基本不等式的应用

1、基本不等式的应用 学习目标： 1. 会用基本不等式解决简单的最大（小）值的实际问题； 2. 通过对实际问题的研究，进一步体会数学建模的思想。 重点与难点： 从实际问题抽象出数学模型 . 教学过程： 一、复习 1. 如果 log3m+log 3n=4, 那么 m+n 的最小值是 12 2. 已知正数 x , y 满足 x+2y=1 , 则 的最小值为 xy xy 3. 已知 x0 , y0 , 且 1, 则 lgx+lgy 的最大值为 25 二、精典范例 例 1用长为 4a 的铁丝围成一个矩形 , 怎样才能使所围矩形的面积最大 （ 用基本不等式求解 ） 例 2某工厂建造一个无盖的长方体贮水池 ,

2、 其容积为 4800m3, 深度为 3m , 如果池底每 1m2 的 造价为 150元, 池壁每 1m2 的造价为 120元, 怎样设计水池能使总造价最低 ? 最低总造价为多少 元? 例 3.点（1 , 2）的直线 l与 x轴的正半轴、 y轴的正半轴分别交于 A、B两点, 当AOB 的面积最 小时 , 求直线 l 的方程 例 4某商场预计全年分批购入每台价值为2000 元的电视机共 3600 台 , 每批都购入 x 台 （x 为正 整数 ）, 且每批需付运费 400 元 , 储存购入的电视机全年所付保管费用与每批购入电视机的总价 值（不含运费 ）成正比 , 若每批购入 400 台 , 则全年需

3、用去运费和保管费 43600 元, 现在全年只有 24000 元资金可用于支付这笔费用 , 能否恰好当地安排每批进货的数量 , 使资金够用 , 写出你的 结论 , 并说明理由 . 例 5.图（见书 P90）一份印刷品的排版面积 （矩形）为A , 它的两边都留有宽为 a的空白 , 顶部和底部 都留有宽为 b的空白, 如何选择纸张的尺寸 , 才能使纸的用量最小 ? 练习： 1.幅壁画画面与地面垂直 , 且最高点离地面 14米, 最低点离地面 2米, 若从离地面 1.5 米处观赏 此画 , 问离墙多远时 , 视角最大 ? 2. 过第一象限内点 P（a , b）的直线 l 与 x 轴的正半轴、 y 轴

4、的正半轴分别交于 A、 B 两点 , 当 |PA| | PB |取最小值时 , 求直线 l 的方程. 3. 汽车行驶中 , 由于惯性作用 , 刹车后还要向前滑行一段距离才能停住 , 我们把这段距离叫做 “刹车距离” , 在某公路上 , “刹车距离” S （米）与汽车车速 v （米 /秒）之间有经验公式 325 S=v2 + v, 为保证安全行驶 , 要求在这条公路上行驶着的两车之间保持的“安全距离”为 40 8 “刹车距离”再加 25米, 现假设行驶在这条公路上的汽车在平均车身长 5米, 每辆车均以相同 的速度 v 行驶 , 并且每两辆之间的间隔均是“安全距离” . （1）试写出经过观测点 A

5、 的每辆车之间的时间间隔 T 与速度 v 函数关系式 ; （2）问 v 为多少时 , 经过观测点 A 的车流量 （即单位时间通过的汽车数量 ）最大 ? 4. 种汽车购车时费用为 10 万元, 每年的保险、养路、汽油费用共9 千元 , 汽车的年维修费逐年 以等差数列递增 , 第 1 年为 2 千元 , 第 2 年为 4 千元 , 第 3 年为 6 千元 , 则这种汽车使用 几年后报废最合算 ? （即汽车的年平均费用最低 ） 5. 资生产某种产品 , 并用广告方式促销 , 已知生产这种产品的年固定投资为10万元 , 每生产 1万 件产品还需投入 18 万元 , 又知年销量 W（ 万件 ） 与广告费 x（ 万元 ） 之间的函数关系为 kx 1 W= （x0）, 且知投入广告费 1万元时 , 可多销售 2 万件产品 . 预计此种产品年销售收入 x1 M（万元）等于年成本 （万元）（年成本中不含广告费用 ）的 150%与年广告费用 50%的和. （1）试将年利润 y（万元 ）表示为