几何体的外接球的体积和表面积（精选干货）

1、几何体的外接球的体积和表面积 2 多面体外接球的问题，是立体几何的一个重 点，也是高考考查的一个热点.研究多面体 的外接球问题，既要运用多面体的知识， 又要运用球的知识，并且还要特别注意多 面体的有关几何元素与球的半径之间的关 系，而多面体外接球半径的求法在解题中 往往会起到至关重要的作用. 3 多面体外接球的半径的求法多面体外接球的半径的求法 方法一：直接法直接法 方法二：构造直角三角形构造直角三角形 方法三：补形补形 4 一、直接法一、直接法 A 1 A C 1 C O 2010 年文 (7) 设长方体的长、宽、高分别为 2a、a、a,其顶点都在一个 球面上，则该球的表面积为 （A） 3a

2、2（B） 6a 2 （C） 12a 2 （D） 24a 2 5 直接法的使用技巧 222 2 abc labcR 设长方体的长、宽、高分别为 、 、 ，则 a,23Ra设正方体的边长为则有 6 二、构造直角三角形二、构造直角三角形 22 11 OBOOO B 7 构造直角三角形使用技巧构造直角三角形使用技巧 2 2 ,r, 2 l lRr 设柱体的高为 底面外接圆的半径为 则有 任意直棱柱的外接球任意直棱柱的外接球圆柱的外接球圆柱的外接球 8 构造直角三角形使用技巧构造直角三角形使用技巧 圆锥的外接球圆锥的外接球 2 2 ,r,hRrhR设椎体的高为底面外接圆的半径为 则有 正棱椎的外接球正棱

3、椎的外接球 9 构造直角三角形使用技巧构造直角三角形使用技巧 2 2 ,r,hRrhR设椎体的高为底面外接圆的半径为 则有 球心在几何体外部球心在几何体外部 10 A C B P O O a 例3：若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且 侧棱长均为 ，则其外接球的表面积是_ 三、三、补形法补形法 11 ,a DA ABCABBC DAABBC OABCD O 变式：已知球 的面上四点 、 、 、 ， 则球 的体积等于 平面 ，, 三、三、补形法补形法 12 2 2 6 . 4 Ra 将正四面体放到正方体中， 得正方体的棱长为a, 且正四面体的外接球 即正方体的外接球， 所以 - aP ABC例4：求棱

4、长为 的正四面体的 外接球的表面积。 三、三、补形法补形法 13 22 22 22 222 1 2 3 3 22 b b c abc R 将正四面体放到长方体中， 边长为a,b,c,则有： a c a ABCDAB=CD= 2AC=BD= 3 AD=BC=1 变式：四面体， ，求其外接球体积 三、三、补形法补形法 14 三、三、补形法补形法 5P-ABCABC PA=8PB=PC= 73AB=3 例 ：已知三棱锥中，三角形为等边三角形， 且，则其外接球的体积为 15 补形法的使用技巧补形法的使用技巧 根据题中给出的线面位置关系，将其放到特殊的 几何体中，转化为直接法或构造直角三角形法。 16 课后小结 学生对本节课的总结 17 直接法的使用技巧 Rcbal cba 2 222 ，则、分别为设长方体的长、宽、高 a,23Ra设正方体的边长为则有 18 构造直角三角形使用技巧构造直角三角形使用技巧 2 2 ,r, 2 l lRr 设柱体的高为 底面外接圆的半径为 则有 任意直棱柱的外接球任意直棱柱的外接球圆柱的外接球圆柱的外接球 19 构造直角三角形使用技巧构造直角三角形使用技巧 椎体的外接球椎体的外接球 2 2 ,r,hRrhR设椎体的高为底面外接圆的半径为 则有 20 补形法的使用技巧补形法的使用技巧 根据题中给出