拉普拉斯变换的数学方法详细PPT课件

1、7:17:58 1 Control Engineering Foundation 00 0 0 2 0 0 2 1 ( )dd 11 d 11 0d 1 stst stst stst L f ttett e s teet ss ete ss s 工程数学基础 2-1 复数和复变函数 2-2 拉氏变换与拉氏反变换的定义 2-3 典型时间函数的拉氏变换 2-4 拉氏变换的性质 2-5 拉氏反变换的数学方法 2-6 用拉氏变换解常微分方程 7:17:58 2 本章学习要求、重点、难点 学习要求 掌握拉普拉斯变换和 反变换的定义。 掌握典型时间函数的 拉氏变换。 掌握拉氏变换的主要 性质。 掌握拉氏反

2、变换的部 分分式法。 掌握用拉氏变换解常 微分方程的方法。 本章重点 典型时间函数的拉氏 变换 拉氏变换的主要性质 拉氏反变换的部分分 式法。 本章难点 拉氏变换的性质 7:17:58 3 (cossin ) j sj rj re 1.复数的概念 2.复数的表示法 3.复变函数、极点与零点的概念 7:17:59 4 2-1 复数和复变函数 1. 复数(complex number)的概念 7:17:59 5 两个复数相等的条件： 实部和虚部分别相等。 s1=1+j1 s2=2+j2 若s1=s2，则必有1=2， 1=2。 一个复数等于0的条件： 其实部和虚部均为零。 s1=+j与s2=j互为共

3、 轭复数。 Real part Imaginary part 一个复数s由实部和虚部 构成，其代数式为 s = + j 2 1j 32 jj jj 2-1 复数和复变函数 2. 复数的表示法 代数表示法s=+j 坐标表示法 向量表示法 三角表示法 复指数表示法 7:17:59 6 111 sj 222 sj 1 2 j1 j2 实轴 虚轴 j 0 图2-1 坐标表示法 图2-2 向量表示法 j 0 1 r1=|s1| 2 r2=|s2| 辐角 模/绝对值 22 rs arctanarctan 虚部 实部 复平面 s平面 辐角逆时针为正。辐角逆时针为正。 辐角的主值：辐角的主值：0，2 1 2

4、j1 j2 2-1 复数和复变函数 三角表示法 由图2-2可知 = rcos ， = rsin 因此 s = rcos + jrsin = r(cos + jsin) 【注】ej的模为1，辐 角为。 复指数表示法 欧拉公式： e j = cos jsin ej = cos jsin 因此 s = re j 7:17:59 7 三角表示法 复指数表示法 1 cos() 2 1 sin() 2 jj jj ee ee j 2-1 复数和复变函数 例2-1 复数s=3+j4的各种表示法。 7:17:59 8 3 j4 j 0 坐标表示法向量表示法 j 0 5126.9 5(cos126.9sin12

5、6.9 )sj 126.92.2143 55 jj see 三角函数表示法 复指数函数函数表示法 2-1 复数和复变函数 复数的模和辐角的运算规律 两个复数相乘，结果的模等于这两个复数的模的相乘； 结果的辐角等于这 两个复数辐角相加。 两个复数相除，结果的模等于这两个复数的模相除；结 果的辐角等于这两个复数的辐角相减（分子减分母） 。 以上结论可以推广到n个复数相乘或相除的情况。 7:18:00 9 例2-2 12 3468sjsj， 22 11 22 22 4 |345arctan 3 4 |6810arctan 3 s s ， ， 312312 1 4412 2 4 | | 502arct

6、an 3 |51 |0 |102 sss s s s ， = ， 1 4 2 34 68 sj s sj 31 2 34)(68)ss sjj=( 2-1 复数和复变函数 3.复变函数(Complex Function)、极点与零点的概念 7:18:00 10 实部：u = f1(，) 虚部：v = f2(，) 模： 辐角： 同样可以采用坐标表 示法、向量表示法、 三角函数表示法和复 指数表示法。 实部 虚部 22 ( )f suv arctan v u 复变函数 以复数s = + j为自变量， 按某一确定规律构成的函 数f(s)称为复变函数（复变 量复值函数的简称）。复 变函数的函数值一般也

7、为 复数(实数是复数的特例）， 可写成 f(s) = u + j v 2-1 复数和复变函数 例2-2 有复变函数 G(s) = s2 + 1 当s = + j时，求其实部u、虚部v、模及幅角。 解： 7:18:00 11 22 22 22 ( )1()1 21 (1)2 G ssj j j 22 1 2 u v 222222 ( )(1)(2)G suv 22 2 ( )arctanarctan 1 v G s u 模 幅角 2-1 复数和复变函数 例2-2 有复变函数 G(s) = s2 + 2s + 3 当s = + j时，求其实部u、虚部v、模及辐角。 解： 7:18:00 12 2

8、22 22 ( )()2()3 2223 (23)2(1) G sjj jj j 22 23 2(1) u v 222222 ( )(23)2(1) G suv 22 2(1) ( )arctanarctan 23 v G s u 模 辐角 2-1 复数和复变函数 复变函数的零点：使复变函数值等于0的s点。 复变函数的极点：使复变函数值等于的s点。 例如，有下列复变函数： 7:18:00 13 10(1)(2) ( ) (3)(45)(45) ss G s s ssjsj 当s1，2时，G(s)0，所以1、2为G(s)的零点。 当s0，3，4+j5，4j5时，G(s)，所以0、 3、 4+j5

9、、4j5为G(s)的极点。 1.拉氏变换（全称：拉普拉斯变换） 2.拉氏反变换（全称：拉普拉斯反变换） 7:18:00 14 2-2 拉氏变换与拉氏反变换的定义 简介 拉普拉斯变换是以法国著名的数 学家和天文学家拉普拉斯名字命名 的积分变换，最早是用于解决电力 工程计算中遇到的一些基本问题， 后来逐渐地在电学、力学、控制工 程等系统分析中得到了广泛的应用， 是研究以输入输出描述的连续线 性时不变系统的强有力工具（在离 散系统、非线性系统、时变系统的 研究中无能为力）。 7:18:00 15 Laplace（1749-1827） 法国数学家、天文学家， 法国科学院院士。是天 体力学的主要奠基人、

10、 天体演化学的创立者之 一，还是分析概率论的 创始人。 2-2 拉氏变换与拉氏反变换的定义 1.拉氏变换(LAPLACE TRANSFORMATION)的定义 设实变量函数f(t)在t0时有定义，且广义积分 在s的某一区域内收敛，则由此积分确定的函数称为 f(t)的拉普拉斯变换（简称拉氏变换），记为 7:18:00 16 0 ( ) ( )( )d st F sL f tf tet 像函数像函数 表示对表示对f f( (t t) )做拉做拉 氏变换氏变换 原函数原函数 0 ( )d st f tet u这里s = + j为复变量， 称为拉普拉斯算子（其中 、 为实变量），所以F(s)一般为一复

11、变函数。 uf(t)称为“原函数”（本课程中f(t)一般是时间的函 数），F(s)称为“像函数”。 2-2 拉氏变换与拉氏反变换的定义 1.拉氏变换(LAPLACE TRANSFORMATION)的定义 【注1】上述拉普拉斯变换的积分下限取0，这样定 义的拉普拉斯变换也称为单边拉普拉斯变换。本教 材全部采用这一定义。双边拉普拉斯变换的定义如 下： 7:18:01 17 ( ) ( )( )d st F sL f tf tet 如果f(t)在t0时为0，则单边拉普拉斯变换与双边拉 普拉斯变换相等。如果没有特殊说明，本课程的时 域信号一律假设为“f(t)在t0时为0”。 2-2 拉氏变换与拉氏反变

12、换的定义 1.拉氏变换(LAPLACE TRANSFORMATION)的定义 【注2】如果在t=0处包括冲激函数，则拉普拉斯变 换的积分下限应该修改成0或0+，以表明积分区间 是否包括该冲激函数。例如： 7:18:01 18 f(t) t0 在在t0处处有冲激函数有冲激函数 0 ( ) ( )( )d st F sLf tf tet 包含冲激函数 0 ( ) ( )( )d st F sLf tf tet 不包含冲激函数 式中 0-代表从负方向趋于0 0+代表从正方向趋于0 2-2 拉氏变换与拉氏反变换的定义 1.拉氏变换(LAPLACE TRANSFORMATION)的定义 【注3】一个函数

13、f(t)的拉普拉斯变换是否存在是有 条件的（见下一页）。 7:18:01 19 2-2 拉氏变换与拉氏反变换的定义 单边拉普拉斯变换的存在条件：如果f(t)满足下面 二个条件，那么它的单边拉普拉斯变换存在。 实变量的复值函数f(t)和f(t)在t0上除掉有第一类间 断点（即在任一有限区间上至多有有限多个间断点） 外连续，或者说f(t)在t0的任何有限区间上分段连 续； 7:18:01 20 图2 3 在a，b上分段连续 0 f(t) tb a 2-2 拉氏变换与拉氏反变换的定义 当t时，f(t)的增长速度不超过某一指数函数，也 就是说可以找到常数和M0,使得 |f(t)|Met(t0) 只要是

14、在复平面上对于Re(s)（即）的所有复 数s，都能使拉氏变换的积分绝对收敛，则Re(s)为拉 氏变换的收敛域（或称解析域），称作收敛坐标，见 图2-4。 7:18:01 21 图2 4 拉氏变换定义域 0 Im(s) Re(s) 收敛收敛域域【注注】教材教材11页图页图2-4 中的中的应为应为s。 2-2 拉氏变换与拉氏反变换的定义 第二个条件证明如下： 设s=+j，则 7:18:01 22 t sttj t e eee 所以( )( )( ) t st st f tf t ef t e e 如果 () ( )( ) tttt st f t eMe eMef t e ( ) t Mef t 则

15、 所以 () 0 0 d( )( )d t st MetF sf tet 由上式可知，只有当-0时，上式右端积分才收敛， 所以拉氏变换只在Re(s)的区域上存在，即Re(s) 为拉氏变换的收敛域。 2-2 拉氏变换与拉氏反变换的定义 7:18:02 23 2 0 ( ) 00 t etT f t ttT ， 2-2 拉氏变换与拉氏反变换的定义 2. 拉氏反(逆)变换 由像函数F(s)求原函数f(t)称作拉氏反(逆)变换。计 算公式（称为反演积分公式）为 7:18:02 24 1 1 ( )( )( )d(0) 2 j st j f tLF sF s est j n该积分是沿直线Re(s)=的复

16、积分。计算复变函数的积分通 常非常困难。当F(s)满足一定条件时，可以利用留数定理 来计算这个积分，本课程对此不做要求，但要求能够利用 部分分式法将一个复变函数分解成简单的复变函数之和， 然后利用拉氏变换对照表查得原函数。 n【注1】在做作业和考试时不要试图按上述定义式求拉氏反 变换。 n【注2】教材11页式(2-2)中的应为。 1.单位阶跃函数 2.单位脉冲函数 3.单位斜坡函数 4.指数函数eat 5.正弦函数sint 6.余弦函数cost 7.幂函数tn 7:18:02 25 2-3 典型时间函数的拉氏变换 【说明】在本课程中，计算各种时间函数f(t)的拉 普拉斯变换时，f(t)的定义域

17、一律为t0，并且假 定t0时，f(t)0。 7:18:02 26 2-3 典型时间函数的拉氏变换 【提示】在计算函数f(t)的拉普拉斯变换时，可以 将复变量s作为实数变量来处理，得到的结果适合 于s为复变量的一般情况。但应注意到收敛域方可 得到正确的结果。也要切记s并不是实变量而是复 变量。例如：设f(t)=e5t（t0），其拉氏变换为 7:18:02 27 (5) 5(5) 00 0 0 (5) ( ) ( )dd 5 1 5 st tstst st t e F sL f te etet s e e s 0Re(s)5时 11 (01) 55ss 收敛域（或解析域）：Re(s)5。 2-3

18、典型时间函数的拉氏变换 1. 单位阶跃函数的拉氏变换 单位阶跃函数定义为 7:18:02 28 根据拉氏变换定义得 00 1( ) 10 t t t 0 1( )1( )1( )d st sLtt et 1 t 1(t) 0 图2-5 单位阶跃函数 解析域解析域：Re(s)0（0）。）。 因为只有因为只有Re(s)0，上面的拉，上面的拉 氏变换才氏变换才存在（积分收敛）。存在（积分收敛）。 11 (0 1) ss 0Re(s)0时 【注注】t=0处可不予定义或处可不予定义或 定义成定义成1/2，积分下限取，积分下限取0+， 拉氏变换结果一样。拉氏变换结果一样。 00 1 d()d stst e

19、te s 0 0 11 st s e ee ss 2-3 典型时间函数的拉氏变换 为什么当=Re(s)0时，e-s=0？ 7:18:02 29 () cos()sin() sj j ee ee ej 当0时 cos()sin() cos()sin() =00 0 ej eje j 上式 2-3 典型时间函数的拉氏变换 2. 单位脉冲（冲激）函数的拉氏变换 定义 7:18:03 30 根据拉氏变换定义得 0 ( ) 00 t t t ( )d1tt 0 ( ) ( )( )d st sLtt et 图图2 6 单位脉冲函数单位脉冲函数 0 t (t) (1) 【注注】积分下限取积分下限取0。 0

20、 0 ( ) dt et 0 ( )dtt ( )dtt 1 据(t)定义 扩展积分下限到- 据(t)定义 2-3 典型时间函数的拉氏变换 3.单位斜坡函数的拉氏变换 定义 7:18:03 31 其拉氏变换为 00 ( ) 0 t f t tt 图图2 7 单位斜坡函数单位斜坡函数 0 t f(t) 解析域：解析域：Re(s)0。 Re(s)0时 22 11 0 01 ss 分部积分 00 1 ( ) ( )dd stst F sL f ttett e s 0 0 11 d stst teet ss 2 0 11 0 st st t e te ss 0 2 11 stst tt e tee s

21、s 2-3 典型时间函数的拉氏变换 4.指数函数eat的拉氏变换 定义 7:18:03 32 其拉氏变换为 00 ( ) 0 at t f t et 0 ( ) ( )d atst F sL f te et 解析域解析域：Re(s)Re(- -a) 图图2 8 指数函数指数函数 0 t f(t) 1 同样可求出同样可求出 1 at L e sa 1 (01) sa Re(s)Re(a)时 解析域：解析域：Re(s)Re(a) a为复常数（包括实常 数）。下图a为实常数。 () () 0 0 d s a t s a t e et sa 0 () 1 s a t t e e sa 1 sa 2-3

22、 典型时间函数的拉氏变换 5. 正弦函数sint（t0）的拉氏变换 定义 7:18:03 33 1 sin 2 jtj t tee j 图图2 9 正弦函数正弦函数 0 t f(t) 00 ( ) sin0 t f t tt 为角频率（rads-1），量纲为s-1。 解法1：由欧拉公式得 1 at L e sa 指数函数的拉氏变换结果 2-3 典型时间函数的拉氏变换 5. 正弦函数sint（t0）的拉氏变换 7:18:03 34 0 1 ( )sind 2 jtjtst F sLteeet j 解析域：解析域：Re(s)0。 22 22 1111 22 sjsj jsjsjjs s 00 1

23、dd 2 1 2 jtstjtst jtjt eeteet j L eL e j 2-3 典型时间函数的拉氏变换 5. 正弦函数sint（t0）的拉氏变换 解法2：按拉氏变换定义式直接积分得到 7:18:03 35 00 1 ( )sinsinddcos stst F sLttetet 分部积分 分部积分 Re(s)0时 00 1 coscosd stst ett e 0 1 0 1cosd st stet 0 11 dsin st s et 22 00 1 sinsind stst ss ett e 2-3 典型时间函数的拉氏变换 5. 正弦函数sint（t0）的拉氏变换 解法2：按拉氏变换

24、定义式直接积分得到 7:18:03 36 22 00 2 22 0 1 sinsinsind 1 (00)sind stst st ss Ltett e ss tet 22 ( )sinF sLt s 解析域：解析域：Re(s)0。 Re(s)0时 2 2 1 sin s Lt 2 2 1 sin 1 s Lt 2-3 典型时间函数的拉氏变换 6. 余弦函数cost（t0）的拉氏变换 定义 7:18:03 37 1 cos 2 jtj t tee 00 ( ) cos0 t f t tt 为角频率（rads-1），量纲为s-1。 1 at L e sa 再利用指数函数的拉氏变换结果 图图2 1

25、0 余弦函数余弦函数 0 t f(t) 可以按拉氏变换定义式直接积分得到，也可以采用如 下方法。由欧拉公式得 2-3 典型时间函数的拉氏变换 6. 余弦函数cost（t0）的拉氏变换 7:18:04 38 0 00 22 22 1 cosd 2 1 dd 2 1 = 2 1111 22 j tj tst j tstj tst j tj t Lteeet eeteet L eL e sjsj sjsjs s s 解析域：解析域：Re(s)0。 2-3 典型时间函数的拉氏变换 7.幂函数tn (n1为正整数，t0)的拉氏变换 定义 7:18:04 39 00 1 ( )dd nnstnst F s

26、L tt ette s 0Re(s)0时 11 00 1 dd stnnst n entttet ss 1 n L t 0 ( )(1) 00 n tt f tn t ，为整数 1 n n L t s 分部积分 0 0 11 d nststn t eet ss 2-3 典型时间函数的拉氏变换 7.幂函数tn (n1为正整数，t0)的拉氏变换 得到递推关系 7:18:04 40 1nn n L tL t s 12 1 nn n L tL t s 10 2 11111 1( )L tL tLt sss ss 2 1 12 1 ! n n n n L t sss s n s 所以 解析域：解析域：R

27、e(s)0。 2-3 典型时间函数的拉氏变换 常用函数的拉普拉斯变换见教材13页表2-1。表2-1中 的14项、68项是最基本项，应熟记和熟练运用。其 它各项可以根据拉氏变换的性质及上述7项导出。 【注1】教材13页表2-1中的第4项的限制条件为： a为常数，含复常数 【注2】教材14页续表2-1中的第16项的限制条件为： 01 【注3】教材14页续表2-1中的第17、18项的限制条件 01，0/2 【注4】教材14页续表2-1中的第18项公式改为 7:18:04 41 n 2 2 1 1sin(1) 1 t n et n线性性质（比例性+叠加性） n实数域位移定理 n复数域位移定理 n相似定

28、理 n实域微分定理 n实域积分定理 n初值定理 n终值定理 n复域微分定理 n复域积分定理 n时域卷积定理 n复域卷积定理 7:18:04 42 2-4 拉氏变换的性质/定理 拉普拉斯变换具有很多性质和定理，利用这些性质和 定理可以简化拉氏变换的运算过程，应该熟记和熟练 运用。20页表2-2罗列了这些性质。 学习时，应该仔细研究这些性质和定理的意义和证明 过程，以便能够熟练地应用。课堂上只对较难理解的 定理重点做出解释。其它参见详细教案PPT和教材。 教材内容改错 14页倒数第5行 “f(t) = 0”改为“f(t -a)1(t -a)= 0” 17页的“7.积分定理”有问题，请注意课堂讲解。

29、 20页表2-2第6、7、8项等号右边第一项保留，其他 项删除。（检查学生所用版本此定理） 20页表2-2第10项增加约束“a为正实常数”；第13 项增加约束“a为正实常数”。 7:18:04 43 2-4 拉氏变换的性质/定理 7:18:04 44 序号序号性质和定理性质和定理关系式式中关系式式中 F(s) = Lf(t) 1比例特性 ，A为常数 2叠加性 3线性特性 4 实域微分定 理 5 实域微分定 理 6 实域微分定 理 式中 ( )( )L Af tAF s 1212 ( )( )( )( )L f tftF sF s d ( ) ( )(0 ) d f t LsF sf t 2 2

30、(1) 2 d( ) ( )(0 )(0 ) d f t Ls F ssff t (1) 1 d( ) ( )(0 ) d n n nn kk n k f t Ls F ssf t (1) (1) (1) 0 d( ) (0 ) d k k k t f t f t 111 ( )( )( ) nnn iiiiii iii LK f tK L f tK F s 11 111 ( )( )( ) nnn iiiiii iii LK F sK LF sK f t (Ki为常数) (Ki为常数) 2-4 拉氏变换的性质/定理 7:18:04 45 序号序号性质和定理性质和定理关系式式中关系式式中 F(

31、s) = Lf(t) 7 实域定积分 定理 8 实域定积分 定理 9 实域定积分 定理 10 实域不定积 分定理 11 实域不定积 分定理 12 实域不定积 分定理 0 ( ) ( )d tLf t Lf tt s 2 2 00 ( ) ( )(d ) ttLf t Lf tt s 00 ( ) ( )(d ) tt n n Lf t Lf tt s 0 ( ) 1 ( )d( )d t Lf t Lf ttf tt ss 22 22 00 ( )11 ( )(d )( )d( )(d ) tt Lf t Lf ttf ttf tt sss 1 0 1 ( )1 ( )(d )( )(d )

32、n nk nn k t k Lf t Lf ttf tt ss 2-4 拉氏变换的性质/定理 7:18:05 46 序号序号性质和定理性质和定理关系式式中关系式式中 F(s) = Lf(t) 13复域位移定理 ，a为常数(实数或复数) 14实域位移定理 （a0，为常数） 15复域微分定理 16复域微分定理 17复域微分定理 18复域积分定理 ，如果 存在。 ( )() at L ef tF sa () 1()( ) as L f tataeF s d ( ) ( ) d F s L t f t s ( ) ( )d s f t LF ss t 0 ( ) lim t f t t d( ) (

33、)( 1) d n nn n F s L t f t s 2 2 2 d( ) ( ) d F s L t f t s ( ) ( )(d )n n sss f t LF ss t 2-4 拉氏变换的性质/定理 7:18:05 47 序号序号性质和定理性质和定理关系式式中关系式式中 F(s) = Lf(t) 19 相似定理 时间尺度变 换定理 ， a为大于0的常数 20 时域卷积定 理 21 复域卷积定 理 22初值定理 若 存在 23终值定理 若 存在 24 周期函数的 拉氏变换 ，T是周期 25等式 ，如果 存在 () t L faF as a 121212 11 ( )( )()( )d

34、( )()d 22 cjcj cjcj L f t f tF sFF p F spp jj 0 (0 )lim( )lim( ) s t ff tsF s 0 lim( )lim( ) ts f tsF s 00 ( )dlim( ) s f ttF s 1 ( ) s L f atF aa 0 ( )( )() ( )d( )( ) t L f tg tLf tgF sG s 0 ( )df tt 0 1 ( )( )d 1 T st Ts L f tf t et e lim( ) s sF s lim( ) t f t * *代表卷积运算代表卷积运算 2-4 拉氏变换的性质/定理 【说明】

35、本章例题中，在做函数f(t)的拉普拉斯变 换时，如果没有单独说明，默认情况下，f(t)的定 义域一律为t0，并且假定t0时，f(t)0。例如： 默认情况下，下面三种写法等效。 7:18:05 48 5 ( )cos(10 ) t f tet 5 cos(10 )0 ( ) 00 t ett f t t 5 ( )cos(10 ) 1( ) t f tett 简写： 2-4 拉氏变换的性质/定理 1. 线性性质（比例性+叠加性） 7:18:05 49 ( )( ) =1, 2, , ii L f tF sin 111 ( ) ( )( ) nnn iiiiii iii LK f tK L f t

36、K F s 11 111 ( )( )( ) nnn iiiiii iii LK F sK LF sK f t 则 证明： 00 111 1 ( )( )d( )d ( ) nnn stst iiiiii iii n ii i LK f tK f tetKf t et K F s 式中：Ki 为常数，i = 1，2， ， n。 若 2-4 拉氏变换的性质/定理 1. 线性性质（比例性+叠加性） 例如：求f(t)=4+3e-2t+5e-t（t0）的拉氏变换。 7:18:05 50 123 ( ) ( )4 ( )3 ( )5 ( )F sL f tL f tL f tL f t 1 2 2 3

37、( )1( ) ( )1( ) ( )1( ) t t f tt f tet f tet 111 435 21sss 所以 则 11 22 33 ( )1/( ) ( )1/ (2)( ) ( )( )1/ (1) F sLsf t F sLsf t f tF sLs 123 4( )3( )5( )F sF sF s 令 解：f(t)可表达成 2 2 (435) 1( ) 4 1( )31( )51( ) ( ) tt tt f teet tetet 2-4 拉氏变换的性质 2. 实数域位移定理（延时定理） 若Lf(t)=F(s)，且t 0时，f(t) = 0，则 Lf(ta)1(ta) =

38、 e-asF(s) (a为正实常数) 其中f(ta)1(ta)为f(t)沿t轴平移（或者说延时）a（【注】 a0 ，函数右移），且有ta时，f(ta) 1(ta) = 0。 7:18:05 51 平移（延时）函数 t 0 教材教材14页有错页有错 a f(ta)1(ta) 1()ta t 0 f(t) 1(t) () 1 1 0 ta ta ta 2-4 拉氏变换的性质 2. 实数域位移定理（延时定理） f(t)的平移(延时)函数一般表示成：f(ta) 1(ta) 如果写成f(ta)，则必须明确指出定义域，例如： 7:18:05 52 或表达成 2(5) 55 ( )(5) 05 t et g

39、 tf t t 2 2 60 ( )61( ) 00 t t et f tet t 【注】对单边拉氏变换，实数域位移定理只适合于 a0（即右移）的情况，a0（即左移）时不成立 （按定义和按该定理求出的结果不同）。因为单边拉 氏变换积分下限为0。 2(5) ( )(5) 1(5)61(5) t g tf ttet 则 设 2-4 拉氏变换的性质 2. 实数域位移定理（延时定理） 证明：令ta，则ta 7:18:06 53 () 0 0 ()()d ( ) 1( d ( )d ( )1( ) ) st sa ass a a s L ftatataf taet fe efe eF s 【注】变量代换

40、后，积分下限仍然是0，上限也不 变，符合拉氏变换定义式，所以才有上述结论。 变量代换，积 分区间变换。 2-4 拉氏变换的性质 求图2-10所示方波脉冲的拉氏变换。 解法解法1：利用实域位移定理利用实域位移定理。令 7:18:06 54 1 1 ( )1( )f tt T 21 1 ( )() 1()1()f tf tTtTtT T 例例 1 T t 0 f(t) 图2-10 方波脉冲 T 1 T t 0 f1(t) T 1 T t 0 f2(t) T 1 T t 0 f(t) T 12 ( )( )f tft 则方波脉冲可表达成如下形式 12 11 ( )1( )1()( )f tt T f

41、 tf ttT T 2-4 拉氏变换的性质 求图2-10所示方波脉冲的拉氏变换。 解法解法1：利用实利用实域位移域位移定理定理。 因为 7:18:06 55 则方波脉冲的拉普拉斯变换为 11 11 ( )( )1( )F sL f tLt TTs 2211 1 ( )( )() 1()( ) TsTs F sL f tL f tTtTF s ee Ts 例例 21 1 ( ) 1 ( )( )(1 1 ( ) TsTs L f te Ts F sL f t Ts L f te Ts 2-4 拉氏变换的性质 求图2-10所示方波脉冲的拉氏变换。 解法解法2：直接按定义求解：直接按定义求解 7:1

42、8:06 56 1 0 ( ) 00 tT f tT ttT ， 例例 00 0 1 ( )( )( )dd 1 T stst T st F sL f tf t etet T e Ts 1 T t 0 f(t) 图2-10 方波脉冲 T 0 1 Ts ee Ts 1 1 Ts e Ts 2-4 拉氏变换的性质 求图2-10所示三角波的拉氏变换。 解法解法1：利用实数域位移定理。 解法解法2：直接按定义分段积分（先求出两段直线的解析 式）。 解法解法3：利用拉氏变换的积分定理。 7:18:06 57 2 T 2 T t 0 f(t) T 图2-10 三角波 例例 2-4 拉氏变换的性质 求图2-

43、10所示三角波的拉氏变换。 解法解法1：利用实数域位移定理。令 7:18:06 58 1 2 4 ( )(0)f ttt T 21 2 ( )( )f tf t T 例例 2 T 2 T t 0 f(t) T 13 ( )( )f tf t 2 T 2 T t 0 f(t) T f1(t) f2(t) 32 ( )() 1() 22 TT f tf tt 2 T 2 T t 0 f(t) T f3(t) 则三角波的上升段可表示为 13 ( )( )f tf t 2-4 拉氏变换的性质 解法解法1：再：再令 7:18:06 59 41 2 4 ( )( )(0)f ttf tt T 65 ( )

44、() 1() 22 TT f tf tt 2 T 2 T t 0 f(t) T f7(t) 54 2 ( )( )f tf t T 74 ( )() 1()f tf tTtT 2 T 2 T t 0 f(t) T 67 ( )( )f tft 2 T 2 T t 0 f(t) T f4(t)f5(t)f6(t) 则三角波的下降段可表示为 67 ( )( )f tf t 2-4 拉氏变换的性质 求图2-10所示三角波的拉氏变换。 解法解法1：则三角波可表达成如下形式 7:18:06 60 例例 1367 1254 1144 111 ( )( )( )( )( ) ( )() 1()() 1()(

45、) 1() 2222 22 ( )() 1()() 1()() 1() 2222 22 ( )() 1()() 1() 2222 f tf tf tf tft TTTT f tfttf ttftTtT TTTT f tf ttfttftTtT TT TTTT f tf ttf tt TT 1 111 () 1() ( )2() 1()() 1() 22 f tTtT TT f tf ttf tTtT 22 111 22 1 ( ) ( )( )2( )( )(12) TT ss TsTs F sL f tF sF s eF s eee T s 11 222 44 ( )( )F sL f tL

46、t TT s 2-4 拉氏变换的性质 【注】教材P15例2-4公式中的 和 表示的是函数 延时T/2和T后的函数。不能理解成 7:18:07 61 2 4 () 2 T t T 2 4 t T 2 4 ()tT T 教材中的表达容易让人产生误解。 2222 2222222 4444 ( )()()() 22 4444444 22 0 TT f tttttT TTTT TT ttttT TTTTTTT 2-4 拉氏变换的性质 求图2-10所示三角波的拉氏变换。 解法解法1：直接按定义分段积分（先求出两段直线解 析式）。 7:18:07 62 例例 0 2 2 2 0 2 ( ) ( )( )d

47、444 dd st T T stst T F sL f tf t et tetett TTT 2 2 4 (0) 2 ( )44 () 2 0(0) T tt T f tT ttT TT t 2 T 2 T t 0 f(t) T 图2-10 三角波 2-4 拉氏变换的性质 求图2-10所示三角波的拉氏变换。 解法解法2：直接按定义分段积分（先求出两段直线解析式）。 7:18:07 63 例例 2 22 0 2 2 22 0 22 2 2 2222 0 20 22 2 2 2 2222 0 444 ( )dd 444 ddd 44444 dd 444 2 2 T T stst T T TT st

48、stst TT T TT T T ststststst T TT T T T s s st Ts F stetett TTT t et eet TT sT s teetteete T sT sT sT sTs T T ee Tee T sT sT s 2 22 2 222 222222 44 444 1(12) T T s Tsst T TTT sss TsTs eee TsT s eeeee T sT sT s 2-4 拉氏变换的性质 求图2-10所示三角波的拉氏变换。 解法解法3：利用拉氏变换的积分定理。 令g(t)=f (t)，则 7:18:07 64 例例 2 T 2 T t 0 f(

49、t) T 图2-10 三角波 22 2 44 ( )1( ) 1()1() 1() 22 4 1( )2 1() 1() 2 TT g tttttT TT T tttT T 2 T 2 4 T t 0 g(t) T 2 4 T 2-4 拉氏变换的性质 求图2-10所示三角波的拉氏变换。 解法解法3：利用拉氏变换的积分定理。 g(t)的拉氏变换为 7:18:07 65 例例 2 2 2 22 4 ( ) ( )1( )2 1()1() 2 44 121 (1 2) T T s s Ts Ts T G sL g tLtLtLtT T ee ee TT s sss 根据拉氏变换的积分定理得 2 22

50、 ( )4 ( )(1 2) T s Ts G s F see sT s 因为 0 ( )( )d t f tg tt 2-4 拉氏变换的性质 3. 周期函数的拉氏变换 设函数f(t)是以T为周期的周期函数，即 7:18:07 66 00 ( ) ()012 t f t f tnTtn ， ， 0 1 ( )( )d 1 T st Ts L f tf t et e 则 2-4 拉氏变换的性质 3. 周期函数的拉氏变换 证明：证明： 令tt1nT，则dtdt1，tnT时，t10，t(n+1)T时， t1T，所以 7:18:07 67 0 2(1) 0 (1) 0 ( )( )d ( )d( )d

51、( )d ( )d st TTT ststst T i T nT i st nT n L f tf t et f t etf t etf t et f t et 11 () 1111 00 00 00 0 ( )()d( )d 1 ( )d( )d 1 TT s tnTstnTs nn TT ststnTs Ts n L f tf tnT etef t et f t etf t ete e 无穷递减 等比级数 2-4 拉氏变换的性质 求如图所示周期方波信号的拉氏变换。 7:18:07 68 2 2 00 02 2 02 2222 11 ( )dd( 1)d 1111 ()()(12)(1) T

52、 T T TT ststststst T T TTTT ssss TsTs x t etetetee ss eeeeeee ssss 所以 2 244 0 44 ( )d 1 (1)11 ( )th 114 TTT T sssst TTTsTs ss x t et eeeTs X s esess ee 例例 0t x(t) 1 -1 2 TT 周期方波信号 10/ 2 ( ) 1/ 2 tT x t TtT 【解】在一个周期内 双曲正切双曲正切 2-4 拉氏变换的性质 4. 复数域位移定理 若Lf(t) =F(s)，则有 Leatf(t)=F(s a) a为复常数（含实常数）。 7:18:08

53、 69 证明： 0 () 0 ( )( )d ( )d() atatst s a t L ef tef t et f t etF sa 0 () 0 ( )( )d ( )d() atatst s a t L e f te f t et f t etF sa 2-4 拉氏变换的性质 4. 复数域位移定理 例：求e-atcost的拉氏变换。 解： 7:18:08 70 22 cos s Lt s 22 cos () at sa L et sa ssa 2-4 拉氏变换的性质 4. 复数域位移定理 例：求e-5tcos6t和e7tsin8t的拉氏变换。 解： 7:18:08 71 222 cos6

54、 636 ss Lt ss 5 2 5 cos6 (5)36 t s L et s 222 88 sin8 864 Lt ss 7 2 8 sin6 (7)64 t L et s 5ss复数域位移定理 7ss复数域位移定理 2-4 拉氏变换的性质 4. 复数域位移定理 例：求e-5(t-2)(t-2)1(t-2) 的拉氏变换。 解法解法1：先利用拉氏变换的实数域位移定理，然后利 用拉氏变换的复数域位移定理。 7:18:08 72 2 1 L t s 2 2 1 (2) 1(2) s Ltte s 5(2)105 (2) 1(2)(2) 1(2) tt L ette L ett 2 5(2)10

55、2(5) 22 1 (2) 1(2) (5)(5) s ts e L ettee ss 实数域位移定理 5ss复数域位移定理 2-4 拉氏变换的性质 4. 复数域位移定理 例：求e-5(t-2)(t-2)1(t-2) 的拉氏变换。 解法解法2：先利用拉氏变换的复数域位移定理，然后利 用拉氏变换的实数域位移定理。 7:18:08 73 2 1 L t s 5 2 1 (5) t L et s 2 5(2) 2 (2) 1(2) (5) s t e L ett s 复数域位移定理 5ss 实数域位移定理 直接按拉氏变换定义积分可以验证上述结果。 2-4 拉氏变换的性质 5.相似定理(时间尺度变换定

56、理) 7:18:08 74 1 () s L f atF aa （a0，为实常数） 00 0 ()()d( )d 11 ( )d s sta s a L f atf at etfe a s feF aaa 证明：令at=，则 若Lf(t) =F(s)，则 2-4 拉氏变换的性质 5.相似定理(时间尺度变换定理) 7:18:08 75 例如： 1( ) t f te 1 5 21 ( )( ) 5 t t f tfe 11 1 ( )( ) 1 t F sL f tL e s 221 5 ( )( )5(5 ) 51 F sL f tFs s 直接按拉氏变换定义求F2(s)，可以验证上述结果 /

57、5 22 15 ( )( ) 1/ 551 t F sL f tL e ss 2-4 拉氏变换的性质 6.实域微分定理 若Lf(t) =F(s)，则有 7:18:08 76 2 ( )12 (2)(1) ( )( )(0)(0) ( )( )(0)(0) (0)(0) nnnn nn L fts F ssff L fts F ssfsf sff 其中f(0)、f (0)、f (n1)(0)为f(t)及其各阶导数在 t=0时刻的值。 时域微分运算变成s域的乘法运算。 ( )( )(0)L f tsF sf 可递推出： 2-4 拉氏变换的性质 6.实域微分定理 证明：利用分部积分法 7:18:09

58、 77 进而可递推出 ( )12 (2)(1) ( )( )(0)(0) (0)(0) nnnn nn L fts F ssfsf sff 00 00 ( )( )dd ( ) ( )( )d stst stst L f tf t etef t f t ef te Re(s)0时0(0)( )( )(0)fsF ssF sf 0 0 ( )(0)( )d stst t f t efesf t e 2-4 拉氏变换的性质 6.实域微分定理 【注】如果f(t)在t0处有断点，f(0) f(0)，则该定理 需修改成 其中f(0)为从正向使t0时的f(t)值，f(0)为从负向使 t0时的f(t)值。高

59、阶微分类似。 【注】教材上给出的是上述第一个公式，不全面。 7:18:09 78 ( )( )(0 )Lf tsF sf ( )( )(0 )Lf tsF sf f(0) f(0+)f(t) t0 2 在在t0处有断点处有断点 f(0) f(0+) f(t) t0 在在t0处无断点处无断点 2-4 拉氏变换的性质 6.实域微分定理 当初始条件均为零时，即 则有 7:18:09 79 (1) (0)(0)(0)(0)0 n ffff 2 ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) nn L f tsF s L fts F s L fts F s 2-4 拉氏变换的性质 7:18:09 80

60、 00 ( ) 0 t r t tt 单位斜坡函数 0 t r(t) 0 ( ) 00 ( )d1 t t t tt d ( ) 1( ) d r t t t 单位脉冲函数 0 t (t) (1) 例例 00 1( ) 10 t t t 1 t 1(t) 0 单位阶跃函数 2 2 d1( )d( ) ( ) dd tr t t tt 2 ( ) ( ) 1 R sL r t s 2 ( )1( ) ( )(0) 11 0 I sLt sR sr s ss ( ) ( )( ) 1(0 )1sLtsI s 在在t0处有断点处有断点 2 2 2 ( ) ( ) ( )(0 )(0 ) 1 0 1(