（北京专用）2019版高考数学一轮复习 第十章 计数原理与概率、随机变量及其分布 第八节 离散型随机变量的均值与方差、正态分布课件 理

1、第八节离散型随机变量的均值与 方差、正态分布 总纲目录 教材研读 1.离散型随机变量的均值与方差 考点突破 2.均值与方差的性质 3.两点分布与二项分布的均值、方差 考点二均值与方差在实际问题中的应用考点二均值与方差在实际问题中的应用 考点一离散型随机变量的均值、方差 4.正态曲线的特点 考点三正态分布考点三正态分布 教材研读教材研读 1.离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X的分布列为 (1)均值:称EX=x1p1+x2p2+xipi+xnpn为随机变量X的均值 或数学期望,它反映了离散型随机变量取值的平均水平平均水平. (2)称DX=(xi-EX)2pi为随机变量X的方差,它刻画了

2、随机变量X与其均值 EX的平均偏离偏离程度,其算术平方根为随机变量X的标准差. Xx1x2xixn Pp1p2pipn 1 n i DX 2.均值与方差的性质 (1)E(aX+b)=aEX+b(a,b为实数). (2)D(aX+b)=a2DX(a,b为实数). 3.两点分布与二项分布的均值、方差 XX服从两点分布XB(n,p) EXp(p为成功概率为成功概率)np DXp(1-p)np(1-p) 4.正态曲线的特点 (1)曲线位于x轴上方上方,与x轴不相交; (2)曲线是单峰的,它关于直线x=对称; (3)曲线在x=处达到峰值; (4)曲线与x轴之间的面积为1; (5)当一定时,曲线的位置由确

3、定,曲线随着的变化而沿x轴平移; (6)当一定时,曲线的形状由确定,越小,曲线越“瘦高瘦高”,表示 总体的分布越集中;越大,曲线越“矮胖矮胖”,表示总体的分布越 分散分散. 1 2 1.已知离散型随机变量X的分布列为 则X的数学期望E(X)=() A.B.2C.D.3 X123 P 3 5 3 10 1 10 3 2 5 2 答案答案A由已知条件可知E(X)=1+2+3=,故选A. 3 5 3 10 1 10 3 2 A 2.已知随机变量服从正态分布N(2,2),且P(4)=0.8,则P(02)=() A.0.6B.0.4C.0.3D.0.2 C 答案答案C由P(4)=P(0)=0.2,故P(

4、02)=0.1. 答案答案0.1 解析解析由题意知P(02)=P(-20)=0.4, 所以P(2)=(1-20.4)=0.1. 1 2 B 考点一离散型随机变量的均值、方差 考点突破考点突破 典例典例1(2017北京,17,13分)为了研究一种新药的疗效,选100名患者随 机分成两组,每组50名,一组服药,另一组不服药.一段时间后,记录了两组 患者的生理指标x和y的数据,并制成下图,其中“*”表示服药者,“+” 表示未服药者. (1)从服药的50名患者中随机选出一人,求此人指标y的值小于60的概率; (2)从图中A,B,C,D四人中随机选出两人,记为选出的两人中指标x的值 大于1.7的人数,求

5、的分布列和数学期望E(); (3)试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数 据的方差的大小.(只需写出结论) 解析解析(1)由题图知,在服药的50名患者中,指标y的值小于60的有15人, 所以从服药的50名患者中随机选出一人,此人指标y的值小于60的概率 为=0.3. (2)由题图知,A,B,C,D四人中,指标x的值大于1.7的有2人:A和C. 所以的所有可能取值为0,1,2. P(=0)=,P(=1)=,P(=2)=. 所以的分布列为 15 50 2 2 2 4 C C 1 6 11 22 2 4 C C C 2 3 2 2 2 4 C C 1 6 012 P 1 6

6、2 3 1 6 故的期望E()=0+1+2=1. (3)在这100名患者中,服药者指标y数据的方差大于未服药者指标y数据 的方差. 1 6 2 3 1 6 方法技巧方法技巧 求离散型随机变量X的均值与方差的步骤 (1)理解X的意义,写出X可能取的全部值. (2)求X取每个值时的概率. (3)写出X的分布列. (4)由均值的定义求E(X). (5)由方差的定义求D(X). 提醒如果XB(n,p),则用公式E(X)=np,D(X)=np(1-p)求解. 1-12004年世界卫生组织、联合国儿童基金会等机构将青蒿素作为 一线抗疟药品推广.2015年12月10日,我国科学家屠呦呦教授由于在发 现青蒿素

7、和治疗疟疾的疗法上的贡献获得诺贝尔医学奖.目前,国内青 蒿人工种植发展迅速.某农科所为了深入研究海拔因素对青蒿素产量的 影响,在山上和山下的试验田中分别种植了100株青蒿进行对比试验.现 在从山上和山下的试验田中各随机选取了4株青蒿作为样本,每株提取 的青蒿素产量(单位:克)如下表所示: 编号 位置 山上5.03.83.63.6 山下3.64.44.43.6 (1)根据样本数据,试估计山下试验田青蒿素的总产量; (2)记山上与山下两块试验田单株青蒿素产量的方差分别为,根据 样本数据,试估计与的大小关系(只需写出结论); (3)从样本中的山上与山下青蒿中各随机选取1株,记这2株的产量总和 为,求

8、随机变量的分布列和数学期望. 2 1 s 2 2 s 2 1 s 2 2 s 解析解析(1)山下试验田平均每株青蒿素产量=4.0, 估计山下试验田青蒿素的总产量为100=400克. (2). (3)的所有可能取值为9.4,8.6,8.2,8.0,7.4,7.2. P(=9.4)=,P(=8.6)=, P(=8.2)=,P(=8.0)=, P(=7.4)=,P(=7.2)=. 随机变量的分布列为 x 3.64.44.43.6 4 x 2 1 s 2 2 s 1 2 11 44 C C C 1 8 1 2 11 44 C C C 1 8 1 2 11 44 C C C 1 8 11 22 11 4

9、4 C C C C 1 4 1 2 11 44 C C C 1 8 11 22 11 44 C C C C 1 4 9.48.68.28.07.47.2 P 1 8 1 8 1 8 1 4 1 8 1 4 E()=9.4+8.6+8.2+8.0+7.4+7.2=8. 1 8 1 8 1 8 1 4 1 8 1 4 典例典例2(2017北京西城一模,17)在测试中,客观题难度的计算公式为Pi= ,其中Pi为第i题的难度,Ri为答对该题的人数,N为参加测试的总人数,i N*. 现对某校高三年级240名学生进行一次测试,共5道客观题.测试前根据 对学生的了解,预估了每道题的难度,如下表所示: i R

10、 N 考点二均值与方差在实际问题中的应用 题号12345 考前预估难度Pi0.90.80.70.60.4 测试后,随机抽取了20名学生的答题数据进行统计,结果如下: (1)根据题中数据,估计这240名学生中第5题的实测答对人数; (2)从抽样的20名学生中随机抽取2名学生,记这2名学生中第5题答对的 人数为X,求X的分布列和数学期望; (3)试题的预估难度和实测难度之间会有偏差.设Pi为第i题的实测难度, 请用Pi和Pi设计一个统计量,并制定一个标准来判断本次测试对难度的 预估是否合理. 题号12345 实测答对人数161614144 解析解析(1)因为20人中答对第5题的人数为4,所以第5题

11、的实测难度为 =0.2. 所以估计这240名学生中第5题的实测答对人数为2400.2=48. (2)X的可能取值是0,1,2. P(X=0)=, P(X=1)=, P(X=2)=. 所以X的分布列为 4 20 2 16 2 20 C C 12 19 11 164 2 20 C C C 32 95 2 4 2 20 C C 3 95 X012 P 12 19 32 95 3 95 EX=0+1+2=. (3)将抽样的20名学生中第i题的实测难度作为240名学生中第i题的实测 难度, 定义统计量S=(P1-P1)2+(P2-P2)2+(Pi-Pi)2,其中Pi为第i题的预估难 度,iN*.并规定:

12、若S0.05,则称本次测试对难度的预估合理,否则,不合 理. 12 19 32 95 3 95 38 95 1 n S=(0.8-0.9)2+(0.8-0.8)2+(0.7-0.7)2+(0.7-0.6)2+(0.2-0.4)2=0.012. 因为S=0.0120.05, 所以本次测试对难度的预估是合理的. 1 5 规律总结规律总结 利用均值与方差解决实际问题的方法 (1)对实际问题进行具体分析,将实际问题转化为数学问题,并将问题中 的随机变量设出来. (2)依据随机变量取每一个值时所表示的具体事件,求出其相应的概率. (3)依据期望与方差的定义、公式求出相应的期望与方差值. (4)依据期望与

13、方差的意义对实际问题作出决策或给出合理的解释. 2-1现有两个班级,每班各出4名选手进行羽毛球的男单、女单、男女 混合双打(混双)比赛(注:每名选手打且只打一场比赛).根据以往的比赛 经验,各项目平均完成比赛所需时间如下表所示.现只有一场比赛场地, 各场比赛的出场顺序等可能. 比赛项目男单女单混双 平均比赛时间25分钟20分钟35分钟 (1)求按女单、混双、男单的顺序进行比赛的概率; (2)设随机变量X表示第三场比赛开始时需要等待的时间,求X的数学期 望; (3)若要使所有参加比赛的人等待的总时间最少,应该怎样安排比赛顺 序(写出结论即可). 解析解析(1)三场比赛共有=6种顺序,其中按女单、

14、混双、男单的顺序 进行比赛只有1种,所以按女单、混双、男单的顺序进行比赛的概率为 . (2)令A表示女单比赛、B表示男单比赛、C表示混双比赛. 按ABC顺序进行比赛,第三场比赛开始时需要等待的时间为t1=20+25= 45(分钟). 按ACB顺序进行比赛,第三场比赛开始时需要等待的时间为t2=20+35= 55(分钟). 按BAC顺序进行比赛,第三场比赛开始时需要等待的时间为t3=20+25= 45(分钟). 按BCA顺序进行比赛,第三场比赛开始时需要等待的时间为t4=35+25= 3 3 A 1 6 60(分钟). 按CAB顺序进行比赛,第三场比赛开始时需要等待的时间为t5=35+20= 5

15、5(分钟). 按CBA顺序进行比赛,第三场比赛开始时需要等待的时间为t6=35+25= 60(分钟). 且上述六个事件是等可能事件,每个事件发生的概率为. 随机变量X的分布列为 1 6 X455560 P 1 3 1 3 1 3 所以E(X)=. (3)按照混双、女单、男单的顺序参加比赛,可使等待的总时间最少. 160 3 考点三正态分布 典例3(1)已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布N(0,32), 从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为(附:若随机变量 服从正态分布N(,2),则P(-+)=68.26%,P(-2+2)= 95.44%)() A.4.56%B.

16、13.59% C.27.18%D.31.74% (2)在如图所示的正方形中随机投掷10000个点,则落入阴影部分(曲线C 为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为() A.2386B.2718 C.3413D.4772 答案答案(1)B(2)C 解析解析(1)P(-33)=68.26%,P(-66)=95.44%,则P(36)= (95.44%-68.26%)=13.59%. (2)由正态分布N(0,1)的密度曲线的几何意义,知题图中阴影部分的面积 为P(0 x1)=0.6826=0.3413,故落入阴影部分的点的个数的估计值 为0.341310000=3413.故选C. 1 2 1 2 方法技巧方法技巧 解决有关正态分布的求概率问题的关键是利用正态曲线的对称性及曲 线与x轴之间的面积为1,把待求区间内的概率向已知区间内的概率转 化.解题时要充分结合图形进行分析、求解,要注意数形结合思想及化 归思想的运用. (1)应熟记P(-X+),P(