结构力学第2章 结构的几何构造分析

§2.1

几个概念一、几何构造分析的目的1.几何不变体系和几何可变体系第2章结构的几何构造分析1.所谓忽略杆件本身的材料变形，即把体系中各杆件视

为不会发生变形的刚

体。2.建筑结构必须是几何不变体系。几何可变体系：

体系在任意

荷载作用下，即使忽略杆件

本身的材料变形，也不能保

持其几何形状和位置不变，

而发生机械运动的体系。几何不变体系：

体系在任意

荷载作用下，若忽略杆件本

身的材料变形，而能保持其

几何形状和位置不变的体系。(a)(b)图2.

12.

研究体系几何组成的目的(1)研究几何不变体系的组成规律，判断某一体系是否

几何不变，从而判定该体系是否可作为结构使用；(2)明确结构各部分在几何组成上的相互关系，从而选

择简便合理的计算顺序；(3)判定结构是静定结构还是超静定结构，以便选择正

确的计算方法。二、相关概念1.刚片平面内的刚体称为刚片。一根杆件、地基基础

(

即地球)

或体系中已经肯定

为几何不变的某个部分都可看作一个平面刚片。注意：由于刚片中任意两点的距离保持不变，故刚片可以由刚片内的一条直线来代替。2.自由度确定物体在平面内的位置所需要的独立坐标数。(1)平面内一点

(2)平面内一刚片W=2

W=3注意：凡体系W>0

,

则是可以发生运动的，都是几何可变体系。3.约束(联系)又称联系，是体系中构件之间或构件与基础之间的联接

装置，限制了体系的某些方向的运动，是使体系自由度减少

的因素。减少一个自由度的装置，称为一个约束。约束的类型：链杆、铰结点、刚结点(1)链杆：

两端用铰与其它物体相连的杆件，可以是直杆、折杆、曲杆。0(a)

(b)

(c)图2.2X增加一根链杆可以减少一个自由度，相当于一个约束。W=3(x

、y

、φ)W=2(φ1

、φ2)XQ₂Ⅲy0增加一个单铰可以减少两个自由度，相当于二个约束。一个链杆提供一个约束，故一个单铰相当于两根链杆。(2)单铰结点：连接两个刚片的铰结点。W=4(x

、y

、

1

、φ2)W=6X连接3个刚片的复铰，相当于2个单铰的作用，提供4个约束。(3)复铰结点：连接两个刚片以上的铰结点。W=5(x

、y

、φ1

、Φ2

、φ3)W=9连接4个刚片的复铰，相当于3个单铰的作用，提供6个约束。

连接n个刚片的复铰，相当于

(n-1)个单铰的作用，提供

2(n-1)

个约束。W=6(x

、y、④1

、φ2

、φ3

、φ4)W=12(4)单刚结点：

连接两个刚片的刚结点。W=6

W=3一个单刚结点可减少三个自由度相当于三个约束。(5)复刚结点：

连接两个刚片以上的刚结点。W=9W=3连接n个刚片的复刚结点，相当于(n-1)

个单刚结点的作用，提供3

(n-1)

个约束。(a)

(b)(c)(6)支座约束：构件与基础之间的联接装置。相当于1个约束。

相当于2个约束。

相当于3个约束。(a)

可动铰支座(b)固定铰支座(c)

固定支座(a)

(b)(1)必要约束：能限制体系自由度的约束，是使体系自由度数减

少为零所需的最少约束。(2)多余约束：

对限制体系自由度不起作用的约束，即不能使体

系自由度减少的约束。静定结构：没有多余练几何不变体系超静定结构：有多余練4.必要约束与多余约束5.实铰与虚铰(瞬铰)(1)实铰：由两根链杆相交于一点构成的铰成为实铰。(2)虚铰：虚铰是由不直接相连接的两根链杆构成的。

虚铰的两根链杆的杆轴可以平行、交叉，或延长线交于一点。注意：无论是实铰还是虚铰，都提供2个约束。虚铰的特点：如下图(

a)所示刚片Ⅱ不动，刚片I以点C为瞬时转动中心进行转动，只有一个自由度。经过

一微小位移后，两杆延长线的交点C的位置也发生了改变，

C点起到一个铰的作用。(b)无穷远虚铰(a)6.瞬

变体系(1)概念：原本是几何可变，在微小荷载作用下发生瞬间的

微小位移后成为几何不变的体系称为瞬变体系。(2)静力特性：在微小荷载作用下可产生无穷大内力。注意：I.

瞬变体系一般是总约束数满足但约束方式不满足规则的体系，是特殊的几何可变体系，往往具有多余约束。Ⅱ.瞬变体系是严禁作为结构使用的。工(a)

(b)图(a)是有一个多余约束的几何不变体系图(b)是瞬变体系§2.2平面几何不变体系的组成规律一

、一点一刚片1.规

则一

：一个点与一个刚片之间用两根不在同一条直线上

的链杆相连，组成无多余约束的几何不变体系。2.推论：

二元体规则(1)二元体：两根不在同一条直线上的链杆联接一个新结点

的装置，如图2.3(a)所示。(2)二元体规则：在一已知体系中依次增加或拆除二元体，

不改变原体系的几何性质。注意：利用二元体规则可以简化体系，使构造分析更简单。(a)(b)(c)图2.3二、两刚片规则1.规则二：

两个刚片用一个单铰和杆轴不过该铰铰心的

一根链杆相连，组成无多余约束的几何不变

体系。如图2.3(b)

所示。2.推论：两个刚片用不全交于一点也不全平行的三根链

杆相连，组成无多余约束的几何不变体系。如

图2.4(a)所示。三、三刚片规则1.规则三：

三个刚片用不全在一条直线上的三个单铰(可

以是虚铰)两两相连，组成无多余约束的几何不变体系。如图2.3(c)

所示。2.铰接三角形规则：

平面内一个铰接三角形是无多余约束

的几何不变体系。注意：以上三个规则可互相变换。之所以用三种不同的表达方式，是为了在具体的构造分析中灵活运用。(a)(b)

(c)(d)图(b)(c)是几何常变体系图(d)是几何常变体系图2.4四、分析举例1.分析的一般要领：

先将能直接观察出的几何不变部分当

作刚片，并尽可能扩大其范围，这样可简化体系的组成，

揭示出分析的重点，便于运用组成规则考察这些刚片间的

联结情况，作出结论。2.分析步骤：

选择刚片→确定约束→运用规则→得出结论3.常用的分析途径：(1)当体系中有明显的二元体时，可先依次去掉其上的二元

体，再对余下的部分进行分析。如图2.5所示体系。(a)

(b)图2.5E(2)当体系的基础以上部分与基础间以三根支承链杆按

规则二相联结时，可先拆除这些支杆，只对上部体

系本身进行分析，所得结果即代表整个体系的组成

性质。如图2.6所示体系。(3)凡是只以两个铰与外界相连的刚片，不论其形状如何，从几何组成分析的角度看，都可看作为通过铰心

的链杆。如图2.7所示体系。H(a)(b)图2.6(a)

(b)图2.7图2.8【解】AB杆与基础之间用铰A和链杆1相连，组成几何不变体系，可看作一扩大了的刚片。将BC杆看作链杆，则CD杆用不

交于一点的三根链杆BC

、2

、3和扩大刚片相连，组成无多余

约束的几何不变体系。【例2.1】试对图2.8所示体系进行几何组成分析。【解】体系中折杆DHG和FKG可分别看作链杆DG、FG

(图中虚线所示),依次去掉二元体

(DG、FG)、(EF、CF),对余下部分，将折杆ADE、杆BE和基础分别看作刚片，它们通过不共线的三个铰A、E、B两两相连，故为无多余约束的几何不变体系。【例2.2】试对图2.9所示体系进行几何组成分析。【解】体系基础以上部分与基础用三根不交于一点且不完全平行的链杆1、2、3相连，符合两刚片规则，只分析上

部体系。将AB看作刚片I,

用链杆AC、EC固定C,链杆BD、FD固定D,

则链杆CD是多余约束，故此体系是有一多余约

束的几何不变体系。在本例中链杆AC、EC、CD、FD

及BD其

中之一均可视为多余约束。【例2

.3】试对图2.

10所示体系进行几何组成分析。【例2.4】分析图2.

11所示体系的几何构造。(a)(b)【解】

(1)

分析图(a)中的体系首先，三角形ADE和AFG是两个无多余约束的几何不变体系，分别以I

和Ⅱ表示。

I

与地基Ⅲ间的链杆1、2相当

于瞬铰B,Ⅱ

与地基Ⅲ间的链杆3、4相当于铰C。如A、B

、C三个铰不共线，则体系为无多余约束的几何不变体系。(2)

分析图

(b)

中的体系先把折杆AC和BD用虚线表示的链杆2与3来替换，于是T形刚片CDE由三个链杆1、2、3与基础相连。如三链杆共

点，则体系是瞬变的。体系中的单个杆件、折杆、曲杆或已确定的几何不变体系均可视为刚片。但若刚片只用两个铰与体系的其它部

分连接时，则可用一根过两铰心的链杆代替，视其为一根

链杆的作用。2.

如果上部体系与大地的连接符合两刚片的规则，则可去

掉与大地的约束，只分析上部体系。3.

通过依次从外部拆除二元体或从内部

(基础、基本三角

形

)增加二元体的方法，简化体系后再作分析。4.

杆件和约束不能重复利用。五

、注意的问题1.

恰当灵活地确定体系中的刚片和约束刚片数m

单刚结点数g

单铰结点数j

支座链杆数r

平面体系的计算自由度W:§2.3

平面杆件体系的计算自由度一、平面一般体系计算自由度的表达式自由度数3m约束数3g约束数2j

约束数r注意：支座链杆数是把所有的支座约束全部转化为链杆约束所得到的。W=3m-(3g+2j+r)链杆体系的计算自由度W:

W=2j-(m+r)铰结点个数j链杆数m支座链杆数r自由度数2j约束数m约束数r二、链杆体系计算自由度的表达式(a)(b)图(a)中

：

m=1,r=3,W=3m-(3g+2j+r)=3×1-3=0体系自由度为0。图(b)中

：

m=1,r=3,W=3m-(3g+2j+r)=3×1-3=0从计算结果看，体系自计算由度为0。但是，从图中可以

看出，体系在水平方向没有约束力，有1个运动自由度。例1

.求图示体系的计算自由度。解：m=3,j=2,r=3,W=3m-(3g+2j+r)=3×3-2×2-4=1>0体系自由度大于0,是几何可变的。例2.求图示体系的计算自由度。(a)

(b)

(c)

(d)例3.计算图示体系的计算自由度。图

(a)中

：

W