待定系数法求数列通项公式

1、待定系数法求数列通项公式例题1.在数列中，巧=1，%】=2% +1,试求其通项公式。分析：显然，这不是等差或等比数列，但如果在的两边同时加上b整理 为. + 1 = 2(%+ 1),此时，把叽+1和4+1看作一个整体，或者换元，令妃i=%_i + l, 那么如=。/1,即妃1 = 2如，号=丹+1 = 2,因此，数列外+ 1或血就是以2为首项， 以2为公比的等比数列仁+ 1 = 2二 或者如= 2”，进一步求岀fln = 2-lo启示，在这个问题中，容易看出在左右两边加上1就构成了新的等比数列劣+1，那 不易看岀在左右两边该加几后构成新的等比数列时，该怎么办呢？其实，己知 =西+1，可变形为

2、= 2(%+力的形式，然后展开括号、移 项后再与 = 2丄+1相比较，利用待定系数法可得財-人=L人=1。这样，对于形如Ji=Pa, + q (其中p、q为常数，且pq#O,pwl)的递推数列， 先变为】+人=四。/力的形式，展开、移项，利用待定系数法有(p-l)人=g，2 = -p-l则数列M+ I首项为角+亠.公比为p的等比数列P-1J * pT供参考-4 =(+业7”7即A =(+言4)广-亠71p 1p 1p 1因此，形如aa=p% + q这一类型的数列，都可以利用待定系数法来求孵。那么，若g变为/()，/()是关于非零多项式时，该怎么办呢？是否也能运用待 定系数法呢？二 =0.且pw

3、l)型例题2.在数列伉中，q = 1，% = 2冬+ 3 +1,试求其通项公式。分析：按照例题1的思路，在两边既要加上某一常数同时也要加上n的倍数，才能使新的数列有一致的形式c先变为+以M+1)-人=20 +力0 + 1,展开比较得2=3,即+ 3( +1) = 20 + 3”) + 4进一步a* + 3(m +1) + 4 = (q, +3 + 4)则数列a.+3” + 4是a】+3xl + 4=8首項为a： + 3xl + 4 = 8公比为2的等比数列，所以4+3” + 4 = 8x2i = 2Za =2-3m-4同样，形如+=羽+亦+尸的递推数列，设+ x(n +1) + y = p(a

4、n + xn + y)展开、移项、整理.比较对应系数相等，列岀方程(p-l)x = q(p-l)y-x = r即x =:p-1q r=h x + rJ =M 十p_(p-1).p-1q q rm+ f +p-i(p-iy p_i一则数列M+ q + qp-i,项+是以6+ q，为首项，以p为公比(p-iy p-ij p-i (p-i). p_i緜得r供参考的等比数列。于是就可以进一步求岀4的通项。同理，若、=円广处)其中/伽)是关于n的多项式时，也可以构造新的等比数列, 利用待定系数法求岀其通项。比如当f(n)-qnz + rn + s =时，可设% +x(” + l)- + y( + l)

5、+ z = p(an+w+z)展开根据对应系数分别相等求暢方程即可。/()为n的三次、四次、五次等多项式时也能用同样的思路和方法进行求解。而如果当/()是n的指数式，即/() = g”+r时，递推公式又将如何变形呢?I . = pa +rg + s型（珂力0,鸟wl,g wLpwg） M4-1 n例题3.在数列q中，=1,。1=3% + 2”，试求其通项心。分析1：由于 = 3七+ 2”与例题1的区别在于丁是指数式，可以用上面的思路进行变形，在两边同时加上2 x 2”变为、：+ 2= = 3仁+ 3 x 2”即则数列久+ 2”是首项为3,公比为3的等比数列a/2, = 3”，则七=32”分析2

6、：如果将指数式先变为常数，两边同除2-%3a” 13劣1就回到了我们的类型一。进一步也可求岀冬=3”-2”例題4.在数列/中，q = 3, %】=3七+ 5x2” +4 ,试求?的通项an。分析：若按例题3的思路2,在两边同时除以2-。呈然产生了笑、但是又増加 了，与原式并没有大的变化。所以只能运用思路1,在两边同时加上10x2”整理% + 5）2*=3（% + 5乂2”）+4供参考进一步an.1+5x2w-1 + 2 = 3(aB + 5x2M + 2)则数列+ S x2” + 2是首项为15,公比为3的等比数列% + 5x2”+2 = 15x3i = 5x3”即 = 5(3” - 2”)-

7、2启示：己知数列0的首项，： = p4 + rg” + s(pgE 0且p w l,g ol,g力p)1)当s = 0,即 =四“尸q”由例题3知，有两种思路进行变换.利用待定系数法构造 首项和公比己知或可求的等比數列。思路一：在两边同时除以gi,将不含和。“的项变为常数，即4 = .纭+丄 R q q q qr，r为前面的类型一，再用类型一的待定系数法思想可得数列(纟+丄，最终求解岀 q 1q的通项。思路二：在两边同时加上g”的倍数.最终能变形为J + xgL-= p(a“ + xq”)的应系数相等得(p-q)x=r ,即x =p.q即J + 广=P(an + q ”)p-qq求岀数列J+.

8、g ,的通项，进一步求出q的通项。I p-q J2)当 s = 0 时，史 *】=P4 +w + s由例4可知只能在选择思路二，两边既要加g”的倍数.也安加常数，最终能变形为供参考%+巧宀 + y = p（an+灼 ”+y） 比较得X, y的方程组r（PM）x =即；lP7?l（pT）N = s I sX =r I于是。宀+qi +二7 = p（%+ 矿+ 5 ）p-qp-ip q p-1求岀数列 农+二寸+丄!的通项，进一步求岀的通项。I pq p-ij四：a* =财+ 9口“ + /（）型（己知a：,a：其中/（）可以为常数、n的多项式或指数式）以/（）=0为例。例题5.在数列中，q =区

9、=2： j+；a“,试求0的通项0分析：这是三项之间递推数列，根据前面的思路，可以把看做常数进行处理，可变为-= - ；（知- 4），先求岀数列% - 4 的通项然后利用累加法即可进一步求岀4的通项久0对于形如a= pa -qan的递推数列，可以设。厂：+切“ = ） （%：+韵”）展开，利用对应系数相等，列方ry=pxy = q于是数列a口+、就是以务+叫为首项，y为公比的等比数列，不难求岀。口 +皿的通项进一步利用相关即可求岀4 0同理，2 =以1+卯“ + /（”）当/（）为非零多项式或者是指数式时，也可结合前 面的思路进行处理，问题的关键在于先变形a + 切宀1 =+ x）+ /（）供

10、参考然后把*+功“看做一个整体就变为了前面的类型。五：a* = py；（p * 1且pe夫, rwO/wl）型，住为正项数列 例题6.在数列q中，弓=1,%=2。丁，试求其通项劣。分析，此题和前面的几种类型没有相同之处，左边是一次式，而右边是二次式，关缱在 于通过变形，使两边次数相同，由于气0.所以可联想到对数的相关性质，对=2十 两边取对数，即lg=収2。） = 1g 2 + 1g = 21g +lg 2就是前面的类型一了，即1业2 = 2（毎” + 年2）lg % + lg 2 = （lg 2）x2 =lg 2广变形得劣=2广顼对于类似az = p.a；（pol且pe/T,尸显0,rl）的

11、递推数列，由于两边次数不一致, 又是正项数列，所以可以利用对数性质，两边同时取对数，得lg i=lgp-1 %就是前面的类型一了。丄+3=2丄+ 3、综1g丿所以数列是首项为丄+3= 4,公比为2的等比数列，不难求出 an J%1a =:n 2-3例题8.在数列4中， =盘2=笋=，试求其通项。91分析：此题比例题7的区别多了常数项，两边取倒左右两边丄与L并不一致。但可以对照例题7的思路.取倒数之后分母会具有一 J 4 + 2致的结构，根据等式和分式的性质，我们可在两边同时加上某一常数，整理：(3x + l)0 + I ” 3x + l 丿3。 + 2n% + 2On. + X =+ X =3

12、a”+ 2I*此时如果；=X ,那么递推式左边和右边分母就一致了鮮方程得：=_孑,旳=1供参考因此7a” 3-12a .33q + 2f 4(a i+l)U +1 = +2此时可选择其中一个递推式按照例题7的方式进行处理，这里选择*+1)31+2两边取倒1 3q1 13a, 4-1 4( a, +1)4a”+l 4回到了类型一1 3 1,1 3、 = ( ) 。+1 5 4 0+1 5根据类型一的方法易求岀:4x(-4)i+l % = 6x(-4广-1现在我们将两式相比:a 31 3=x%1 + 14 仁+ 1则数列n. |是我己知首项和公比的等比数列，进一步化简求岀q。广i通过以上两个例题可

13、知，形如aa=4LL（p,pO）这一类型的递推数列，对学生pa“ + q的综合能力要求较高1、如果右边分子缺常数项，即s = 0,那么直接对两边取倒数即可得，1 _ g 1 pa* 一尸劣+尸此时，若？ = 1,那就是我们熟悉的等差数列，若顼,那就是前面的类型用待rr定系数法求解。2、若5 wo ,就需要先变形，使左边和右边分子结构一致。两边同时加上某一个常数（X）供参考(尸+ xp)0 + S +巧) 尸+ Jl+X =p+q然后令岂空=x,解出X的值。而另一种思路是直接设啓三变形之后为pa” + qa x 火+x)%+x =pa“+q然后展开，根据对应项系数相等得二元方程组f y-xp =

14、 r_ g)=s求出3。两种思路都是解x的一元二次方程，设其解为X一gf和p(a/g)P（a/g） 若七=七时，那就只能利用例题7的方法，两边取倒数，部分分式整理即可转变为类型一。1p(4+a)P(4+Xi)+P0f)p(gf) 1p=- = III I +。”1 + 五力(+M) 为(+五)1劣+x】Ji最终求岀4 e 当玉。土时，可以选择其中的一个按照上面的方式进行求解，但是此时计算量领大, 于是直接将两式相比得，= + X2 2 an + X2所以数列 是首项为竺0,公比为七的等比数列。进一步求岀E+互yi供参考七P%J+兰(pr . O.p = 2,+4rs 0)型q例题9.在数列%中

15、，试求其通项。2a +2FT分析：本题属于分式非线性递推式，与类型五又有相似之处，所以我们可以结合类型五、六的思路，进行变换：两边同时加上某个常数，设最终变为:=(a” 2冬+ 2与原式比较，对应系数相等.得一2x = 3粹方程得X = -L x2 = 3即有:J +3-9厂224+2妇2+ 2对单个式子进行处理，无从下手，两式相比得- 3然后，两边取对数得:+ 3% 一14 + 34一1丿a +3 21g 亠-1则数列lg4 + 3是首项为1产+3=庭，公比为2的等比数列。 a -1n进一步解得，75 +3 ,45 -15 -1供参考显然，按照例题9的思路.形如*=性二1(方莉)这一类型的参数p、q、丫、$必P4*q须满足一定的条件，所得方程应有两个不相等的实根。现在来探讨应该满足哪些条件？sra； + 5r(a+x) arci * + x =+ x =,即 s冋pa/qra 4.5 r(a +x):叫+ 4 十. Pa/q所以 ran: + xpan xq s = ra +2rxan + rx:对应系数相等得p = 2r,rx2 -qx-s = 0方程rc： -gx-s= 0要满足 = g： +4rs 0设方程