09平面直角坐标系(数学试题竞赛模拟)

1、平面直角坐标系根据点的坐标特征和几何图形求点的坐标，既是考试的热点， 也是本节的重点难点，由于点的坐标是学习平面直角坐标的基础，是研究函数图像的起点， 是函数性质研究的基础，为此考试中经常出现核心知识一、平面直角坐标系及相关概念1平面直角坐标系：为了用一对实数表示平面内的点，在平面内画两条互相垂直的数轴组成平面直角坐标系；2x 轴（横轴）：平面直角坐标系中水平的数轴，取向右为正方向；3y 轴（纵轴）：平面直角坐标系中铅直的数轴，取向上为正方向；4横坐标、纵坐标、坐标：平面直角系内的点向 x 轴作垂线，垂足在 x 轴上的坐标叫这个点的横坐标， 向 y 轴作垂线，垂足在 y 轴上的坐标叫这个点的纵

2、坐标，合起来称为这个点的坐标二、点的坐标特征1x 轴上的点 M （ a， b）的特征： b02y 轴上的点 M （ a， b）的特征： a03象限内点 M（ a，b）的特征： M 在第一象限 a0，b0；M 在第二象限 a0，b0； M 在第三象限 a 0， b 0； M 在第四象限a0，b0三、对称点的坐标特征1若 M（a，b）和 N（ a ，b ）关于 x 轴对称： aa ， b b 0；2若 M（a，b）和 N（ a ，b ）关于 y 轴对称： aa 0， b b ；3若 M（a，b）和 N（ a ，b ）关于原点对称： aa 0， b b 0四、点与点、点与线之间的距离1点 M（x0，

3、y0）到原点的距离： rx02y02 ；2点 M（x0，y0）到 x 轴的距离： r| y0| ；3点 M（x0，y0）到 y 轴的距离： r| x0| ；224点 M（x1，y1）与 M2（x2，y2）之间的距离： r （x1 x2） （y2y1） 典型例题：例 1点 P（a，b）位于 y 轴左方， x 轴下方，且a2 3，| b 1| 4，写出 P 点坐标分析：确定一个点的坐标，先要确定横、纵坐标的符号，再根据该点与x 轴和 y 轴的距离从而确定其坐标本例先确定a、b 的符号，再求a、 b 的值解：由a2 3，得 a 3由| b1| 4，得 b5 或 3p（a，b）在 y 轴左方， x 轴

4、下方p（a，b）是第三象限的点， a 0， b 0，a 3， b 3，故 p（ 3， 3）例 2 如果 A（ a， b）在第四象限内，求 A 点关于 x 轴， y 轴，原点对称的点坐标，且 A 点到原点的距离解：设 Ax（ x1，y1）设 Ay（x2， y2 ），A0（x0，y0）与 A 点关于 x 轴， y 轴和原点对称则：x1 ax2（ a）x0（ a） ay1（ b） by2 by0（ b） bAx（ a，b）， Ay（a， b）， A0 （a，b）由 A 到 x 轴， y 轴的距离分别为 | b| ， |1 a| 连接 AO，则 AO | a| 2 | b| 2 a2b2 （如图 13

5、-1 ）例 3 求半径为 5，圆心坐标为 P（ 2，0）的圆与两坐标轴的交点坐标（如图 13-2 ）解：圆心 P 的坐标为 P（2，0），P 点在 x 轴上，故圆与 x 轴的两交点的坐标为（ 3， 0），（ 7，0），令圆与 y 轴正方向的交点为 A，边 AP，由勾股定理得：OAAP2OP25222 21，圆与 y 轴两交点坐标为（ 0，21）和（ 0，21）注意：求点的坐标要根据点所在位置的特征，如在x 轴上，纵坐标为零；在纵坐标上，其横坐标为零例 4 已知平行四边形的三个顶点坐标分别为 O（0，0）、 A（ 2，0）、B（1， 3）求第四个顶点 C 的坐标解：如图 13-3 ，作 BDx

6、轴于 D 点则 OB OD2DB2 12( 3) 22，同理 AB 2，若 OA、OB 为两邻边，则 C 在第一象限， OACB 为平行四边形， OABCC 点坐标为 C（3，3）；若 BO、BA 为两邻边，则 C（1，3）；若AO、AB 为两邻边，则C（ 1，3）例 5以点 P（1，2）为圆心的圆满足下列条件时，分别求出其半径r 的以值范围（ 1）与坐标轴有唯一交点；（2）与坐标轴有两上交点；（3）与坐标轴有三个交点；（ 4）与坐标轴有四个交点分析：本例要画出图形，注意数形结合，当与坐标轴只有一个交点时，圆与一个坐标轴相切，与另一坐标轴没有公共点如图13-4A ；圆与坐标轴有两个交点，则只与一个坐标轴相交，与另一个坐标轴无公共点，如图13-4 B；圆与坐标轴有三个交点，圆与每个坐标轴除一个交点外，另外必须经过原点，如图 13-4C；圆与坐标轴有四个交点，则与每个坐标轴有两个交点，且不经过原点，如图 13-4 D要求半径范围，则要求 P 到原点距离及到两坐标轴的距离解： P 点