高考数学一轮复习课时跟踪检测：十九《函数与导数压轴大题的3大难点及破解策略》(含解析

1、课时跟踪检测（十九）难点自选函数与导数压轴大题的3大难点及破解策略1定义在 R 上的奇函数f() ，当x0 时，f(x) lnx 1，若f(x)有 5个零点，xax求实数 a 的取值范围解：因为 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数，所以f (0) 0；所以要使f ( x) 在 R 上有 5 个零点，只需 f ( x) 在 (0 ， ) 上有 2个零点所以等价于方程aln x 1x在(0， ) 上有 2个根所以等价于与 () ln x1x0) 的图象有2 个交点 lnx()2，y ag xxgxxx(0,1)(1 ，)g( x)所以 g( x) 的最大值为g(1) 1.因为 x0时， g(

2、x) ； x时，由洛必达法则可知：lixg( x)lixxlix1 ，mmxmx0所以 0ag(1)，所以 0a0.解： (1)f (x) ex1，由 f (0) 0，得 m 1，x m所以f( ) ex 1， ( ) ex120，xx 1fxx又由 f (0) 0，所以当 x ( 1,0) 时， f (x)0.所以函数 f ( x) 在 ( 1,0) 上单调递减，在(0 ， ) 上单调递增(2) 证明：依题意， f ( x) ex 1 . xm令 f (x ) 0，则 ex1x0，且 f (x) e 00x0 m1x m20，所以函数f (x) 在区间( m， ) 上单调递增则当 x ( m

3、，x0) 时， f (x0)0 ，故函数 f ( x) 在 ( m，x0) 上单调递减，在 ( x0， ) 上单调递增所以 f ( x) min f ( x0) ex0 ln( x0 m) 1又 x0 满足方程 ex0 1 ，x 0 m则 f ( x0) ex0 ln( x0 m) 1 ln e x0 x0 11 m x0 mxx mx m m0002x0m1 2 0不等号取等号的条件是x0 0，不等号取等x0 mmm(m1，号的条件是 m 2) .由于不等号、不能同时取等号，故f ( x0)0 ，即 f ( x) min 0，因此 f ( x)0.3已知函数f() axb(0) 的图象在点

4、(1 ，(1)处的切线方程为y1. xxcafx(1) 试用 a 表示出 b， c；(2) 若 f ( x) lnx 在 1 ， ) 恒成立，求a 的取值范围解： (1) b a 1， c 12a.1(2) 题设即“ aln x x 1xln x x 11( x1) ，或 ax2 ( x1) 恒成立”x x2用导数可证函数12 ( x 1) xln x( x1) 是增函数 ( 只需证 g(x) xg( x) ( x 1)2lnx10( x1) 恒成立，再用导数可证) ，所以 g( x) g(1) 0( x1) ，当且仅当时 ，得xln x x 1 1， xlnx x 1 1x1g( x)x21

5、)lix1x20m2.xlnx x 11所以若 ax2( x1) 恒成立，则a 2，即 a 的取值范围是1， .2lnxa m( a，mR)在 xe(e 为自然对数4(2019 安徽二校联考 ) 已知函数 f ( x) x的底数 ) 时取得极值，且有两个零点记为x1， x2.(1) 求实数 a 的值，以及实数 m的取值范围；(2) 证明： ln x1ln x22.1 xxa xx解： (1) f (x) a1 lnx2x2，由 f (x) 0，得 x ea 1，且当 0x0 ，当 xea 1 时， f (x)0) ，1 lnx ()2，xm xfxx1函数 f ( x) 在 (0 ， e) 上

6、单调递增，在 (e ， ) 上单调递减，f (e) e m.又 x0( x0) 时， f ( x) ； x时， f ( x) m， f ( x) 有两个零点 x ， x ，121 0，1故 em解得 0m .e m0，1所以实数 m的取值范围为0， e .(2) 证明：不妨设x12，只需证 lnxx x112x1x22，只需证 m( x1 x2)2 ，即证x1 x2x2xxln2.1x21x2即证1 x1x2x2x2ln2，设 tx1， 1x11x1则只需证 lnt t .t 1即证 lnt t 0.t 1记 u( t ) lnt t ( t 1) ，t 114t 22t则 u(t ) t t

7、 t 20.所以 u( t ) 在 (1 ， ) 上单调递增，所以 u( t ) u(1) 0，所以原不等式成立，故 ln x1 ln x22.5(2016 全国卷) 已知函数 f ( x) ( x2)e x a( x 1) 2 有两个零点(1) 求 a 的取值范围；(2) 设 x1， x2 是 f ( x) 的两个零点，证明： x1 x20，则当 x ( ， 1) 时， f (x)0 ，所以 f ( x) 在 ( ，1) 内单调递减，在 (1 ， ) 内单调递增又f(1) e，f(2) ，取满足b0 且 2( b 2) a( b 1) a b 2b 0，故 f ( x) 存在两个零点设 a0 ，因此f(x) 在 (1 ， ) 内单调递增fx又当 x1时， f ( x)0 ，所以 f ( x) 不存在两个零点e若 a1 ，故当 x (1 ， ln( 2a) 时， f (x)0.因此 f ( x) 在 (1 ， ln( 2a) 内单调递减，在(ln( 2a) ， ) 内单调递增又当 x1时， f ( x)0 ，所以 f ( x) 不存在两个零点综上， a 的取值范围为 (0 ， ) (2) 证明：不妨设x1x2，由 (1) 知， x1 ( ， 1) ，x2 (1