（浙江专版）2019版高考数学一轮复习 第七章 不等式 7.4 基本不等式及不等式的应用课件

1、7.4 基本不等式及不等式的应用 高考数学高考数学 考点一基本不等式考点一基本不等式 1.几个重要不等式 (1)a2+b22ab(a,bR). (2)(a,bR+). (3)+2(a,b同号). (4)ab(a,bR). (5)(a,bR+). (6)三角不等式 |a|-|b|ab|a|+|b|, 2 ab ab a b b a 2 2 ab 22 2 ab 2 ab ab 2 11 ab 知识清单 |a1a2an|a1|+|a2|+|an|. 2.利用算术平均数与几何平均数求函数的最值 (1)已知x、yR+,如果积xy是定值P,那么当x=y时,和x+y有最小值,是 2. (2)已知x、yR+

2、,如果和x+y是定值S,那么当x=y时,积xy有最大值, 是S2. P 1 4 考点二不等式的综合应用考点二不等式的综合应用 1.常用的证明方法 (1)比较法 a.作差比较.如,a、b、m均为正数,且a.基本步骤:作差, 变形,定号. b.作商比较.基本步骤:作商,变形,与1比较大小. (2)分析法与综合法 令字母A、A1、A2、An、B分别表示一个不等式,其中B为已知不等 式,A为待证不等式. 若有AA1A2AnB,综合法是由B前进式地推导A,分析法则是 由A倒退式地分析到B.用分析法时,必须步步充分. am bm a b (3)反证法 从否定结论出发,经过逻辑推理,得出矛盾,证实结论的否定

3、是错误的,从 而肯定原结论正确. (4)放缩法 欲证AB,可通过适当放大或缩小,借助一个或多个中间量,即BB1,B1 B2,BiA或AA1,A1A2,AiB,再利用传递性,达到证明目的. (5)三角代换法 如,若x2+y2=1,求证:|x2-2xy-y2|. 分析:由于x2+y2=1,故可设x=cos,y=sin, 则|x2-2xy-y2|=|cos2-2sincos-sin2| =. 2 2 cos 2 4 2 (6)基本不等式法 使用时要注意条件是否满足以及等号何时取得. (7)函数增减性法 如,若0u,求证:u+. 分析:基本不等式的基本条件不具备,即u=时,u=1,而0b0,am0,则

4、; (2)a,b,c,dR+,则; (3)nN*,-1,-0,b0)定义域内不含实数的类型的最值 问题,要会用函数单调性求解. 例1(2017浙江高考模拟训练冲刺卷四,16)已知a+b=5(a-1,b-2),则 +的最大值为. b x b a 1a 2b 方法技巧 方法1 解题导引 把+平方后开方利用基本不等式得最大值检验等号成 立的条件结论 1a 2b 解析a+10,b+20,+= =4, 当且仅当a=b+1时取等号,又a+b=5,故当a=3,b=2时,+取最大 值,最大值为4. 1a 2b1 2122aabb 3(12)abab 1a 2b 答案4 评析本题考查利用基本不等式求最值,平方消

5、去根号,考查化归转化 思想.在解答此类问题时,一定要注意“一正、二定、三相等”的原则. 不等式综合应用的解题策略不等式综合应用的解题策略 例2(2017浙江宁波二模(5月),17)若6x2+4y2+6xy=1,x,yR,则x2-y2的最 大值为. 方法2 解题导引 导引一:设x+y=m,x-y=n,将原问题转化为已知4m2+mn+n2=1,求mn的最大值 问题利用基本不等式得最大值检验等号成立的条件结论 导引二:利用x2-y2=,将x2-y2化为齐次式设t=,转化为求关 于t的分式函数的最大值利用判别式求最大值结论 导引三:凑配系数,利用基本不等式求最大值检验等号成立的条件结论 22 22 6

6、64 xy xxyy y x 解析解法一:设m=x+y,n=x-y,则问题转化为“已知4m2+mn+n2=1,求mn 的最大值”. 由基本不等式,知1=mn+4m2+n2mn+4|mn|,所以-mn,当且仅当n= 2m, 即x=-3y时,取到最大值. 解法二(齐次化处理):显然要使得目标函数取到最大值,x0. 令z=x2-y2=,设t=,则z=,则(4z+ 1)t2+6zt+6z-1=0对tR有解. 1 3 1 5 1 5 22 22 646 xy xyxy 2 2 1 646 y x yy xx y x 2 2 1 646 t tt 当z=-时,t=-. 当z-时,=36z2-4(4z+1)(6z-1)0,解得-z.当t=-=-时取 到最大值. 解法三:1=6x2+4y2+6y6x2+4y2-6=5x2-5y2,所以x2-y2 ,当且仅当x=-3y时取等号. 1 4 5 3 1 4 1 3 1 5 3 41 z z 1 3 3 x 3 2 2 3