向量代数与空间解析几何期末复习题高等数学下册

1、第七章 空间解析几何、选择题1.在空间直角坐标系中，点（1， 2，3）在 D A.C.第一卦限第三卦限B.D.第二卦限第四卦限2. 方程 2x22 y2在空间解析几何中表示的图形为 C A.椭圆B.圆C.椭圆柱面D. 圆柱面3.直线 l1 : x1y1z1与l2:xy10，的夹角是 C 423xyz20A.B.C.D.04324.在空间直角坐标系中，点（1， 2,3 )关于 xoy 平面的对称点是 D A. (-1,2,3)B. (1,-2,3)C. (-1,-2,3)D. (1,2,-3)5. 将 xoz 坐标面上的抛物线 z24x绕 z 轴旋转一周，所得旋转曲面方程是B A.z2 4(x

2、y)B.C. y2 z2 4x D.22 yz4x6. 平面 2x-2y+z+6=0 与 xoy 平面夹角的余弦是A.B.C.B D.7. 在空间直角坐标系中，点（1， 2,3 ）关于 yoz 平面的对称点是 A A. (-1,2,3) B. (1,-2,3)C. (-1,-2,3)D. (1,2,-3)22x y 28. 方程 2 2 z2 表示的是 B abA. 椭圆抛物面B. 椭圆锥面 C. 椭球面 D. 球面9. 已知 a =0, 3, 4,b =2, 1, -2,则 proj a b C 1A. 3 B. C. -1310已知 a,b 为不共线向量，则以下各式成立的是 DA. a2b

3、2 (a?b)2B.22C. (a?b)2 (a b)2 D.2 2 2a b (a b)2 2 2 2 (a?b)2 (a b)2 a2b2x y z 0 x y z 011直线 l1的方程为，直线 l2的方程为，则 l1与1 31x 30y 29z 0 2 30x 31y 30z 0 1l2 的位置关系是 DA. 异面 B. 相交 C. 平行 D. 重合12已知 A点与 B点关于 XOY平面对称， B点与 C点关于 Z 轴对称，那么 A点与 C点是 CA. 关于 XOZ平面对称B.关于 YOZ平面对称C. 关于原点对称 D. 关于直线 x y z 对称13已知 A点与 B点关于 YOZ平面

4、对称， B点与 C点关于 X 轴对称，那么 A 点与 C点 CA. 关于 XOZ平面对称B.关于 XOY平面对称C.关于原点对称 D. 关于直线 xyz 对称14.下列那个曲面不是曲线绕坐标轴旋转而成的CA.2 2 2 2 2x y z 1 B. x y z 1 C.2 xy22z 1 D. x y z 115.已知 a,b为不共线向量 , 则下列等式正确的是C2 2 2 2 2 2A. a a a2 B. a?(a?b) a2b C. a?(b?b) ab2 D. a2b2 (a?b)221. 双曲线22 xz 4511绕 z 轴旋转而成的旋转曲面的方程为(A)16已知向量 a (1,2,1

5、) ， b ( 3,4, 3) ，那么以 a , b为两边的平行四边形的面积是 BB.10 2D.5217已知直线xl 方程3x2y 3z 0与平面4y 5z 0方程 x z 2 0 ，那么 l 与 的位置关系是CA. l 在内 B.l 垂直于 C.l 平行于 D. 不能确定18两向量 a ,b所在直线夹角， ab 0 ，那么下列说法正确的是 B4A. a,b 夹角B.a,b 夹角3 C.3a,b 夹角可能或 D.以上都不对444419.已知 |a|1，|b|2 ，且(a?,b)4，则|ab| (D ).(A) 1(B)12(C)2 (D)5x3y 2z1020. 设有直线L:及平面 :4x2

6、y z 2 0 ，则直线 L( C )。2xy 10z30(A) 平行于(B)在上(C)垂直于(D) 与 斜交x3y02 2 2 xyz2x22y2 z2 1(A)1 (B)45452222(C)(x y) z1 (D)x(y z)2 14545122. 点 (a,b,c) 关于y 轴对称的点是( D ) .(A)( a, b, c)(B) (a, b, c) (C)(a,b,c) (D) ( a,b, c)(A) 2 (B)2 (C)6(D)64124.x2 y2 1 在空间表示( D).(A) 双曲线 (B)双曲面(C) 旋转双曲面 (D) 双曲柱面25.设a与 b为非零向量，则ab0 是

7、( C ) .(A)a b 的充要条件(B)a b 的充要条件(C)a/b 的充要条件(D)a/b 的必要但不充分条件26设平面方程为 AxCzD0，其中 A,C,D 均不为零，则平面( B)(A) 平行于 x 轴 (B)平行于 y 轴 (C)经过 x 轴(D)经过 y 轴27已知等边三角形uuuvABC 的 边 长 为 1 ， 且 BCuuuv a ， CAb，uuuvAB c ， 则abb c c a( D ) .(A) 21(B)32(C)12(D)28.点M(2，-3 ， 1) 关于坐标原点的对称点是 ( A )(A) (-2 ， 3，-1)(B) (-2， -3 ， -1)(C)(2

8、， -3 ， -1)(D) (-2，3，1)29. 平面 2x-3y-5=0 的位置是 ( B)(A)平行于 XOY平面(B)平行于 Z轴(C)平行于 YOZ平面(D)垂直于 Z 轴30.点A(-2 ，3，1) 关于Y轴的对称点是 ( D )(A)(2，-3 ，1)(B) (-2， -3 ， -1)(C)(2，3，-1)(D) (2， -3 ， -1)31.过点(0 ， 2， 4)且与平面 x+2z=1和y-3z=2都平行的直线方程是 ( C )z42y2z4(A)yz(B)x023.已知a 4, 3,4, b 2,2,1 ，则 Prjb(a) (A )x2y 4z7033.过点 （2，0，

9、-3） 且与直线 3x5y 2z10垂直的平面方程是( A )(A)16(x2) 14(y0) 11(z3)0(B)(x 2)2(y 0)4(z 3)0(C)3(x 2)5(y 0)2(z 3)0(D)16(x2) 14( y0) 11(z3)034.向量a,b,c与三坐标 轴的 夹角分别为 , ,，则的方向余弦中的cos=( A)bbbb(A)a2b c (B) a bc (C)ab c (D)a222 bc35.已知曲面方程 z22 xy22 ab（马鞍面），这曲面与平面zh相截， 其截痕是空间中的( B）A. 抛物线；B.双曲线；C.椭圆；D.直线。36.点（3 ，1，2） 关于XOZ平

10、面的对称点是 （ B)(A) (-3 ，1，2)(B)(3， -1 ，2)(C) (3，1，-2)(D) (-3， -1 ，2)4x2 9y23637.曲线 z0绕X轴旋转一周，形成的曲面方程是( C )2364(A)2 x2 z2 z4 x29 y 36 (B)z2 9 yx y 2(C) 2 3z41(D)2x 3(y 2) z 432二个平面 x2 （A）相交但不垂直 （C. ）平行但不重合1和2x+3y-4z=1 位置关系是（ A ）B）重合D.）垂直(C)4x2 9z 36 (D)4x2 9 y2 362的圆周，母线平行于Z轴的圆柱面方程是38. 准线为 XOY平面上以原点为圆心、半

11、径为 （ B ）22(A) x2 y 0(B)x2 y2 42 2 2x2yz24x(C)222y(D)39. 球 面k2 与z a的 交线在XOY平面上的投影曲线方程是(azk2(A)(B)z0(C)40.向量(A)(C)1.2.3.4.5、67、8axk2(D)22 xy z0axAx,AY,Az 、 =0AxAyAzBxByBz填空题3,b4,a(B)有曲面方程母线平行于=(D)7, 则BX ,BY ,BZ垂直的充分必要条件是 =0- =0x2y2q2z，当 pq0 时, 方程表示的曲面称为双曲抛物面x 轴且通过曲线2x2x2y2 z2 16 的柱面方程是 3yy2 z2 02 z2 1

12、6已知 a , b , c 都是单位向量，XOZ平面内曲线uuur 已知向量 OA已知平面1:x且满足a+b +c =0, 则ab2x2 z绕 X 轴旋转，uuur(1,2,3) ，向量 OB2y z 3 0 与所得曲面方程为22 yz(2,3, 4) ，那么三角形 OAB 的面积是2 : 3x y z 1 0 ，则其夹角为点 ( 1,2,0) 在平面上 x 2y z 1 0 的投影为( 35,23,32)66 arccos9.设有直线 L1:x11 y 25 z18与L2:xy2y z6 ，则 L1与 L2 的夹角为3 1 2 33310已知 |a| 2，|b| 2，(a?,b) 3，则 u

13、 2a 3b的模 |u| 2 711. 已知向 量 a 3i 2j k与 b 2i3j ， 则 (2a) (3b)0 ； a brrr3i2j 13k12、平面 x+2y-z+3=0 和空间直线x 1 y 1z22 的位置关系是直线在平面上31113.过点( 2，-3 ，6)且与 Y 轴垂直的平面为y3，此点关于 XOY平面的对称点是 2, 3, 6 ，它与原点的距离为 7 三：计算与证明1.求过点 M(3, 1 -2) 且通过直线 x 4 y 3 z的平面方程5 2 1 解：设 N(4, -3, 0),s (5,2,1), 由已知，MN (1, 4,2) 是所求平面内的向量又设所求平面的法向

14、量是 n ，取 n MN s ，ij k即： n 1 4 28i 9j 22k521 故，所求平面的方程为： 8(x-3)+9(y-1)+22(z+2)=0 即： 8x+9y+22z+59=02.求与直线 L1： x 3 y 5 z相交且与直线 L2： x 10 y 7 z相交, 与直线1 2 3 1 2 5 4 1L3： x 2 y 1 z 3 平行的直线方程3871解：将 L1， L2 分别化为参数方程：x 2t3x510y 3t5，y47ztz对于某个 t及值 , 各得 L1， L2 上的一点 , 分别记为Mt,M则 向量 MtM=(2t-3)-(5+10)i+(3t+5)-(4-7)j

15、+(t-)k=( 2t-5 -13) i+(3t-4 +12)j+(t-)k令向量 M tM平行于 L3，即有2t-5 -13 3t- 4 +12 t -87解得25t=，于是 Mt(-28，26525故 所求直线为：x 28yz228713. 直线 L 过点 M(2, 6，3), 平行于平面165 25, )22:x-2y+3z-5=0且与直线 L1:x25y 2 z 682相交 , 求 L 的方程解：过点 M平行于 的平面方程为 (x-2)-2(y-6)+3(z-3)=0 即: x-2y+3z=0再求它与直线 L1 的交点 , 将 L1 写成参数方程x=2-5t, y=2-8t , z=6

16、+2t代入上述平面方程得 : t=-1所以交点为 P(7, 10, 4), 又L过M, P 两点故: L 的方程为x 2 y-67-2 10-6z-34-3即：x2y-6 z-35414求过直线x1 y z ，且平行于直线xy z 1 的平面方程。211212解：设平面法向量(a,b,c)，则有方程 2abc02ab2c 0解得c0, 于是可取法向量(1, 2,0)2a b0所以平面方程为(x 1) 2y 05、设 a, b是平面上两个不共线的非零向量，c a b 为已知非零向量，解：方程两边同与 a,b作数量积得 agc bgcaag2b ， 解 此 两 元agb b2求,次方程组，得ac

17、abbc b2 a2 ab ab b22 aacabbc2 aababb2z 3 0 上的投影6.求直线 l: 2x y z 1 0 在平面 3x y x 2y 2z 2 0解：设平面束方程为 (2x y z 1) ( x 2y 2z 2) 0其法向量为 (22 , 2 ) ，于是由题意有3(2 ) ( 2 )( 2 ) 0 ，即 4 7 0取 7, 4 。直线方程为yz303x10x 15 y 15z 1 07.求原点到直线 l : x 2y 3z 4 0 的垂线与垂足，垂线要求参数方程。2x 3 y 4z 5 0解：设 为过原点且垂直于的一个法向量与 l 的方向一致。23311234422

18、3l 的平面，则l 的方向： () ( 1,2, 1) 。的方程 x 2 y z 0214将其与 l方程联立，解得垂足坐标 (23, 31, 43)2t3于是垂线参数方程1t34t38已知直线一般方程为2x4x3y z 4 0 ，求其点向式方程。6y 5z 1 0解：两平面法向量分别为(2, 3, 1),(4, 6,5) ，故直线方向为311223655446() ( 21, 14,0)z4令 x 0,3y6y019 9，得直线上一点 (0,19 ,9) 5z 1 021 7故点向式方程为x2119y 21149 z70x y z 19.在直线 l : 上求一点 A，使得它与原点所决定的直线与

19、l 的夹角为xz0arccos 6arccos3解：直线 l 方向 (1,1, 1) (1,0, 1) ( 1,0, 1)设直线上一点 A(x,1,x)，则 OuuAur (x,1,x)，据题意有2x6 ，解2 g 2x2 1 3 此方程得 x 1 。故 A 点坐标为 (1,1,1) 或 ( 1,1, 1) 。10.证明：直线 l1: x 2 y 1 z 3及直线 l2: x 2y 1 共面。1 3 2 6 2 y z 2证 明 ： l2 的 方 向 向 量 n2 1,2,0 0,1,1 2, 1,1 (2分) ， l1 的 方 向 向 量uuuvn1 3, 2,6 (2分 ) 。点 A(2,

20、 1,3)l1,B (1,0, 2) l2, AB 1,1, 5,由于这三个向量两两不平行，且326uuuv(n1 n2 ) AB2110(4分)，115uuuv所以 l1与l2共面( 因为由上式知n1,n2,AB三向量共面 ) 。证法 2： l1与 l2有交点：M ( 1,1,3)，故 l1与 l2共面。x111.求通过直线 l1: x 1y2z1z 1 及直线 l 2x2y 1的平面方程。12112yz2解： l2 的方向向量为 n21,2,00,1,1 2,1,1/n1，所以 l1与l2平行 (3分)。平面就是两相交直线uuuuuuvl1与M1M2 确定的平面。它的法向量可取为点M1(

21、1, 2,1) l1,且易知 M2 (1,0, 2) l2，M2 不在直线 l1上(2分) 。故所求ijkn n1 nuMuuuMuuuv 2 1 1 i 8j 6k (3分 ).2 2 3又 M 1 ( 1, 2,1) 为已知平面上的点，所求平面的点法式方程为(x 1) 8(y 2) 6(z 1) 0，即 x 8y 6z 11 0(2分) 。uuuv uuuv12已知 ABC的两边构成的向量 AB 2i j k,BC 3i 2j k ，求ABC的面积。所以 |AB1 uuuvS ABC|BA2uuuvuuuv而 ABBCuuuvuuuv32BC|解：i2uuuvBC|j11 uuuv12|ABuuuvuBuCuv|（2分）,13. 求直线解：过直线:x3i，从而 S ABCz 2 在平面