第三章,复变函数的积分(1)[课堂课资]

1、第三章第三章 复变函数的积分复变函数的积分 1 章节内容 3.1 3.1 复变函数积分的概念复变函数积分的概念 1 1 积分的定义积分的定义 2 2 积分存在条件及计算方法积分存在条件及计算方法 3 3 积分的性质积分的性质 2 章节内容 曲线的方向曲线的方向 设设C为平面上给定的一条光滑（或按段光滑）为平面上给定的一条光滑（或按段光滑） 曲线，如果选定曲线，如果选定C的两个可能方向中的一个作为的两个可能方向中的一个作为 正方向（或正向），那么就把正方向（或正向），那么就把C理解为带有方向理解为带有方向 的曲线，称为的曲线，称为有向曲线有向曲线。 设曲线设曲线C的两个端点为的两个端点为A与与B

2、， 若把从若把从A到到B的方向作为的方向作为C的正向的正向 那么那么B到到A的方向就是的方向就是C的负向，的负向， 记作记作C A B 3 章节内容 简单闭曲线的方向简单闭曲线的方向 简单闭曲线的正方向简单闭曲线的正方向是指当曲线上的点是指当曲线上的点P顺此方向顺此方向 沿该曲线前进时，邻近沿该曲线前进时，邻近P点的曲线内部始终位于点的曲线内部始终位于P 点的左方。与之相反的方向就是曲线的点的左方。与之相反的方向就是曲线的负方向负方向。 4 章节内容 1 , knn zzzB 011 , k Azzz ox y A B 1 n z k z 1 k z 2 z 1 z C 有向曲线，有向曲线，

3、定义定义 C是区域是区域D内以内以A为起点为起点, B为终点的一条光滑的为终点的一条光滑的 ( )f z设设 是定义在区域是定义在区域D内的复变函数内的复变函数. 在在C上依次取分点上依次取分点 把曲线把曲线C分割为分割为n个小段个小段. D 0 z n z 5 章节内容 ox y 0 z Z 1 n z k z 1 k z 2 z 1 z k C 1 2 在每个小弧段在每个小弧段 1 1,2, kk zzkn 上任取上任取 一点一点 (1,2, ), k kn 做和数做和数 1 (), n nkk k Sfz 其中，其中， 1kkk zzz 1,2,.kn 令令 1 max. k k n s

4、 的长度的长度为弧为弧记记 kkk zzs 1 n z 6 章节内容 如果分点的个数无限增多，并且极限如果分点的个数无限增多，并且极限 存在存在, 则称该极限值为函数则称该极限值为函数 沿曲线沿曲线C的积分的积分, ( )f z 00 1 limlim() n nkk k Sfz 并记作并记作 ( )d , C f zz 即即 0 11 ( )dlim()lim(). nn kkkk Cn kk f zzfzfz 如果如果C是闭曲线，经常记作是闭曲线，经常记作 当当C是实轴上的区间是实轴上的区间 ,a b方向从方向从a到到b, 并且并且 ( )f z为实值函数，那么这个积分就是定积分为实值函数

5、，那么这个积分就是定积分. dzzf C )( 7 章节内容 2 积分存在的条件及计算方法 并且并且 区域区域D内连续，则内连续，则 ( )d C f zz 存在，存在， C zzfd)( C yvxudd C yuxvdd i 定定 理理 1 设设C是光滑是光滑(或可求长或可求长)的有向曲线，的有向曲线， ( )( , )( , )f zu x yiv x y 如果如果在包含在包含C的的 8 章节内容 kkk i 111 11 ()() ()() kkkkkkk kkkkkk zzzxiyxiy xxi yyxi y 1 1 (,)(,) (,)(,) n kkkkkk k n kkkkkk

6、 k uxvy ivxuy C zzfd)( C yvxudddd . C v xu y i 设设 ，则，则 , 11 ()()() () nn kkkkkkkk kk fzuivxi y 定义定义 证证 明明 u,v连续连续 取极限取极限 u,v连续连续 取极限取极限 9 章节内容 C zzfd)( C yixivu)dd)( C yvyiuxivxudddd .dddd CC yuxviyvxu 积分公式从积分公式从形式上形式上可以看成可以看成 10 章节内容 定定 理理 2 设光滑曲线设光滑曲线C由参数方程给出：由参数方程给出： :( )( )( ) (),Czz tx tiy tt (

7、 )d C f zz ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) du x ty t x tv x ty ty tt ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) d .iv x ty t x tu x ty ty tt ( )( ) f z tz t dt ( )z 是起点是起点, ()z 是终点，是终点，( )( , )( , )f zu x yiv x y 在包含在包含C的区域的区域D内连续，则内连续，则 11 章节内容 C zzfd)( C yvxudddd . C v xu y i 证明证明 ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) du x ty t x t

8、v x ty ty tt ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) d .v x ty t x tu x ty ty tt i ( ), ( ) ( ), ( )( )( ) du x ty tiv x ty tx tiy tt ( )( ) f z tz t dt 12 章节内容 如果如果C是由是由C1, C2, , Cn年等光滑曲线段依年等光滑曲线段依 次相互连接所组成的按段光滑曲线，那么定义次相互连接所组成的按段光滑曲线，那么定义 12 ( )d( )d( )d( )d n CCCC f zzf zzf zzf zz 如无特别说明，今后我们讨论的积分总是如无特别说明，今后我们讨

9、论的积分总是 假定被积函数是连续的，曲线是按段光滑的。假定被积函数是连续的，曲线是按段光滑的。 13 章节内容 例例1 计算计算 ,其中其中C为从原点到点为从原点到点3+4i的直线段的直线段. Czdz x y o i 43 C 14 章节内容 解解 z x y o r 0 z 积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为 ),20( 0 i rezz C n z zz d )( 1 1 0 2 0 )1(1 d nin i er ire ,d 2 0 in n e r i 例例 2 计算积分计算积分 (n是整数是整数), 其中其中C是圆周是圆周: 0 (0)zzr r 的正向的正向. C n z

10、z dz 1 0 )( 15 章节内容 z x y o r 0 z , 0 时时当当 n C n z zz d )( 1 1 0 2 0 d i;2 i , 0 时时当当 n C n z zz d )( 1 1 0 2 0 (cossin)d0. n i nin r rzz n z zz 0 d )( 1 1 0 所以所以 . 0, 0 , 0,2 n ni 重要结论：积分值与圆周的中心、半径无关重要结论：积分值与圆周的中心、半径无关. . 16 章节内容 (1) 从原点到从原点到 1+i 的直线段；的直线段； (3) 抛物线抛物线 y=x2 上从原点到上从原点到 1+i 的弧段；的弧段； (

11、2) 从原点沿从原点沿x轴到轴到1, 再从再从1到到 1+i 的折线的折线. x y o i 1 1 i y=x 2 xy 例例 3 计算积分计算积分 d , C z z 其中其中C为为 17 章节内容 注意注意1 从例从例 3看到看到, 积分积分 d , C z z d C z z 相同的路径进行时积分值相同的路径进行时积分值 不同不同, 而由例一知，积分值而由例一知，积分值 与路径无关。与路径无关。 是否可以讨论积分与积分路径的关系是否可以讨论积分与积分路径的关系? d C z z 注意注意2 一般不能将函数一般不能将函数f (z)在以在以z1为起点为起点, 以以z2 为终点的曲线为终点的

12、曲线C上的积分记成上的积分记成 因因 为为 2 1 ( )d , z z f zz 积分值可能与积分路径有关积分值可能与积分路径有关, 所以记所以记 ( )d . C f zz 沿着三条不沿着三条不 18 章节内容 (1)( )d( )d ; CC f zzf zz ;d)(d)(d)()()3( CCC zzgzzfzzgzf (k是复常数是复常数); (2) ( )d( )d CC kf zzkf zz (4) 设曲线设曲线C的长度为的长度为L, 函数函数f (z)在在C上满足上满足 ( )d( ) d. CC f zzf zsML ( ),f zM 则则 估值不等式估值不等式 19 章节

13、内容 11 ()() nn kkkk kk fzfz 1 () n kk k fs 1 , n k k MsML 其中其中, k s 是是 k z与与 1k z 两点之间弧段的长度两点之间弧段的长度. 根据积分定义，令根据积分定义，令 0, 即得性质即得性质(4). 事实上事实上, 20 章节内容 例例 4 设设C为从原点到点为从原点到点3+4i的直线段的直线段,试求积分试求积分 dz iz C 1 绝对值的一个上界绝对值的一个上界. 21 章节内容 2 2 柯西柯西- -古萨古萨( (CAUCHY-GOURSAT) ) 基本定理基本定理 22 章节内容 C dzzf0)( 柯西柯西-古萨基本

14、定理古萨基本定理 设设f (z)是单连通区域是单连通区域 B上上 B C 说明说明: 该定理的主要部分是该定理的主要部分是 Cauchy 于于1825 年建立的年建立的, 它是复变函数理论的基础它是复变函数理论的基础. 的解析函数，那么函数的解析函数，那么函数f(z)沿沿B内任何一条封内任何一条封 闭曲线闭曲线C的积分为零：的积分为零： 23章节内容 证明证明 根据根据 ( )ddddd . CCC f zzu xv yiv xu y C yvxudd () d d D vu x y xy 0, C yuxvddd d D uv x y xy 0. 0, uv yx 0. uv xy 由由Gr

15、een公式公式 因为因为f (z)解析解析, 所以所以u(x,y)和和v(x,y)在在B内可微内可微, 且且 其中其中C 取正向取正向. 设设 以及以及 在光滑在光滑 或按段光滑的闭曲线或按段光滑的闭曲线C围成的闭区域围成的闭区域B连续连续,则则 ( , ), ( , )P x yQ x y , , PQ yx () CD QP PdxQdydxdy xy 24章节内容 回顾回顾 其中其中C 取正向取正向. 设设 以及以及 在光滑在光滑 或按段光滑的闭曲线或按段光滑的闭曲线C围成的闭区域围成的闭区域B连续连续,则则 ( , ), ( , )P x yQ x y , , PQ yx () CD

16、QP PdxQdydxdy xy 25 章节内容 注意注意1 1 定理中的定理中的C可以不是可以不是 简单曲线简单曲线. (柯西积分定理柯西积分定理) B C 注意注意3 3 定理中定理中B是单连通区域的假设不可缺少是单连通区域的假设不可缺少. 注意注意2 2 若曲线若曲线C是是 区域区域 B 的边界的边界, 函函 函数函数 f (z)在在B内解析内解析, 在闭区域在闭区域 上连上连 BBC 参见例参见例2 续续, 则则 C dzzf0)( 0 n+1 0z-z =r 1 dz (z-z ) . 0, 0 , 0,2 n ni 26 章节内容 dz z z 1 32 1 解解 因为函数因为函数

17、 1 1 d0. 23 z z z 补补 例例 计算积分计算积分 1 ( ) 23 f z z 在在 上解析上解析, 所以根据所以根据Cauchy-Goursat 基本定理基本定理, 有有 2 3 z x y o 3 2 27 章节内容 3 3 基本定理的推广基本定理的推广复合闭路定理复合闭路定理 28 章节内容 闭路变形原理闭路变形原理 解析函数沿闭曲线的积分解析函数沿闭曲线的积分,不因闭曲线在其不因闭曲线在其 解析区域内作连续变形而改变它的值解析区域内作连续变形而改变它的值. 29 章节内容 在函数在函数f (z)的解析区域的解析区域D内考虑两条简单闭曲线内考虑两条简单闭曲线 C、C，其中

18、其中C包含在包含在C的内部，的内部，D1为两条曲为两条曲 线所围的区域线所围的区域,并且两条曲线都取正向并且两条曲线都取正向 DC C 1 D C 30 章节内容 DC 1 C 1 D A A B B C E E F F AAEBAEB dzzf0)( BFABFAA dzzf0)( = ( )d( )d( )d( )d EBBEA A f zzf zzf zzf zz ( )d( )d( )d( )d FAAFB B f zzf zzf zzf zz = 0 31 章节内容 ( )d( )d( )d( )d EBBEA A f zzf zzf zzf zz ( )d( )d( )d( )d

19、FAAFB B f zzf zzf zzf zz 0 C dzzf)( 0 0 0 ( ) C f z dz D C 1 C 1 D A A B B C E E F F 32 章节内容 C dzzf)( 0 0 0 dzzf C )( D C 1 C 1 D A A B B C E E F F C dzzf)(dzzf C )( 33 章节内容 闭路变形原理解决的问题闭路变形原理解决的问题 34 章节内容 D C 1 C 3 C 2 C 定定 理理 (复合闭路定理复合闭路定理) n k CC k dzzfdzzfi 1 )()() 设设C为多连通域为多连通域D内的一条简单闭曲线，内的一条简单闭

20、曲线， 是在是在C内部的简单闭曲线，它们互不包含也内部的简单闭曲线，它们互不包含也 互不相交，并且以互不相交，并且以 为边界的区域为边界的区域 全含于全含于D，如果，如果f(z)在在D内解析，那么内解析，那么 n C, 12 , n C C CC , 21 CC 0)()dzzfii 这里这里C及及Ck均取正向，均取正向，为由为由 C及及Ck（k=1,2, ,n）所组成）所组成 的复合闭路（其方向是：的复合闭路（其方向是：C按按 逆时针进行，其余按顺时针进行）。逆时针进行，其余按顺时针进行）。 ( ) ( )( )( ) 1n CCC f z dz f z dzf z dzf z dz 0 1

21、 z 2 z 3 z 35 章节内容 复合闭路定理的证明复合闭路定理的证明 C 1 C 2 C 3 C 36 章节内容 dz zz z 2 12 解解 显然函数显然函数 x y o 1 例例 计算积分计算积分其中其中 为包含圆周为包含圆周 在内的任意分段光滑正向简单闭在内的任意分段光滑正向简单闭曲线曲线.1z 2 21 ( ) z f z zz 在复平面有两个奇点在复平面有两个奇点0和和1, 并且并且 包含了这两个奇点包含了这两个奇点. 37章节内容 z zz z d 12 2 21 d 12 d 12 22 CC z zz z z zz z 在在G内作两个互不包含也互不相交的正向内作两个互不

22、包含也互不相交的正向 圆周圆周C1和和C2, 使得使得C1只包含奇点只包含奇点0, C2 只包含只包含 奇点奇点1.根据根据 , x y o 1 G 1 C 2 C 38 章节内容 z zz z d 12 2 21 d 12 d 12 22 CC z zz z z zz z 2211 d 1 d 1 1 d 1 d 1 1 CCCC z z z z z z z z 0220 ii.4 i d () 0 n 1 0z zr 1 z zz . 0, 0 , 0,2 n ni 39 章节内容 x y o12 1 C 2 C 解解 显然显然C1和和C2围成一围成一 12 ddd0. zzz CC ee

23、e zzz zzz 补补 例例 计算积分计算积分 其中其中 由正向圆周由正向圆周 2z 和负向圆周和负向圆周1z 组成组成. 个圆环域个圆环域. 函数函数 ( ) z e f z z 在此圆环域及其边界上解析在此圆环域及其边界上解析, 并且并且圆环域的边界圆环域的边界 构成复合闭路构成复合闭路, 所以根据所以根据 , dz z e z 40 章节内容 补补 例例 求积分求积分其中其中 为含为含z0的的 1 0 1 d , n z zz 解解 因为因为z0在闭曲线在闭曲线 的内部的内部, 0 z 1 任意分段光滑的任意分段光滑的Jordan曲线曲线, n为整数为整数. . 故可取充分小的正数故可

24、取充分小的正数r , , 使得圆周使得圆周 10 : zzr 含在含在 的内部的内部. 可得可得 再利用再利用 根据根据 , 41 章节内容 1 0 2,01 d ()0,0. n in z zzn 故故 这一结果很重要这一结果很重要. 1 11 00 11 dd ()() nn zz zzzz 2, 0; 0, 0. in n 与与 进行比较进行比较. 0 z 1 42 章节内容 4 原函数与不定积分 43 章节内容 1 原函数的概念 注注 设设F(z)和和G(z)都是都是f (z)在区域在区域D上的原上的原 函数函数, 则则 (常数常数). ( )( )F zG zC 定定 义义 设设f

25、(z)是定义在区域是定义在区域B上的复变函数上的复变函数, 若存在若存在B上的解析函数上的解析函数 使得使得 在在( )( )F zf z F(z) B内成立，则称内成立，则称 是是f (z)在区域在区域B上的上的原函数原函数. F(z) 44 章节内容 ( )( )( )( )F zG zF zG z ( )( )0.f zf z 那么它就有无穷多个原函数那么它就有无穷多个原函数, 一般表达式为一般表达式为 根据以上讨论可知根据以上讨论可知: 证明证明 设设F(z)和和G(z)都是都是f (z)在区域在区域 D上的上的 根据第根据第44页例页例3 可知可知, 为常数为常数.( )( )F z

26、G z 原函数原函数, 于是于是 如果如果F(z) 是是f (z)在区域在区域 D上的一个原函数，上的一个原函数， ( )F zC (其中其中C是任意复常数是任意复常数). 45 章节内容 定定 理理 一一 设设f (z)是单连通区域是单连通区域B上的解析函数上的解析函数, z0是是B内的一个点内的一个点, C是是B内以内以z0为起点为起点, z为终点的为终点的 分段光滑曲线分段光滑曲线, 则积分则积分 ( )d C f 只依赖于只依赖于z0与与z, 而与路径而与路径 C 无关无关. 46 章节内容 B 0 z z 1 C 2 C 设设C1与与C2都是以都是以B内以内以z0为起点为起点, z

27、为终点的为终点的 分段光滑曲线分段光滑曲线, 又不妨设又不妨设C1与与C2都是简单曲线都是简单曲线. 如果如果 C1与与C2除起点和除起点和 终点之外终点之外, 再没有其他重点再没有其他重点, 则则 是是Jordan曲线曲线, 12 CC 根据根据Cauchy定理有定理有 12 ( )d0, CC f 12 ( )d( )d . CC ff 47 章节内容 D 0 z z 1 C 2 C 如果如果C1与与C2除起点和除起点和 终点之外终点之外, 还有其他重点还有其他重点, 在在D内再做一条以内再做一条以z0为起点为起点, z 为终点为终点, 除起点和终点之外除起点和终点之外, 与与C1与与C2

28、没有其他没有其他 重点的分段光滑曲线重点的分段光滑曲线, C C 则由已证明的情形则由已证明的情形, 12 ( )d( )d( )d . CCC fff 48 章节内容 0 12 ( )d( )d( )d . z z CC fff B 0 z z 1 C 2 C B 0 z z 1 C 2 C 如果如果 f (z)在单连通区域在单连通区域B内解析内解析, 则则f (z)在以在以 z0为起点为起点, z为终点的为终点的B内的分段光滑曲线内的分段光滑曲线C上积分上积分, 积分值与积分路径无关，即积分值与积分路径无关，即可记为可记为 0 ( )( )d . z z F zf 于是确定了于是确定了B内

29、的一个单值函数内的一个单值函数 49 章节内容 0 z z 1 C 2 C 3 C B 231 )()()( CCC dzzfdzzfdzzf z z df 0 )( 0 ( )( ) z z F zfd 50 章节内容 定理二定理二 设设f (z)是单连通区域是单连通区域B上的解析函数上的解析函数, z0和和z是是B内的点内的点, 则则 0 ( )( )d z z F zf 是是 f (z)在在B上的原函数上的原函数. 即即 )()(zfzF 51 章节内容 证明证明 因为因为z是是B内的任意一点内的任意一点,以以z为中心作一个为中心作一个 含于含于B内的内的圆域圆域K，其边界记为，其边界记

30、为. B z zz z zz 取取 充分小使充分小使 在在K内内 于是于是 z z zz z dfdf zFzzF 00 )()( )()( 0 z 52 章节内容 ()( )1 ( )( )( ) d . zz z F zzF z f zff z zz 因为函数因为函数f (z)在在B内连续内连续, 所以所以 e e 0, 存在存在 0 0, 使得当使得当| z| 时时, 有有 ( )( ).ff zee 从而当从而当| z|0充分小时充分小时, 根据闭路根据闭路 变形原理知变形原理知, 如果如果C是含是含z0在其内部区域的简单闭曲线在其内部区域的简单闭曲线 C dz zz zf dz zz

31、 zf zzC r r 0 00 )()( 59 章节内容 C z zz zf d )( 0 0 ).(2d 1 )( 0 0 0 zifz zz zf C 因为因为f (z) 在在 z0 连续连续, , 故故 上上函数函数 f (z) 0 zzr r 的值将随着的值将随着r r 的减小而接近的减小而接近 0 ().f z 因此因此, 随着随着r r 的减小的减小, 应该有应该有 而而 接近于接近于dz zz zf C 0 )( C dz zz zf 0 0 )( 60 章节内容 CAUCHY积分公式 Cauchy积分公式积分公式 C z zz zf i zf.d )( 2 1 )( 0 0

32、D 0 z C 定定 理理 设设f (z)是单连通区域是单连通区域D上的解析函数上的解析函数, z0 是是D内的一个点内的一个点, C是是D内任意一条含内任意一条含 z0 在内部在内部 区域的正向简单闭曲线区域的正向简单闭曲线, 则则 61 章节内容 ( ) 0K f z dz zz D 0 z C 取取R0充分小充分小, 使得使得R0, 使得使得|f (z)| M . 又因为又因为z0 是是C 内部区域内的点内部区域内的点, 所以存在所以存在R 0, 使使 0 z zzR 在在C的的内部区域内部区域. D C 0 z R 因此当因此当z在在C上时上时, 0 .zzR , 2 R z取取则则

33、3 , ML Iz R 所以所以其中其中L是曲线是曲线C的弧长的弧长. 73 章节内容 z zfzzf zf z )()( lim)( 00 0 0 2 0 1( ) d . 2() C f z z izz 利用类似的方法可求得利用类似的方法可求得 因此因此, 当当 时时,0z 0.I 从而从而 00 03 0 0 ()()2!( ) ()limd , 2() Cz fzzfzf z fzz zizz 证明了一个解析函数的导数仍然是解析函数证明了一个解析函数的导数仍然是解析函数. .d )( )( 2 ! )( 1 0 0 )( C n n z zz zf i n zf 再利用数学归纳法，便有

34、再利用数学归纳法，便有 74 章节内容 高阶导数公式的作用高阶导数公式的作用: 不在于通过积分来求导不在于通过积分来求导, , 而在于通过求导来求积分而在于通过求导来求积分. . 例例1 求下列积分的值，其中求下列积分的值，其中C为正向圆周：为正向圆周：1 rz dz z z C 5 )1( cos )1 C z dz z e 22 )1( )2 75 章节内容 例例2：设函数设函数f (z)在单连通区域在单连通区域B内连续，且对于内连续，且对于 B内任何一条简单闭曲线内任何一条简单闭曲线C都有都有 ， 证明证明:f (z)在在B内解析。内解析。 C dzzf0)( Morera（莫累拉）定理

35、（莫累拉）定理 76 章节内容 证明：证明：在在B内取定一点内取定一点z0, z为为B内任意一点。因为内任意一点。因为 对于对于B内任何一条简单闭曲线内任何一条简单闭曲线C都有都有 所以积分所以积分 的值与连接的值与连接z0与与z的路线无关。的路线无关。 C dzzf0)( df z z 0 )( 0 z z B 于是它定义了一个单值函数于是它定义了一个单值函数 z z dfzF 0 )()( 与与81页定理二的证明方法类似可以证明页定理二的证明方法类似可以证明 )()(zfzF F(z)的导数存在，即其的导数存在，即其 是一个解析函数，再由是一个解析函数，再由 高阶导数定理知其导数高阶导数定

36、理知其导数 也解析，即也解析，即f(z)解析。解析。 77 章节内容 7 7 解析函数解析函数与调和函数的关系与调和函数的关系 78 章节内容 调和函数的概念 如果二元函数如果二元函数j j (x,y)在区域在区域D内存在二阶连续内存在二阶连续 偏导数偏导数, 且满足二阶偏微分方程且满足二阶偏微分方程 (Laplace 方程方程) 22 22 0, xy jjjj 则称则称j j (x,y)是区域是区域D内的内的调和函数调和函数. 工程中的许多问题工程中的许多问题, 如平面上的稳定温度场、如平面上的稳定温度场、 静电场和稳定流场等都满足静电场和稳定流场等都满足Laplace方程方程. 79 章

37、节内容 解析函数与调和函数的关系 定定 理理设设 ( )( , )( , )f zu x yiv x y 是区域是区域 D内的解析函数，则内的解析函数，则u(x,y)和和v(x,y)都是区域都是区域D内的内的 调和函数调和函数. 注：注：区域区域 D 内解析函数的虚部为实部的共轭调和函数。内解析函数的虚部为实部的共轭调和函数。 定义：定义：如果如果u(x,y)和和v(x,y)都是区域都是区域D内的内的调和函数调和函数, 且且u(x,y)+iv(x,y)是是D内内的解析函数的解析函数, 则称则称v(x,y)是是u(x,y) 的的共轭调和函数共轭调和函数. 80 章节内容 . , x v y u

38、y v x u 由于解析函数的导数仍是解析函数由于解析函数的导数仍是解析函数, 因此因此u(x,y)和和 证明证明 因为因为f (z)在在D内解析内解析, 所以满足所以满足Cauchy- Riemann条件条件 v(x,y)存在各阶连续偏导数存在各阶连续偏导数. 将将 , uvuv xyyx 分别对分别对x和和y求导，则求导，则 81 章节内容 2 2 , uv xxy 2 2 . uv yyx 当混合偏导数连续时，求导次序可以交换当混合偏导数连续时，求导次序可以交换. 因此，因此， 22 22 0, uu xy 即即u(x,y)是调和函数是调和函数. 同理可证同理可证v(x,y)也是调和函数

39、也是调和函数. 82 章节内容 如果任给区域如果任给区域 D内两个内两个调和函数调和函数u(x,y)和和v(x,y), 那么那么u(x,y)+iv(x,y)在在D内内是否为解析函数是否为解析函数? 考虑考虑 和和 22 ( )2f zxyxyi 22 ( )2.f zxyxyi 不一定不一定 83 章节内容 若若v是是u的调和函数，的调和函数，u是否也是是否也是v的调和函数呢？的调和函数呢？ 84 章节内容 现在提出如下问题：现在提出如下问题： 或者已知调和函数或者已知调和函数 v(x,y) 时，是否存在调和函时，是否存在调和函 数数 u(x,y) ，使得，使得 f (z)=uiv 是是D内的

40、解析函数内的解析函数? 已知已知 u(x,y)是区域是区域D内的调和函数，是否存在内的调和函数，是否存在 u(x,y)的共的共轭轭调和函数调和函数 v(x,y)，使得函数，使得函数 f (z)=uiv 是是D上的解析函数上的解析函数? 回答是回答是肯定肯定的，以下用举例的方法加以说明的，以下用举例的方法加以说明. 85 章节内容 解解 因为在全平面内因为在全平面内 6, u xy x ,6 2 2 y x u ,33 22 xy y u ,6 2 2 y y u 例例 1证明证明 32 ( , )3u x yyx y是全平面内是全平面内 的调和函数，并求其共轭调和函数的调和函数，并求其共轭调和

41、函数v(x,y)和由它们和由它们 构成的解析函数解析函数构成的解析函数解析函数. 故故 为为调和函数调和函数. 22 22 0, uu xy ( , ) u x y于是于是 86 章节内容 6, vu xy yx 由由则则 2 6d3( ),vxy yxyg x 2 3( ). v yg x x 又因为又因为 22 33, vu yx xy 所以所以 222 3( )33,yg xyx 23 ( )3dg xxxxC (其中其中C为任意实常数为任意实常数). 求求u的共轭调和函数的共轭调和函数v. 32 3.xxyC 87 章节内容 于是得解析函数于是得解析函数 3232 3(3).wyx y

42、i xxyC 令令 , , 22 zzzz xy i 那么那么函数可以化为函数可以化为 3 ( )(),wf zi zC 其中其中C为任意实常数为任意实常数. 偏偏积积分法分法 88 章节内容 求以求以u为实部的解析函数的为实部的解析函数的另一方法另一方法. 不定不定积积分法分法 因为解析函数的导数仍为解析函数，故因为解析函数的导数仍为解析函数，故 xyyxxx ivviuuivuzf )( 仍为解析函数。仍为解析函数。 cdziuucdzzfzf yx )()( ( )( ) yx f zfz dzcvivdzc 已知已知u 已知已知v 89 章节内容 例例2已知调和函数已知调和函数 ( ,

43、 )( cossin ) x v x yeyyxyxy 是解析函数是解析函数f (z)的虚部的虚部, 且且f (0)=0, 求求f (z)的表达式的表达式. 解：解：因为因为 ( ) vv fzi yx (cossincos )1 x eyyyxy ( cossinsin )1 , x i eyyxyy 90 章节内容 ( )(1), zz fzezei 由由 (0)0,f 可知可知 0.C 因此因此 ( )() . z f zze1i z 整理得：整理得： ( )(1), z f zzei zC 积分得积分得 91 章节内容 , 1)cossin(cos yxyyye y v x 解因为解因

44、为 , uv xy 以及以及 所以所以 (cossincos )1 d x ueyyyxyx ( cossin )( ). x exyyyxg y 偏积分法偏积分法 92 章节内容 又因为又因为, vu xy 以及以及 , 1)sinsincos( yyxyye x v x 所以所以 1)sinsincos( yyxyye x ( sincossin )( ). x exyyyyg y ( cossin ). x uexyyyxyC , 1)( y g故故从而从而( )g yyC (C是实常数是实常数), 93 章节内容 (1). z zei zC ivuzf )( (1)(1) xiyxiy

45、 xe eiye exiiyiC ( cossin ) x exyyyxyC ( cossin ) x i eyyxyxy 由由(0)0,f 得得 0.C 因此因此 ( )() . z f zze1i z 94 章节内容 2. Cauchy-Goursat 积分定理积分定理 3. 复合闭路定理复合闭路定理 4. Cauchy积分公式与高阶导数公式积分公式与高阶导数公式 本章的重点本章的重点 1. 复变函数积分的计算复变函数积分的计算 5. 由已知调和函数求解析函数由已知调和函数求解析函数 95 章节内容 George Green (1793.7.14-1841.5.31) 自学而成的英国数学家、物理学家自学而成的英国数学家、物理学家. 出色地将出色地将 数学方法应用到电磁理论和其他数学物理问题数学方法应用到电磁理论和其他数学物理问题. 1928年出版了年出版了出版了小册子出版了小册