边三有

7、形等边三有形 2 cos 2 cos 2 cos C c B b A a ABC D 5:12 3: : .ABCA B Ca b c（ ）在中，已知： ： ，求 【例例6】在在ABC中中,已知已知a=2,C=450, 求三角形求三角形ABC的面积的面积. 5 52 2 cos B 2 2, tantan5,tantan6, ABCcab ABAB ab 【例8】中， 求 、 课堂小结课堂小结 1 1、 正弦定理正弦定理 在一个三角形中，各边和它所在一个三角形中，各边和它所 对角的正弦的比相等，即对角的正弦的比相等，即 C c B b A a sinsinsin 2. 2. 正弦定理可解以下两种类型的三角形：正弦定理可解以下两种类型的三角形：